1、函数与方程,3.1.1方程的根与函数的零点,等价关系,判断函数零点或相 应方程的根的存在性,例题分析,课堂练习,小结,布置作业,问题导入,已知:二次函数,试问：（1）x为何值时，y等于0？（2）画出这个函数的图像，求该函数图像与x轴的交点坐标。,问题：二次函数,的图像与x轴的交点,坐标与方程,的解有什么关系？,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,观察函数与x轴的
2、交点与对应方程根的关系:,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,函数的零点：,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数零点的定义：,等价关系,问题：指出函数,的零点。,找出一个函数,的零点所在的
3、区间，,分析这个区间两个端点的函数值得关系,一般地，对于不能用公式求根的方程，如何确定方程f（x）0的根的个数？如何判断方程f（x）0在区间a，b上是否有解？如何判断函数yf（x）在区间a，b上是否有零点？从刚才的问题能得到什么启示？,观察二次函数f(x)=x22x3的图象:,我们发现：,函数 在区间 上有零点， 在区间 上有零点,请计算：,，函数在 上有零点,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,注:只要满足上述两
4、个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。,由表3-1和图3.13可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。,由于函数f(x)在定义域 (0,+)内是增函数，所以 它仅有一个零点。,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.13）,例题1 求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。,练习：,1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：,（1）x23x50；,（2）2x(x2)3；,（3） x2 4x4；,（4）5 x2 2x3 x2 5.,2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,（1）f(x)= x33
5、x+5；,（2）f(x)=2x ln(x2)3；,（3）f(x)=ex1+4x4;,（4）f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.,有,没有,有,没有,有,没有,有,没有,1(1)解：令f(x)=x23x5, 作出函数f(x)的图象，如下：,它与x轴有两个交点，所以方程x23x50有两个不相等的实数根。,1(1) x23x50,1(2)解：2x(x2)3可化为 2x24x30，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函数f(x)的图象,如下：,它与x轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。,1(2) 2x(x2)3,1(3)解：x2 4x4可化为x24x 40，令f(x)= x24x4
6、，作出 函数f(x)的图象，如下：,它与x轴只有一个交点，所以方程x2 4x4有两个相等的实数根。,1(3) x2 4x4,1(4)解：5x2 +2x3x2 +5可化为 2x2 2x50，令f(x)=2x2 2x5 , 作出函数f(x)的图象， 如下：,它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x3x2 +5有两个不 相等的实数根。,1(4) 5 x2 2x3 x2 5,2(1)解：作出函数的图象，如下：,因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个
7、零点。,2(1) f(x)= x33x+5,2(2)解：作出函数的图象，如下：,因为f(3)30,所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。,2(2) f(x)=2x ln(x2)3,2(3)解：作出函数的图象，如下：,因为f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。,2(3) f(x)=ex1+4x4,2(4)解：作出函数的图象，如下：,因为f(4)40, f(2)20, 所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间 (4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有 一个零点。,2(4) f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x,别灰心！再试一次！,小结与思考,函数零点的定义,等价关系,函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断,布置作业：,P102 习题3.1 第2题,
