1、考试要求 能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题.,第4节 导数与函数的零点,知 识 梳 理,函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围. 常用结论与易错提醒(1)注意构造函数；(2)注意转化思想、数形结合思想的应用.,基 础 自 测,解析 当x0时，f(x)x3x， yx与y3x在(，0)上都单调递增， f(x)x3x在(，0)上也单调递增，又f(1)0， f(x)在(1，0)内有一个零点.,f(x)x24(x2)(x2). 令f
2、(x)0得x2或x2(舍)， 当x(0，2)时，f(x)0，f(x)递增，,答案 A,它们的图象如图，,函数m(x)与函数n(x)在(，0)上有交点. 答案 B,答案 A,4.(2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_.,答案 3,故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.,综上，f(x)只有一个零点.,规律方法 利用导数解决函数的零点问题的方法： (1)研究原函数的单调性、极值； (2)通过f(x)0变形，再构造函数并研究其性质； (3)注意零点判定定理的应用.,【训练1】 (2018镇海中学模
3、拟)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解 (1)f(x)(2ex1)(aex1)，若a0时，f(x)(2ex1)(aex1)0.所以f(x)在R上为减函数；,(2)因为方程2mf(x)x2有唯一实数解，,所以x22mln x2mx0有唯一实数解，,因为m0，所以m24m0，,当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上单调递增； 当xx2时，g(x2)0，则g(x)取得最小值g(x2). 因为g(x)0有唯一解，所以g(x2)0，,所以2mln x2mx2m0. 因为m0，所以2ln x2x210. (*)
4、 设函数h(x)2ln xx1， 因为当x0时，h(x)是增函数，所以h(x)0至多有一解. 因为h(1)0，所以方程(*)的解为x21，,规律方法 (1)方程f(x)g(x)根的问题，常构造差函数解决； (2)对f(x)0，如果化为g(x)k(x)后，g(x)，k(x)图象容易画出，可数形结合求解.,【训练2】 (2019北京通州区一模)已知函数f(x)xex，g(x)a(ex1).aR. (1)当a1时，求证：f(x)g(x)； (2)当a1时，求关于x的方程f(x)g(x)的实根个数. 解 设函数F(x)f(x)g(x)xexaexa. (1)证明：当a1时，F(x)xexex1，所以F
5、(x)xex. 所以x(，0)时，F(x)0. 所以F(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增. 所以当x0时，F(x)取得最小值F(0)0. 所以F(x)0，即f(x)g(x).,(2)当a1时，F(x)(xa1)ex， 令F(x)0，即(xa1)ex0，解得xa1； 令F(x)1，所以h(a)0.所以h(a)在(1，)上单调递减. 所以h(a)h(1)0，所以F(a1)0.,又因为F(a)a0，所以F(x)在区间(a1，a)上存在一个零点. 所以在a1，)上存在唯一的零点. 又因为F(x)在区间(，a1)上单调递减，且F(0)0， 所以F(x)在区间(，a1)上存在唯一的零点0.
6、所以函数F(x)有且仅有两个零点，即方程f(x)g(x)有两个实根.,考点三 两曲线的交点(公共点) 【例3】 (2018江苏卷节选)记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的值；(1)证明 函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得,因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.,
7、(2)解 函数f(x)ax21，g(x)ln x，,设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得,规律方法 (1)两曲线的交点是否存在，可通过方程(组)的解来判断； (2)两曲线的交点个数可转化为方程根或函数零点的个数来判定.,解 (1)由已知，可得f(x)x(x1)(x1)x3x， 故f(x)3x21. 因此f(0)0，f(0)1， 又因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)， 故所求切线方程为xy0.,g(x)3x21d2.,当d21时，g(x)0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意.,若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数yg(x)至多有两个零点，不合题意.,所以，d的取值范围是(，)(，).,
