1、 4 用向量讨论垂直与平行 学 习 目 标 思 维 脉 络 1 .理解 用向量语言表述线线、线面、面面的平行或垂直关系 . 2 .理解 用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 . 3 .掌握 求平面法向量的方法 , 并且能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题 . 4 .体会 向量方法在研 究几何问题中的作用 , 并不断地提高运算能力 . 一 二 三 思考辨析 一、空间中的垂直关系 1.线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的 两条相交直线 ,则该直线与此平面垂直 . 2.面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条 垂线 ,则这两个平面垂直 . 3.三垂线定理 若平面内的一条
2、直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的 投影 ,则这两条直线垂直 . 4.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线 a垂直于平面外的一条直线 b,那么 a垂直于直线 b在平面上的 投影 . 一 二 三 思考辨析 名师点拨 1.三垂线定理及其逆定理中的 “平面内 ”这个条件不能省略 ,否则不一定成立 ,需要进一步证明 . 2.三垂线定理及其逆定理的区别 : (1)从两个定理的条件和结论上区分 ,三垂线定理是 “线与投影垂直 线与斜线垂直 ”,逆定理相反 . (2)从两个定理的作用上区分 ,三垂线定理解决已知 “共面直线垂直 异面直线垂直 ”,逆定理相反 . 一 二 三 思考辨析 【做一做 1】
3、下列命题中 ,正确的命题是 ( ) A.若 a是平面 的斜线 ,直线 b垂直于 a在 内的投影 ,则 a b B.若 a是平面 的斜线 ,平面 内的直线 b垂直于 a在 内的投影 ,则a b C.若 a是平面 的斜线 ,b是平面 内的一条直线 ,且 b垂直于 a在 内的投影 ,则 a b D.若 a是平面 的斜线 ,直线 b平行于平面 ,且 b垂直于 a在另一平面 内的投影 ,则 a b 解析 :A错 ,直线 b可能不在平面 内 ;B错 ,直线 b在平面 内时才成立 ;C对 ;D错 ,射影应为在平面 内的射影 ,故选 C. 答案 :C 一 二 三 思考辨析 二、空间中的平行关系 1.线线平行判
4、定定理 若平面内的两条直线没有 公共点 ,则这两条直线平行 . 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线 平行 ,则这条直线和这个平面平行 . 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都 平行 于另一个平面 ,则这两个平面平行 . 一 二 三 思考辨析 【做一做 2】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,棱长为 a,M,N分别为A1B和 AC上的点 ,A1M=AN= a,则 MN与平面 BB1C1C的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 23 解析 : = 1 + 1 + =13 1 + 1 +13 =13( + 1 ) + 1 +13
5、( + ) =23 1 +13 =23 1 +13 . 与 1 , 共面 .又 MN 平面 BB 1 C 1 C , MN 平面 BB 1 C 1 C . 答案 :B 一 二 三 思考辨析 三、利用方向向量、法向量判断线面的位置关系 设直线 l,m的方向向量分别为 a,b,平面 ,的法向量分别为 u,v,则有 : 线线平行 l m a b a =k b ( k R ) 线面平行 l a u a u = 0 面面平行 u v u =k v ( k R ) 线线 垂直 l m a b a b = 0 线面垂直 l a u a =k u ( k R ) 面面垂直 u v u v = 0 名师点拨 1
6、.用向量法判定 (或证明 )线面平行与垂直 ,实质就是转化为证明直线的方向向量与平面的法向量的垂直与共线 . 2.直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的 ,在运用时应以运算简便为标准进行选择 . 一 二 三 思考辨析 【做一做 3】 设直线 l的方向向量为 a,平面 的法向量为 b,若ab=0,则 ( ) A.l B.l C.l D.l或 l 答案 :D 【做一做 4】 若平面 ,的法向量分别为 u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则 ( ) A. B. C.,相交但不垂直 D.以上均错 解析 : 平面 ,的法向量分别为 u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6), v=-3u,
7、 u v, . 答案 :A 一 二 三 思考辨析 判断下列说法是否正确 ,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的打“ ”. (1)一个平面的法向量都是同向的 . ( ) (2)平面的法向量与该平面内的所有向量都是垂直的 .( ) (3)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行 ,则这条直线与这个平面平行 . ( ) (4)若两个平面的法向量的坐标分别为 n1=(0,-2,3),n2=(1,a,b),则这两个平面不可能平行 . ( ) (5)若两个平面垂直 ,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直 . ( ) (6)若两平面 ,的法向量分别为 u1=(1,0,1)
8、,u2=(0,2,0),则平面 ,互相垂直 . ( ) 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求平面的法向量 【例 1】 已知四棱锥 S-ABCD的底面是直角梯形 , ABC=90 ,AD BC,SA 平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立空间直角坐标系 ,求平面 SAB,平面 SDC的一个法向量 . 思维点拨 :由题意知 AD 平面 SAB,可直接写出坐标 ,求平面 SDC的法向量可用待定系数法 . 12 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 :取 A为坐标原点 ,建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 S ( 0 , 0 , 1 ), D 12 , 0 , 0 , C ( 1 ,
9、 1 , 0 ) . SA 平面 ABCD,AD平面 ABCD, SA AD. 又 四边形 ABCD为直角梯形 , ABC=90 , AD AB, AD 平面 S A B .又 = 12, 0 , 0 , 平面 S A B 的一个法向量为 = 12, 0 , 0 . 设平面 S DC 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) . 又 = 12, 1 , 0 , = ( 1 , 1 , - 1 ), = 0 , = 0 ,即 12 + = 0 , + - = 0 .令 x=-2,则 y=1,z=-1, n=(-2,1,-1), 即平面 SDC的一个法向量为 n=(-2,1,-1). 探
10、究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 平面法向量的确定通常有两种方法 : (1)直接寻找 :若能根据已知条件找出该平面的一条垂线 ,则可直接写出法向量 . (2)待定系数法 :当平面的垂线不易确定时 ,可以利用待定系数法求解 ,具体步骤如下 : 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 1已知平面 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量 . 解 : A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), = ( 1 , - 2 , - 4 ), = ( 2 , - 4 , - 3 ) .设平面 的法向量是 n = ( x , y ,
11、 z ), 依题意 ,应有 n = 0 ,且 n = 0 ,即 - 2 - 4 = 0 ,2 - 4 - 3 = 0 ,解得 z= 0 ,且 x= 2 y .令y= 1 ,则 x= 2 .故 n = ( 2 , 1 , 0 ) 是平面 的一个法向量 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用向量方法证明空间中的平行关系 【例 2】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E,F分别为BB1,DD1的中点 ,求证 : (1)FC1 平面 ADE; (2)平面 ADE 平面 B1C1F. 思维点拨 :画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决 ,但不如用向量法处理直接简单 ,因此本题可
12、以通过建立空间直角坐标系 ,借助法向量来处理 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 :如图 ,建立空间直角坐标系 D-xyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1), 1 = ( 0 , 2 , 1 ), = ( 2 , 0 , 0 ), = ( 0 , 2 , 1 ) . 设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE和平面 B1C1F的法向量 , 则 n 1 , n 1 , 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 = 2 1 = 0 ,1 = 2 1 + 1 = 0 , 1 = 0
13、,1 = - 2 1 ,取 y1=1,则 n1=(0,1,-2).同理可求 n2=(0,1,-2). ( 1 ) n 1 1 = ( 0 , 1 , - 2 ) ( 0 , 2 , 1 ) = 0 , n 1 1 . 又 FC1平面 ADE, FC1 平面 ADE. (2) n1 n2, 平面 ADE 平面 B1C1F. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 运用空间向量解答立体几何问题应注意处理和把握好以下两大关系 :一是向量法和纯几何法在解题中相互融合渗透的关系 .大多数立体几何解答题 ,既可以用向量法求解 ,也可以用几何法求解 .二是用向量法解题时 ,是选用基底向量 (不建立空间直
14、角坐标系 ),还是通过建立空间直角坐标系 ,选用坐标向量的关系 ,根据题目含义而定 .对于出现垂直关系的特殊几何体 ,如正方体、长方体、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥等 ,往往通过建立空间直角坐标系解答较为方便 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 2如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个面的中心 .求证 :平面 EFG 平面 HMN. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法一 以点 D为坐标原点 ,分别以 DA,DC,DD1所在的直线为 x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系 D-xyz,如图 .不妨设正方体的棱长为 2,则 E(
15、1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,2,1),M(1,1,2),N(0,1,1). = ( 0 , - 1 , 1 ), = ( 1 , 1 , 0 ), = ( 0 , - 1 , 1 ), = ( 1 , 1 , 0 ), , , EF HM , FG NH . HM平面 HMN,NH平面 HMN, EF 平面 HMN,FG 平面 HMN. EF平面 EFG,FG平面 EFG,EFFG=F, 平面 EFG 平面 HMN. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法二 建立空间直角坐标系如证法一 ,设平面 EFG的法向量为m=(x1,y1,z1). 则 m = ( x 1
16、, y 1 , z 1 ) ( 0 , - 1 , 1 ) = - y 1 +z 1 = 0 , m = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) =x 1 +y 1 = 0 , 从而得 x1=-y1=-z1, 设 x1=-1,则 m=(-1,1,1). 设平面 HMN的法向量为 n=(x2,y2,z2), 则 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ( 0 , - 1 , 1 ) = - y 2 +z 2 = 0 , n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ( 1 , 1 , 0 ) =x 2 +y 2 = 0 , 从而得 x2=-y2=-z2,设
17、x2=-1,则 n=(-1,1,1), m n, 平面 EFG 平面 HMN. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用向量方法证明空间中的垂直关系 【例 3】 在正棱锥 P-ABC中 ,三条侧棱两两互相垂直 ,G是 PAB的重心 ,E,F分别为 BC,PB上的点 ,且 BE EC=PF FB=1 2. 求证 :(1)平面 GEF 平面 PBC; (2)EG是 PG与 BC的公垂线段 . 思维点拨 :证明面面垂直通常有两种方法 ,一是利用面面垂直的判定定理 ,转化为线面垂直、线线垂直证明 ;二是证明两个平面的法向量互相垂直 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 :(1)(方法一 )如图 ,
18、以三棱锥的顶点 P为原点 ,以 PA ,PB,PC所在直线分别作为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系 . 令 PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0). 于是 = ( 3 , 0 , 0 ), = ( 1 , 0 , 0 ), 故 = 3 , PA FG.而 PA 平面 PBC, FG 平面 PBC. 又 FG平面 EFG, 平面 EFG 平面 PBC. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (方法二 )同方法一 ,建立空间直角坐标系 , 则 E(0,2,1),F(0,1,0),G(1
19、,1,0). = ( 0 , - 1 , - 1 ), = ( 1 , - 1 , - 1 ) . 设平面 E F G 的法向量是 n = ( x , y , z ), 则有 n , n . + = 0 , - - = 0 ,令 y= 1 ,得 z= - 1 , x= 0 , 即 n = ( 0 , 1 , - 1 ) . 而显然 = ( 3 , 0 , 0 ) 是平面 P B C 的一个法向量 , 这样 n = 0 , n ,即平面 P BC 的法向量与平面 EF C 的法向量互相垂直 , 平面 EFG 平面 PBC. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 ( 2 ) = ( 1 , - 1 ,
20、 - 1 ), = ( 1 , 1 , 0 ), = ( 0 , - 3 , 3 ), = 1 - 1 = 0 , = 3 - 3 = 0 , EG PG,EG BC, EG是 PG与 BC的公垂线段 . 反思感悟 用空间向量法证明立体几何中的垂直问题 ,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量 ,同时也要借助空间中已有的一些关于垂直的定理 .此种类型的题主要考查数形结合的思想 ,以及转化与化归的思想 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 3在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F分别是 BB1,D1B1的中点 .求证 :EF 平面 B1AC. 证法一 如图 ,取 A1B1的中
21、点 G,连接 EG,FG,A1B, 则 FG A1D1,EG A1B. A1D1 平面 A1ABB1, FG 平面 A1ABB1. A1B AB1, EG AB1. 由三垂线定理 ,得 EF AB1.同理 EF B1C. 又 AB1B1C=B1, EF 平面 B1AC. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法二 设 = a , = c , 1= b ,则 = 1+ 1 =12( 1+ 11) =12( 1+ ) =12( 1+ ) =12( - a + b + c ), 1= + 1= a + b . 1=12( - a + b + c ) ( a + b ) =12( b2- a2+ c a
22、 + c b ) =12( | b |2- | a |2+ 0 + 0 ) = 0 . 1,即 EF AB1 . 同理 ,EF B1C.又 AB1B1C=B1, EF 平面 B1AC. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法三 设正方体的棱长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2). = ( 1 , 1 , 2 ) - ( 2 , 2 , 1 ) = ( - 1 , - 1 , 1 ), 1 = ( 2 , 2 , 2 ) - ( 2 , 0 , 0 ) = ( 0 , 2 , 2 ), = ( 0 ,
23、 2 , 0 ) - ( 2 , 0 , 0 ) = ( - 2 , 2 , 0 ) . 1 = ( - 1 , - 1 , 1 ) ( 0 , 2 , 2 ) =(-1) 0+(-1) 2+1 2=0, = ( - 1 , - 1 , 1 ) ( - 2 , 2 , 0 ) = 2 - 2 + 0 = 0 , EF AB1,EF AC. 又 AB1AC=A, EF 平面 B1AC. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽视直线与平面平行的条件致误 【典例】 已知 A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,1,0),D(1,2,0),E(0,0,1),则直线DE与平面 ABC( ) A.直线
24、DE与平面 ABC平行 B.DE平面 ABC C.直线 DE与平面 ABC相交 D.直线 DE与平面 ABC平行或 DE平面 ABC 易错分析 :本题易得直线 DE 的方向向量 与平面 ABC 的法向 量垂直 ,进而得到直线 DE 与平面 ABC 平行的错误解答 ,实际上 ,当直线DE 在平面 ABC 内 ,也有 与平面 ABC 的法向量垂直 ,因此 ,需进一步判断 DE 是否在平面 ABC 内 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 :因为 = ( - 1 , 1 , 1 ), = ( 1 , 0 , - 1 ), 设平面 A B C 的一个法向量为 n = ( x , y , 1 ), 则 n = 0 , n = 0 , 所以 - + + 1 = 0 , - 1 = 0 ,解得 = 1 , = 0 .所以 n = ( 1 , 0 , 1 ) . 又 = ( - 1 , - 2 , 1 ), 所以 n = ( - 1 , - 2 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 ) = 0 , 所以 n ,所以 DE 平面 ABC 或 DE 平面 A B C . 因为 = ( 1 , 1 , - 1 ), 所以 = 2 + , 所以 A,B,C,D四点共面 , 即点 D在平面 ABC内 ,所以 DE平面 ABC.选 B.
