1、第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置变动，不涉及物体间相互作用与运动的关系。2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量与运动学方程图 2-1.1 表示以雷达站为叁考系。描写某时刻直升飞机的位置。为说明位置，可视飞机为质点，记作 P，在雷达站上任选 O 作为叁考点和飞机的距离 是描述飞机位置重要OP因素，但还应指出它相对于 O 点方位，于是引入位置矢量，由叁考点引向质点所在位置的矢量为质点的位置矢量。图中 建roP=v立直角坐标系 。oxyz-令原点与叁考点重合，位置矢量在直角坐标系 中的正交分解。形势为 （2-1.1）ijkrxyz=+vv分别为 轴方向的单位矢量。,i
2、jk,称作质点的位置坐标，也可用来描述质点位置，还可用位置坐标表示位置矢量,xyz的大小和方向，其大小为 ；22rxyz=+位置矢量的方向余弦为 ， ， ；cosacosrb=coszrg它们之间有如下关系： 。2221质点运动中的每一时刻，均有一位置矢量与之对应，即位置矢量 为时间 t 的函数。rv= （t） （2-1.2）rv称作质点的运动学方程。它给出任意时刻质点的位置，一直得到运动学方程，则质点的全部情况都了如指掌。 （上（2-1.2）的正确分解式为xzyr+dtdrr P图 2-1.1；（2-1.3）()()rtxiytjztk=+vvv已知 ， 和 ，即知 反之亦然。zr因此称标量
3、函数 ， ， （2-1.4）()xt()yt=()zt为质点运动学方程的标量形式。质点运动时描出的轨迹称质点运动的轨迹，位置矢量的矢量端画出的曲线称位置矢量的失端曲线亦即质点的轨迹，设质点在平面 上运动，运动方程为 ，oxy- ()xt=（2-1.5）()yt=消去 t ，得 。 （2-1.6）()yt=这就是质点的轨迹方程。例 1 .一质点的运动学方程为 。求以形式 写cosinrRttj=+v(,)0fxy=出的轨迹方程；解：由运动学方程可知： ，xtiyt相加后222cos,sinxRty=222(cosin)xRttR+=+=知轨迹为圆。+二、位移一位置矢量的增量以下引入位移矢量以描述
4、质点在一定时间间隔内位置的变动，图 2-1.2 飞机在 和t时间内自 P 飞至 Q,自质点初位置引向 以后的未位置的矢量 称时间 内的t+VtV()PQuvV位移，记作 显然， （2-1.7 ）ruv()(rtr=+-vV xzyr+dtdrr P图 2-1.2即位移定义为位置的增量，写出 始未的位置矢量在直角坐标系中的正交分解式。tV()()()();rtxtiyjztk+=+vvvV);iyjzk()(rtrt-u()(;xtiyjzztkxjzk=+-+=vvVV这表明位移可由位置坐标的增量决定。在一段时间内，质点在某轨迹上经过的路径的总长度叫路程。2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量为
5、了全面描述质点的运动状态还需要瞬时速度和瞬时加速度矢量的概念。一、平均速度与瞬时速度定义：质点位移 与发生这一位移()(rtrt=+-uvvV的时间间隔 之比，称作质点在这段时间内的平均速t度。记作： ； （2-2.1）u()(rtrt-或平均速度等于位置矢量对时间的平均变化率。图 2-2.1所示。定义：质点在 t 时刻的瞬时速度 ，当 时的rtV0t极限，用 表示。即 （2-u0limlittu=v2.2）即质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率，或一阶导数。记作 ；drtu=在 S1 中速度的单位为 m/s。其量纲为 。1LTu-=瞬时速度的方向沿轨迹在质点所在处的切线，并指向质点前进的
6、方向，其大小为 3rtV23rtd3r1r2()rtO图 2-2.1 O()rtV()rt+图 2-1.3（2-2.3）0limtrdtu=Vv反映质点在该瞬时运动的快慢，称瞬时速率。如图 2-2.2 所示。瞬时速度 在直角坐标系 中的正交分解为 uoxyz- xyzijkuu=+vv（2-2.4）drxdijktt=+vv与前式对比得， ， ， ； xtuyt=zdtu即瞬时速度矢量的投影等与未知坐标对时间的一阶导数。瞬时速度的大小和方向余弦克表示如下： ；22xyzu+；cos,cos,cosyx zuuuabg=例 2. 某质点的运动学方程为 ，求 时质点的速度矢2105ritjk-+v
7、v0,1t=量。解： 常量，故质点在距原点 10m 处与10x=-Q平行的平面上运动。如图 2-2.3 所示。.oyz-515,0yzdrjtktt， uu+=vv2222(1)0yzt+, 50cos0coscos15y， ， uuuabg=()0utyZO图 2-2.3图 2-2.2t+V()St+VSttO A BS ASO t150015/coscos15tm当 时 ， ， ， uuubg=8.30.832cos0.5当 时 ， ， ， ， uabg =942618 ， uuabgooo二、平均加速度与瞬时加速度质点运动时，顺势加速度的大小方向都可能变化，为反映其变化的快慢和方向，需引
8、入平均价速度和瞬时加速度，加速度的引入是力学发展中的大事，它为动力学的发展准备了条件，加速度的引入之归功于伽利略。如图 2-2.4 所示，设置点在 时刻的速度变为经 后速度为 。ttV()tu+v速度增量 与发生这一增量()(tuu=+-vvV所用时间 之比 称为这段时间内的平增加速度。 tt记作为 （-2.5）atu=vV平均加速度与一定时间间隔相对应，其大小反映 内速度变化的平均快慢。tV当 时的极限叫作 时刻顺势加速度。记作 ， ；0tt av0limtdtu=v图(2-2.5) 所示。即瞬时加速度等于速度矢量对时间变化率的一阶导数， （2-20limtrdratt u=Vv2.7）即瞬
9、时加速度等于位置矢量对时间的二阶导数在 中。单位： 。1()SMK2/s量纲 。2aLT-=瞬时加速度的方向沿速度失端曲线的切线，且指向于 增加相对应的方向。t 图 2-2.4 t()uvtV1tuV21tdt()1tu+2tV()o图 2-2.5令后将顺势加速度简称作“加速度” ，可得加速度在直角坐标系中的正交分解形式为，( 2-2.8 )xyzaijak=+vv, , ；2xxdtu2yydtu=2zydatu=即瞬时加速度在坐标系轴上的投影等于位置坐标对时间的二阶导数，加速度的大小和方向余弦由下式给出。， , , 22xyzaa=+cosxau=cosyaubcoszaug=已知质量运动
10、学方程，即可经过求导数求任意时刻的速度和加速度。即质点全部运动状况。因此，运动学方程是运动学的核心。例 2. 求本节例 1 所谈运动中质点的加速度矢量。解： 中， ，205ritjk=-+vv150drjtktu=+vv(10)dajt+， 。所以可见质点作 的匀加速运动。即cosabcosag2/ams=速度的方向沿 轴；z2.3 质点直线运动从坐标到速度和加速度在质点运动中，直线运动最简单，又有普遍性，对这类问题，质点运动学方程，仍是关键，有了它，既可用微分法求速度，加速度，从而掌握全部运动情况。一、 运动学方程为描述质点直线运动，最好选择 坐标轴与质点轨迹重合， 表示沿 轴正方向的oxi
11、vx单位矢量。质点位置矢量为 （2-3.1）()rti=vv实际上用标量函数 ，即可描述质点，沿直线的运动。即 。 （2-x ()xt=3.2）为质点直线运动的运动学方程。运动学方程即位置坐标作为实践的函数。例如 . 线性函数， ，二次函数 或指数函数 xabt=+2xabtc=+等。如图 2-3.1 所示。0atxe-=xabt=+2xabtc=+0atxe-=0,0txtx(c)(b)(a)x图 2-3.1若运动学方程中位置坐标为时间的线性函数，可写作， ， 和 为常0xtu=+x数。双方对时间求导数，有 常数。xdtu=表明，描述匀速直线运动，令 有 ， 为质点初坐标。0xtu=+0t0
12、x=质点位置坐标作为时间的二次函数，可写作， 为常数。 （2-3.7 ）201xxta0,xau等号两侧对时间求导数得， （2-3.8）200()xxxxdtttu=+=+0xxatu=+再求导数得， (daatu常 数 。可见（2-3.7）式表示匀变速直线运动。设 有 ， 故 和 表示初t0x0x0xu坐标和初速度。将（2-3.7）和（ 2-3.8）两式中消去 则有 （2-3.9） ；200()xxau-=-2.4 质点直线运动从加速度到速度和坐标在可以做积分的条件下，给出质点加速度随时间的变化规律和初速度，即可求速度随时间的变化。如果还了解质点的初始坐标，可进一步求质点的运动学方程。一、从
13、速度到运动学方程的位移已知质点速度，能否唯一的确定期运动学方程？例如，在同一条笔直公路上有两辆汽车在不同位置同时起动。但在任意时刻均有同样的速度。试问，两辆汽车的运动学方程是否相同？沿公路取坐标轴 ，在任意时刻两车具有不同的位置坐标，可见，它们的运动学方程ox不同。因此，仅知速度，还不能唯一的确定运动学方程。在什么条件下可由速度，求运动学方程？质点速度是位置坐标对时间的导数。反之位置坐标位速度的一个原函数。因常数的导数等于零。若只能出速度 。将得到无穷多()xtu个原函数，即无穷多个可能的位置坐标，它们之间只差一常数。所有可能的位置坐标称作速度的不定积分记作。xxddttuu=； （2-4.1
14、）()()tdxtC=+为 的某一原函数。C 表示任意常数。()xtxtC 为积分常数。它确定位置坐标的初始条件，一般形式为： （2-0,tx=4.2）式（2-4.2）代入（2-4.1）得： 0()Cxt=-C 代入（2-4.1） 。0xdtu+0()xt-根据表示定积分与不定积分关系的牛顿一菜布尼洪公式 ，于是 ； （2-4.3）0()()txxtdu-=0()txdu=+可见只要给定位置坐标的初始条件，便可根据质点的速度唯一地确定质点运动学方程。由（2-4.3）还可得 （2-4.4） 。0()txx-V即质点的位移等于其速度在发生位移这一时间间隔内的定积分。显然，只要给定始末时刻，则可根据
15、质点速度求出位移。三、已知加速度求速度和运动学方程若已知速度随时间变化的规律，即可求加速度。反之，已知质点加速度，能否唯一地确定质点的速度？根据微积分的知识同样可知。因加速度 为速度 对时间的导数。所求速度必()xat()xtu为加速度的某一原函数，原函数有无限多，可用加速度对时间的不定积分表示，即 ，xxdatu=xadt（2-4.5） 。() ()xxdttCu=+速度的初始条件， （2-4.6） 。00,xt（2-4.6）代入（2-4.5）得 100()xCtu=-再代入（2-4.5） xxt+0000()()()x xt tuu=-=-根据牛顿一菜布尼慈公式， （2-4.7） 。0(t
16、xxadu进一步，又给出位置坐标的初始条件，则可按前述方法求运动学方程。图 2-4.1 表示，二汽车初速度，初坐标不同，加速度 相同。从而运动学方程()xat不会相同的情况，表明给出加速度 连同初坐标和初速度方法可确定运动学方程。()xt ()xat例 1. 跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速度为 ，0u入水后地球对他的吸引和水的浮托作用相抵消，仅受水的阻碍而减速。自水面向下取 oy 轴，其加速度为 为速度，k2,yya=-为常数量。求入水后运动员速度随时间的变化。如图（2-4.2 ）所示。解：设运动员为质点，根据已知条件有 。22yyyydakdkttuu-=-=设入水时为计时器点， 时 ， 时 。0t0ytyu=0 02 210 1tydk uu- -+=-或 ；0011tktu-0()ktu=图 2-4.1 0uy图 2-4.2
