1、,大一轮复习讲义,第1课时 绝对值不等式,第十二章 12.3 不等式选讲,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明.在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.绝对值不等式的解法 (1)含有绝对值的不等式|x|a的解集,ZHISHISHULI,(a，a),(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c_； |axb|c_. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb
2、|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.,caxbc,axbc或axbc,2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则_|ab|_. (2)如果a，b，c是实数，那么_，当且仅当_ _时，等号成立.,|a|b|,|a|b|,|ac|ab|bc|,(ab)(bc),0,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若|x|c的解集为R，则c0.( ) (2)不等式|x1|x2|
3、b0时等号成立.( ) (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.( ) (5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.( ),1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编 2.P6例3不等式3|52x|9的解集为_.,1,2,3,4,5,6,(2,14,7),7,1,2,3,4,5,6,3.P6例4求不等式|x1|x5|2的解集.,解 当x1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1； 当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4，1x4； 当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(，4).,7,解 由绝对值不等式
4、的几何性质知，|x4|x3|(x4)(x3)|1， 当且仅当(x4)(x3)0时，等号成立. 所以函数y|x4|x3|的最小值为1. 因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，).,1,2,3,4,5,6,4.P6例4若存在实数x满足不等式|x4|x3|a，求实数a的取值范围.,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 5.若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.,4或6,7,解析 方法一 当a1时，f(x)3|x1|， f(x)min0，不符合题意；,f(x)minf(a)a15，a6成立；,1,2,3,4,5,6,7,f(x)minf(a)a15，a4成立. 综上
5、，a4或a6. 方法二 当a1时，f(x)min0，不符合题意； 当a1时，f(x)minf(a)|a1|5， a4或a6.,1,2,3,4,5,6,7,6.若存在实数x，使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,2,4,解析 |xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3， 3a13，2a4.,7,1,2,3,4,5,6,7,解析 设y|2x1|x2|,当x5；,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 绝对值不等式的解法,自主演练,1.已知函数f(x)x2ax4
6、，g(x)|x1|x1|. (1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；,解 当a1时，不等式f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当x1时，式化为x2x40，,(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围.,解 当x1,1时，g(x)2， 所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于 当x1,1时，f(x)2. 又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一， 所以f(1)2且f(1)2，得1a1. 所以a的取值范围为1,1.,2.已知函数f(x)|xa|，其中a1. (1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；,解 方法一 当a2时，由题意知
7、|x2|x4|4， 利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4， 又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上. 故不等式的解集为x|x1或x5.,当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64， 解得x1； 当2x4时，f(x)4|x4|无解； 当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64， 解得x5. 故原不等式的解集为x|x1或x5.,(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值.,解 记h(x)f(2xa)2f(x)，,又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，,解绝对值不等式的基本方
8、法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,题型二 利用绝对值不等式求最值,师生共研,例1 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；,解 x，yR， |x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立. |y1|y1|(y1)(y1)|2， 当且仅当1y1时等号成式. |x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立. |x1|x|y1|y1|的最小值为3.,(2)对于实数x，y，若|
9、x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值. 解 |x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25， 即|x2y1|的最大值为5.,求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|. (3)利用零点分区间法.,跟踪训练1 (2018镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.,(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围.,解 若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，,x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集. 解不等式得2x2， 故实数x的取值范
10、围为2,2.,题型三 绝对值不等式的综合应用,师生共研,(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；,f(x)f(xm)|xa|xma|1， 又|xa|xma|m|， |m|1，1m1， 实数m的最大值为1.,(2)当a 时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围.,(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决. (2)数形结合是解决与绝对值不等式有关的综合问题的常用方法.,跟踪训练2 已知函数f(x)|x1|x2|. (1)求不等式 f(x)1的解集；,当x2时，由f(x)1，解得x2， 所以 f(x)1的解集为x|x1.,解 由f
11、(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x. 而|x1|x2|x2x |x|1|x|2x2|x|,(2)若不等式 f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.,3,课时作业,PART THREE,1.解不等式|x1|x2|5.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解 方法一 如图，设数轴上与2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.,显然，区间2,1不是不等式的解集. 把点A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145. 把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5， 故原不等式的解集为(，32，)
12、.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,方法二 由原不等式|x1|x2|5，,原不等式的解集为(，32，). 方法三 将原不等式转化为|x1|x2|50. 令f(x)|x1|x2|5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,作出函数的图象，如图所示，,由图象可知，当x(，32，)时，f(x)0， 原不等式的解集为(，32，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.已知a2，xR.求证：|x1a|xa|3. 证明 因为|m|n|mn|， 所以|x1a|xa|x1a(xa)| |2a1|.
13、 又a2，故|2a1|3. 所以|x1a|xa|3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.若不等式log2(|x1|x2|m)2恒成立，求实数m的取值范围. 解 由题意，知|x1|x2|m4恒成立， 即m(|x1|x2|4)min. 又因为|x1|x2|4|(x1)(x2)|41， 当且仅当1x2时等号成立.所以m1. 即实数m的取值范围为(，1.,即|4a3b2|的最大值为6， 所以m|4a3b2|max6. 即实数m的取值范围为6，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，
14、求实数m的取值范围.,解 因为|ab|1，|2a1|1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.已知函数f(x)|xa|xa|，若对任意xR，不等式f(x)a23恒成立，求实数a的取值范围. 解 对任意xR，不等式f(x)a23恒成立， f(x)mina23， 又|xa|xa| |xa(xa)|2a|， |2a|a23， 即|a|22|a|30， 解得1|a|3. 3a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当a1时，求不等式 f(x)1的解集；,解 当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.
15、当x1时，不等式化为x40，无解；,当x1时，不等式化为x20，解得1x2.,(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.,所以a的取值范围为(2，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0). (1)当a4时，求不等式的解集；,解 当a4时，不等式为|2x1|x1|2.,当x1时，x0，此时x不存在，,(2)若不等式有解，求实数a的取值范围.,解 令f(x)|2x1|x1|，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3
16、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.设 f(x)|ax1|. (1)若f(x)2的解集为6,2，求实数a的值；,(2)当a2时，若存在x0R，使得不等式f(2x01)f(x01)73m成立，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解 当a2时，令h(x)f(2x1)f(x1) |4x1|2x3|,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,技能提升练,所以f(x)2的解集Mx|1x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
17、1,12,(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|. 证明 由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1， 从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21 (a21)(1b2)0， 因此|ab|1ab|.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.已知函数f(x)|2xa|x1|，aR. (1)若不等式f(x)2|x1|有解，求实数a的取值范围；,解 由题意知f(x)2|x1|，,不等式f(x)2|x1|有解，,实数a的取值范围是0,4.,(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值.,1,2,3,4,5,6,7,8
18、,9,10,11,12,如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.已知函数 f (x)|x1|，g(x)2|x|a. (1)当a1时，解不等式 f (x)g(x)；,解 当a1时，不等式f (x)g(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以实数a的取值范围为(，2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解 a0，b0且ab1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)求x的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解 对a，b(0，)，,|2x1|x1|9. 当x1时，不等式化为2x9， 解得7x1；,x的取值范围为x|7x11.,
