1、1正定矩阵集上的凹性定理卢兰秋（孝感学院 数学系 021113132，湖北 孝感 432100）摘 要： 本文将数学分析中的凹（凸）函数概念拓广到正定矩阵集上，给出了 Minkovski不等式的一种简单证法，进而 证明了本文的主要结果：对任意正定矩阵 、 及 ，有AB01.ln()ln(1)lnBAB关键词：正定矩阵；凹性定理；Minkovski 不等式A Concavity Theorem Of PositiveDefinite Matrix SetLU Lan-qiu(Dept.Math.,XiaoGan University 021113132,XiaoGan 432100,HuBei)
2、Abstract:In this paper,we generalize the concave functions conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set,we also give a simple proof of Minkovski inequality,and then prove the major conclusion: For any positive definite matrix 、 and ，we have AB01.ln(1)ln()lnABKey words:Posi
3、tive definite matrix; Concavity theorem;Minkovski inequality.20 引言矩阵的行列式是矩阵中的一个重要概念，它在线性方程组和矩阵的特征值等方面有相当重要的地位，人们对于有关矩阵的行列式不等式已经得到了一些漂亮的结果，比如 Minkovski 不等式 1：（1）1nAB1n本文将给出这个不等式的一种新证法，适用于更广泛的一类矩阵，还有Fanky凹性定 ：2理（2）1(1)AB利用不等式的一个重要性质：几何平均值不小于算术平均值，由不等式（1） ，可得，1nAB1n12nAB进一步化为12()2（3） 对（3）两边取对数，得到（4）121
4、1ln()lnl22ABAB能否将（4）推广到更一般的结果，即若 、 为正定矩阵，对任意的 ，(0,1)是否有（5）ln(1)ln(1)lnABAB本文将证明这一结论，同时将数学分析中的凹（凸）函数概念进行推广，定义正3定矩阵集上的凹（凸）函数，最后考虑了给出正定矩阵集上的凹函数的一些应用本文将建立关于正定矩阵的几个引理，借助这些结论，用一种较为初等的方法证明正定矩阵的 Minkovski 不等式，最后证明我们的主要结果，即：定理 对任意正定矩阵 、 及 ，有AB01 （6）ln(1)ln()lnB本文用 表示实数域，用 、 分别表示是矩阵 的转置和行列式，用R A表示所有 矩阵构成的线性空间
5、n 基本概念定义 13 设 是 实对称矩阵，如果对所有非零的 ，有An nXR0TXA则称 为正定二次型，而 称为正定矩阵.TX实对称矩阵是正定矩阵有多种等价定义形式，几种常见的等价命题是 3：引理 13 设 为 级实对称矩阵，则下列命题等价：An() 为正定矩阵；() 合同于单位矩阵；() 的所有顺序主子式全大于零；A() 的正惯性指数为 ；n() 的的所有特征值全大于零；定义 24 设 在 上有定义，如果对 , 及f(,)ab12,()xab12x0 ，成立不等式11212()()()fxfxfx则称 是 上的凹函数.如果不等号反向，则称 是 上的凸函数.f(,)ab ,ab下面，我们把数
6、学分析的凹（凸）函数概念推广为4定义 3 设 为在一个定义在 上的实函数，如果对任意的()fx(0,)正定矩阵 、 及任意 ，都有nAB0,1()()1()fABfAfB（7）称 是正定矩阵集上的凹函数. 如果不等号反向，则称 是正定矩阵集上()fx ()fx的凸函数.比较根据定义 2 与定义 3 可知，正定矩阵集上的凹（凸）函数与通常的凹（凸）函数相比较，它实际上是一种强凹（凸）函数.当 是正定矩阵集上()fx的凹（凸）函数时，它一定也是(0, )上的凹（凸）函数，这可以从正定矩阵、 都取 矩阵，即都取正实数看出；反之，对一般的凹（凸）函数，它AB1们未必一定是正定矩阵集上的凹（凸）函数.
7、对于 ，由 ， 可知 是 上的凹函()lnfx1()fx21()0fxlnx(0,)数，本文的主要结果说明了 同时还是是正定矩阵集上的凹函数.l定义 45 任意 ，若存在可逆矩阵 ，使得,nABR,nPQR、 同时为(主对角元素为非负实数)的上三角矩阵，则称 、 为可PAQ AB广义同时(非负)上三角化，当 时，则称 、 可同时(非负)上三角化.PQEAB根据文献5及6中的结果，有对 ，若 、 满足下列条件之一，则它们可广义同时上三角化：,nABRAB() 或 ；0() 、 为正定矩阵；AB() 的特征根为非负实数；1,() ,且 、 的特征根为非负实数()rankAB 引理与定理的证明5为证
8、明主要结果及讨论正定矩阵集上的凹（凸）函数，下面，我们给出一些引论.引理 1 设 、 是 实对称阵， 是正定阵，则存在实可逆阵 ，使ABnAT为对角阵.()T证明 由于 是正定阵，从而合同于 ，即存在实可逆阵 ，使 ,而EPAE仍为实对称阵，从而存在正交阵 ，使PBQ（8）1()nPB其中 是 的特征值，令 ，则1,n TQ，()()AE1()nTBP于是，有（9）1()nTAB注: 利用本证明方法，可以得出正定矩阵的一个重要结果：引理 2 设 、 都是 正定矩阵，则存在实可逆阵 ，使nT， ，这里 ， .TAE1 nBT 0i1,2in证明 仿照引理 1 的证明，只需注意到 为正定矩阵，引理
9、得证.PB引理 37 对任意 正定矩阵 、 ，都有nA.11()nn引理 45 (赫尔特不等式) 设 ， ， ，则0iaib0s11()kksiiiisa6证明 当 时，不等式显然成立，当 或 时等式成立；10kiab0,s1当 时，记 ，则有1,kis()1sfasa(1)1()(2)(1)2,0, 0,s sfaff 所以， 即得0.，11()kksi iisaa令 则有,iiab11(),sk ki iiiaasb引理 2 成立.结合引理1、引理2、引理3，我们给出著名的 Minkovski 不等式的一个简单证法，即下面的命题：命题（Minkovski 不等式）设 、 是正定矩阵，则AB
10、11nn证明 由引理 2，存在实可逆阵 ，使T， （10）AE1 nB因此，有1()nTAB（11）这里 ， .0i1,2in对（10） 、 （11）取行列式，得，2 1TA7，212 nTB ()(1)nAA注意到 ，则1212()()nn 22TBTB得到，A于是 11()()nnB再由引理 3 的结论：，11()nnA故有111()()nnnBAB命题得证最后，我们来证明本文的主要结果定理的证明 要证 ，即证ln(1)ln(1)lnABAB(12)1A由引理 1， 可逆矩阵 ，使得UE10 ,inB，1 ()UAEU1()AU同理，有 8110()nBUU则11 10()()nE 112
11、()0nU即 11 0()nUE 211()nU化简为 1 112()0()0()nn 即证 12()()(1)n12n 1由引理 4 中赫尔特不等式的特例( 的情形)：k，1(qqxyx则有 11()从而，证得9.ln(1)ln(1)lnABAB推论 1 若 、 可同时非负上三角化，即存在可逆实矩阵 ，使得T与1 nT 1 nT成立，这里 都是非负实数， .则,i,2i.ln(1)l(1)lABAB证明 类似于定理 1 的方法可证，这里从略.推论 2 对 ，若 、 满足下列条件之一：,nR() 或 ；0AB() 、 为正定矩阵；() 的特征根为非负实数；1,() ,且 、 的特征根为非负实数
12、()rankABAB则.l(1)ln(1)lnB证明 根据文献5及6中的结果，当 、 满足上述条件之一时， 、AA可同时非负上三角化，由推论 1 即得本推论结论成立.B致谢：感谢数学系胡付高副教授的悉心指导.参考文献1 Bellman R. Inepoductonto Matrix AnalysisM.New Youk:McGrawhill,1970.2 BECKENBAHEF.InepualitiesM.Springer,19613 北京大学数学系.高等代数( 第三版)M. 北京: 高等教育出版社，20034 华东师范大学数学系.数学分析( 上册)（第三版)M. 北京: 高等教育出版社，20
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