1、非线性规划,最优性条件 （Kuhn-Tucker 条件）,数学规划,向量化表示,非线性规划方法概述,问题 min f(x)s.t. g(x) 0 h(x)=0约束集 S=x|g(x) 0 , h(x)=0 一、等式约束问题的最优性条件：考虑 min f(x)s.t. h(x)=0回顾高等数学中所学的条件极值：问题 求z=f(x,y)极值 min f(x,y)在(x,y)=0的条件下。 S.t. (x,y)=0引入Lagrange乘子： Lagrange函数 L(x,y;)= f(x,y)+ (x,y),一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在* ，使fx(x
2、*,y*)+ * x (x*,y*) =0fy(x*,y*)+ * y(x*,y*) =0 (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况：min f(x)s.t. hj(x)=0 j=1,2, ,l若x*是(fh)的l.opt. ,则存在* Rl使矩阵形式：,一、等式约束性问题的最优性条件： (续)几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：最优性条件即：,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： 考虑问题 min f(x)s.t. gi(x) 0 i=1,2, ,m设 x*S=x|gi(x) 0 i=1,2, ,m令I=i| gi(x*) =0 i=1,2, ,m称I为 x
3、*点处的起作用集（紧约束集）。如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约束时，才产生影响，如：,g2(x)=0,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续）特别 有如下特征：如图在x* ： f(x*)+u* g(x*)=0 u*0要使函数值下降，必须使g(x)值变大，则在 点使f(x)下降的方向（- f( ) 方向）指向约束集合内部，因此不是l.opt. 。,g( ),-f( ),X*,-f(x*),g(x*),二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续）定理（最优性必要条件）： （K-T条件）问题(fg), 设S=x|gi(x) 0,x*S,I
4、为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。向量组gi(x*), i I线性无关。如果x*-l.opt. 那么， u*i0, i I使,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续）,二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）用K-T条件求解：,二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 可能的K-T点出现在下列情况：两约束曲线的交点：g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与g4。目标函数与一条曲线相交的情况： g1，g2, g3, g4对每一个情况求得满足(1)(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验证当满足可得，且ui 0时，即为一个K-T点。下面举几个情况： g1与g2交点：x=(2,1)TS ,I=1,2 则u3=u4=0 解,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） ,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） ,三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件,三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件 (续),
