1、2.3 平面向量的数量积,2.3.1 向量数量积的物理背景与定义,1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.知道平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.,1,2,3,4,1.两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a,b(如图所示),作 =b,则AOB称作向量a与向量b的夹角,记作. (2)范围:0,并且=. (3)当= 时,称向量a和向量b互相垂直,记作ab.在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直. (4)当=0时,a与b同向;当=时,a与b反向. 【做一做1】 在等腰直角三角形ABC中,C=90,则答案:90
2、135,1,2,3,4,2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如图所示),作 =a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则有al=|a|cos . (2)当为锐角时,al0;当为钝角时,al0;当=0时,al=|a|;当=时,al=-|a|.,1,2,3,4,名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量;向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标,与向量a与轴l所成的角有关,与具体位置无关. 【做一做2
3、】 已知|p|=2,|q|=3,且p与q的夹角为120,则向量p在q方向上的正射影的数量为 ;向量q在p方向上的正射影的数量为 . 解析:向量p在q方向上的正射影的数量为|p|cos =2cos 120=-1.同理,q在p方向上的正射影的数量为|q|cos =3cos 120= .,1,2,3,4,3.向量的数量积(内积) (1)定义:|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos. (2)理解两个向量的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零. 【做一做3】 若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135,则ab等于( )答案:B,1,2,3,4,4.向量
4、数量积的性质 设a,b为两个非零向量,e是单位向量. (1)ae=ea=|a|cos; (2)ab ab=0,且ab=0ab; (3)aa=|a|2或|a|= ;(5)|ab| |a|b|.,1,2,3,4,【做一做4-1】 若mn0,则m与n的夹角的取值范围是( )答案:C 【做一做4-2】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则aa+ab等于( )答案:B,向量的数量积与实数的乘法的区别 剖析(1)若两个实数满足ab=0,则a与b中至少有一个为0.而若向量a,b满足ab=0则可推导出以下四种可能: a=0,b=0;a=0,b0;a0,b=0;a0,b0,但ab.(3)两
5、个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混淆. (4)向量线性运算的结果是一个向量,而数量积运算的结果是实数.,知识拓展1.两个向量a,b的数量积ab是一个数量,当a,b均为非零向量时,这个数量的符号与其夹角的大小有关.当00;当=90时,ab=0;当90180时,ab0;当a,b中至少有一个为0时,ab=0. 2.数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.知道了数量积的几何意义,可以帮助大家正确认识向量的数量积.如:当a0时,由ab=0不能推出b一定是零向量,这是因为任一与a
6、垂直的非零向量b,都有ab=0.,题型一,题型二,题型三,【例1】 已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为60时,分别求a与b的数量积. 分析解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算. 解:(1)设a,b的夹角为, ab,若a与b同向,则=0, ab=|a|b|cos 0=45=20; 若a与b反向,则=180, ab=|a|b|cos 180=45(-1)=-20. (2)设a,b的夹角为, 当ab时,=90,故ab=|a|b|cos 90=0. (3)当a与b的夹角为60时,题型一,题型二,题型三,反思1.求平面向量数量积的步骤是:(1)求a与b的夹角
7、,0180;(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即ab=|a|b|cos .要特别注意,书写时a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,也不能省去. 2.非零向量a和b,abab=0. 3.非零向量a与b共线ab=|a|b|.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 (1)已知向量a和向量b的夹角为30,|a|=2,|b|= ,则向量a和向量b的数量积ab= . (2)若|a|=5,|b|=2|a|,且a与b反向共线,则ab= . 解析:(1)ab=|a|b|cos=2 cos 30= (2)由已知可得|a|=5,|b|=10,=180, 于是ab=|a|b|cos=510cos
8、 180=-50. 答案:(1)3 (2)-50,题型一,题型二,题型三,【例2】 已知a,b是两个非零向量. (1)若|a|=3,|b|=4,|ab|=6,求a与b的夹角; (2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. 分析(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思求向量的夹角可应用数量积的变形公式 ,一般要求两个整体ab,|a|b|,不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出答案.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,答案:(1)120 (2)45,
9、题型一,题型二,题型三,易错点1:不理解正射影的定义致错 【例3】 已知|a|=3,|b|=4,且=60,试求a在b方向上正射影的数量. 错解:根据正射影的定义可知所求数量为ab,即ab=|a|b|cos 60=6. 错因分析把ab错误地理解成了a在b方向上正射影的数量,实际上要使用内积形式必须为ae才表示a在e方向上正射影的数量.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60,则b在a方向上的射影是 . 解析:b在a方向上的射影是|b|cos=2cos 60= 2=1. 答案:1,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,答案:-9,1,2,
10、3,4,5,6,1.若|a|=3,|b|=2,=30,则ab=( )答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:A,1,2,3,4,5,6,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析: cos A0,cos A0. 角A是钝角.ABC是钝角三角形. 答案:C,1,2,3,4,5,6,4.已知a,b都是单位向量,则下列结论中正确的是( ) A.ab=1 B.a2=b2 C.aba=b D.ab=0 解析:单位向量是指模长为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也是未知的,故选项A,C,D不正确,而根据数量积的定义知选项B正确. 答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:120,1,2,3,4,5,6,
