1、生命表函数,1693年，哈雷彗星的发现者发明了世界上第一张生命表，这一年被认为是精算学的开始，由此可见生命表在精算学中的重要性。 （一）生命表的概念生命表又称死亡表，是对一定数量的人口自出生（或一定年龄）直至死亡这段时间内的生存和死亡进行记录。,生命表特点,生命表考察的一群人是一个确定生存集合,一般具有如下特点：1、基期人口为l（0）2、集合时封闭的，一旦选定，就不再有进入。集合人数减少的唯一原因是自然死亡；3、集合中各成员在每一年龄段上的死亡概率确定。,结构,最基本的生命表包括以下几个基本栏目： 1、被观察的人口年龄（x） 2、年初生存人数(l) 基期人口中活至x岁的人数(lx) 3、当年死
2、亡人数(d) x岁的人在一年中的死亡人数 (dx) 4、死亡率（q） x岁的人在一年中死亡的概率(qx) 5、生存率(p) x岁的人至少活到x+1岁的概率(px) 6、此外还可能包括完全平均余命ex、生存人年数 Tx等。,生存函数,一个刚刚出生的个体（0岁），其未来生存时间可作为一个随机变量，用T0表示。T0代表一个0岁的人未来生存的时间，也就是他的寿命。T0经常以年来计量。假定T0是一个连续随即变量，T0可以取任何比0大的值。用PA 表示事件A发生的概率。定义随机变量T0的分布函数F0（t）为F0（t）=PT0t根据定义， F0（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的概率。,另一个互补性的概
3、率也是经常用的，即，一个0岁的人在t岁之后死亡的概率，也就是他未来的生存时间超过t年的概率，记作S0（t），称为生存函数，即S0（t）=PT0t=1F0（t）下面以同样的方式将一个年龄为x岁(x0)的人的未来生存时间定义为一个随机变量TX。TX=一个x岁的人将来继续生存的时间随机变量T的分布函数记作FX（t），因此： FX（t）=P TXt,类似的，定义一个岁的人在年之后死亡的概率，也就是他的未来生存时间超过年的概率，记作，成为生存函数，即Sx（t）=PTxt=1Fx（t）事实上，分布F0（t）和 Fx（t）之间是有联系的，如果知道0岁的人（即新生个体）的生存时间分布F0（t） ，就能知道所有
4、年龄x0的人的生存时间分布。为了说明这个问题，再仔细看一下Tx的定义。它是一个x岁的人将来可继续生存的时间，以他已生存了x岁为条件的。,回忆一下条件概率的定义。假设两个时间A和B，在B已发生条件下的概率是：PAB=PAB/P B因此对所有年龄x0的人，FX（t）=P T0x+t T0t P xT0x+t P T0x F0(x+t) F0(x)1F0(x),生存函数也有类似的表达式，并且这种表示用得更多。SX（t）=P T0x+t T0xP T0x+t P T0x S0(x+t)S0(x) S0(x+t)= S0(x) SX（t）,生命表函数,定义：p x=Sx(1)= PTx1q x=Fx(1
5、)= PTx1其中，p x 表示一个x岁的人在x+1岁时仍然生存的概率； q x表示一个x岁的人在未来一年内死亡的概率。显然，p x =1 q x类似地，可以把符号p x 和 q x扩展到1年以上的时间内的死亡和生存概率。定义：tp x=Sx(t)=PTxttq x=Fx(t)=P Txt,其中， tp x表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率； tq x表示x岁的人在未来t年中死亡的概率。则有：tp x =1tq x注意，p x 和q x是 tp x和tq x的特殊形式，p x =1 p x q x =1 q x,生存人数lx,设最初有l0个新生婴儿，每个人都具有生存函数S0（x），称这样的
6、集合为随机生存集合。取随机变量L（x）= 表示新生儿中活至x岁的人的数目，其中Ck 0 (未活至x岁)1 （在x岁生存时）若设I相互独立，则有L（x）bi（n， s0（x），即L（x）服从二项分布。那么EL(X)=ns0(x)记lx=EL(X),则lx=l0s0(x),死亡人数dx,令随机变量nD x= 表示l0个新生婴儿中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中Dk 0 (其他)1 （在x岁之前死亡时）同理，nD xbi（lx，n qx）。记n dx=E（n Dx),则n dx=lx nqx=lxlx+n当 n=1时，则 dx=lxlx+1,生命表各函数之间的关系,1、2、,3、tdx=lxl x+t=(lx-lx+1)+(lx+1-lx+2)+(lx+t1lx+t)=dx+dx+1+dx+t1,例1 填写表中的空栏,
