1、1摘 要 ： 培养学生的审美能力是素质教育的重要内容本文在论述数学美的特性及培养学生数学审美能力的意义的基础上，提出了培养学生数学审美能力的若干策略关 键 词 ： 数学教学，数学美，审美能力2Abstract：It is important content of quality-oriented education to cultivate aesthetic ability of students. On the basic of discussing features of mathematical beauty and meaning of cultivating mathematica
2、l aesthetic ability of students, this paper propounds various strategies of cultivating mathematical aesthetic ability of students.Keywords：mathematical education, mathematical beauty , aesthetic ability3目 录1 前言 42 数学美的特征 42. 1 简洁性 52. 2 和谐性52. 3 奇异性 63 培养学生数学审美能力的意义 63. 1 培养数学审美能力有利于激发学生的学习兴趣63. 2
3、培养数学审美能力有利于提高学生的思维水平73. 3 培养数学审美能力有利于促进学生的全面发展83. 4 培养数学审美能力有利于培养学生的数学创造性84 培养学生数学审美能力的策略 94. 1 在概念形成过程中发现美94. 2 在命题探究过程中渗透美 94. 3 在问题解决过程中创造美104. 4 在知识归纳总结中突出美11结论 13参考文献 14致谢1541 前言美和美的教育是学校教育中不可缺少的重要内容，而数学美若能在数学教学过程中得到合理的运用，便会产生不可估量的审美价值.在数学教学中培养学生的审美能力，领会数学的审美价值，从而提高学生的文化素养和创新意识是时代对我们教育提出的要求.数学课
4、堂是培养学生审美能力的主阵地，在课堂教学中应通过教学过程的设计把数学美的内容揭示出来，为培养学生的审美能力提供良好的外部环境；并通过各种思想和方法的运用，诱发以求知欲为核心、以兴趣，情感为基本内容的心理动因，为学生审美能力的培养，提供良好的条件.在教学过程中，我们可以感受到如今的学生越来越怕学数学.他们谈“数”色变，在他们的眼里数学变成了一堆冷冰冰的数字和奇特符号的组合，初等数学学习恐怕留给他们的只是“枯燥、繁难”的口味了！造成这种数学教育被动局面的原因何在？诚然，我们不可否认这是现行应试教育制度作用下的不良结果，但当前在向素质教育转型的变革时期，我们更应由学生的数学学习反观自身的教学活动所存
5、在的问题.我们的教学是否应该给学生呈现出数学知识的鲜活、美的一面，让他们感受到数学不是“冷冰冰”的，而是“鲜活”的；不是枯燥无味的，而是赏心悦目的呢？在传统的数学教学中，由于审美意识不强，教与学的不得法，学生往往形成一种数学不是数字就是公式的枯燥印象，难以对数学产生兴趣，部分学生甚至有恐惧心理，不能产生强烈的求知欲望.即使有些学生学习兴趣较浓，勉强感受到一点数学“好玩”、“能使人动脑子”、“数学有无穷的奥秘”等，他们也只是初步感受到美，一般都是无意识的，对数学中美的意蕴、美的表现和美的启迪还缺乏明确的深刻的理解.在新课程改革的背景下，在数学教学中，怎样使学生更好的感知和理解数学美，使其在愉悦的
6、数学审美活动中潜移默化地陶冶性情，执著于对数学的追求，充分发挥其在数学方面的创造潜能，其方法和途径是值得我们研究和探讨的.本文根据数学美的特征，着重探讨培养学生数学审美能力的若干策略.2 数学美的特征爱美之心，人皆有之.然而，一提到美，人们最容易想到的是：“秀丽的江山，迷人的景色”的自然美，悦目的画面，动听的音乐，优美的文章这些艺术美.然而，在数学王国里也蕴涵着这些美丽的境界，正如古希腊数学家普洛克斯所说的“哪里有数学，哪里就有美.”数学之美充满整个世界，它的内容统一，表达简洁，形式对称，思维奇异，无不体现出数学美的因素.数学美的特征可以归纳为简洁性、和谐性和奇异性.52.1 简洁性简洁本身就
7、是一种美，而数学的首要特点也在于它的简洁.数学家 L.J 莫德尔说：“在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概就是简洁性了.”数学的简洁性在人们的生活中例子很多，比如：纸币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元就可以简单地支付任何数目的款项.而在数学中，简洁性的例子也是不胜枚举的：数学中用“！”表示阶乘，用“ ”表示连加，用“”表示连乘，那么可分别表示为 n！， ， ，这些都体现了(1)2,n 12,na 12na ia11ni数学符号的简洁之美.对于圆锥曲线，无论其多么复杂，都可用方程表示对于三角形，尽管它有千姿百态，但人们却用022 FEyDxCyBxA去囊括了所有
8、三角形的面积.为 该 边 上 的 高 ）为 底 边 长 ，（ hahS12.2 和谐性在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，“世界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”，美与和谐是数学家们追求数学美的准则，也是他们建立数学理论的依据.著名德国数学家、物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连.”对称在数学中的表现则是普遍的：在平面上的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称）；空间的情形除了直线对称和点对称外，还有平面对称；在代数上，形如 12123,xx等均是对称多项式；毕达哥拉斯、柏拉图所认为的宇宙结构最简单的基元正多面体是对称的，他们喜欢的图案五角星也是对称的，圆也是对称图形（诗人
9、但丁曾感叹到：圆是最美的图形）.从所有的对称图形外表看，对称是一种和谐美，它能给人一种视觉平衡和协调感.除了对称性之外，统一性也是和谐美的一种表现，如欧拉公式：e =cos + sin ii，通过这样一个公式，把三角函数、虚数 与指数函数统一起来，达到了数与形的统一美.又i如全部二次曲线：椭圆、抛物线、双曲线都统一在圆锥里即它们都可以通过不同平面去截圆锥面而得到（这也正是圆锥曲线名称的来历）.当然在学过极坐标之后，所有二次曲线在极坐标下都可以统一于以下的方程： = , 为焦点cos1ep双 曲 线抛 物 线椭 圆,1,0ep6参数.2.3 奇异性奇异性是数学美的一个重要特征.培根说过：“没有一
10、个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特.”他又说：“美在于奇特而令人惊异.”我国著名的数学家徐利治说过“奇异是一种美，奇异到一定程度更是一种美”奇异性包含着新颖和出乎意料的含义，也就是说，那些被称为奇异的事物所引起的不仅是赞叹，而且是惊愕和诧异.例如在研究杨辉三角的图形时你就能发现组成它的数有一定的排列规律，比如 = ；C1213C1n2 = ；435341n由此可以得到组合数公式： ，rrC211rrnr （ ）许多重要的数学公式都跟组合数有关，只要适当地记住杨辉三角的一部分，就能发现许多数学规律了，这是何等的奇异与美妙啊！数学中一些不可能性命题的证明也体现了数学的奇异美，例如，挪威的数学家阿
11、贝尔提出的“五次和五次以上的方程是不可能有一般形式的根式解”；费尔马提出的“当 3 时，方程 + 没有非零的整数解”，nnxynz从一开始的提出到最终解决历时三百多年，它的奇异之美如此之娇,引无数数学家为之倾倒！另外还有一个悬而未决的问题货郎担问题：假如有一个货郎要到若干个村庄去售货，最后仍要回到出发点，问他应如何走才能使他的行程最短？当然数学中，还有很多这样的问题，在此就不一一罗列了，它们都让我们感到了数学的奇异之美！ 3 培养学生数学审美能力的意义 马克思指出，人类社会的生产活动是按照美的原则进行的.一般地，在学校进行美的教育的目的在于养成学生乐于自觉感受客观现实中存在的自然美和创造美的良
12、好习惯，培养学生正确认识美欣赏美的能力和创造美的技巧，以及培养学生高尚的思想情操及朝气蓬勃的精神面貌对于数学教育与教学而言，培养学生的数学审美能力，能够激发他们对数学科学的爱好与学习兴趣，增长他们的创造发明力，以及培养他们严谨缜密的思维习惯.具体地说，培养学生的审美能力有如下意义：3.1 培养数学审美能力有利于激发学生的学习兴趣7数学美是一种理性美，它不像艺术美那样外显.因此，在传统的教学过程中，对于中学生来说，由于受生活阅历、知识水平等方面因素的限制，很难从所学内容的表面体会到数学的美感，更谈不上兴趣了.在实施素质教育的大背景下、在培养学生审美能力的号召下，我们应通过教学过程的精心设计，充分
13、提炼教材中的美学因素，把抽象的数学理论中美的特点充分展示在学生面前，不失时机的引导学生去体会数学中内蕴的美，使学生感知和理解数学美.一般地，可以在提出问题时，揭露它的新颖、奇异或形态的优美，以引起学生的好奇心；在分析和解决问题时，使他们感受到思维方式与方法的奇妙、新奇别致，促使他们自觉地去掌握它；在对知识的整理过程中，让他们体验到数学的和谐、统一、简洁之美，这样不仅可以减轻他们记忆的负担，而且让他们品尝到数学结构的美妙，激发他们对数学学习的兴趣记得在大三时我们上过一门课叫数学方法论，是系里的孙智宏老师教的，至今记忆犹新，他通常在每节课的最后五分钟讲数学家的故事，大家都听得忘记了下课，以后的每节
14、课大家都盼着听那最后的五分钟内容，现在回想起来还能记得不少数学家故事中的细节.站在培养数学审美能力的高度看，我们的确感受到了数学史中的美，并受到这种美的熏陶，喜欢上了这门课.从心理学的角度看，对美的追求是人的本能，而美的事物能唤起人们的愉悦，“喜欢”上某一门课正是我们受到美的感染的表现.综上所说，在中学数学教学中，通过我们对教材内容的充分把握和挖掘，充分揭示教学资源中蕴涵的数学美，培养学生的数学审美能力，使学生对蕴涵于数学知识之中的美产生一种肯定的积极的情绪体验，这种体验会激发他们的学习热情和追求知识的强烈愿望，坚定他们学好数学的信心和决心，并产生出发现和识别数学真理的灵感，从而进一步激发他们
15、学习数学的兴趣.3.2 培养数学审美能力有利于提高学生的思维水平庞加莱认为：“数学家非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非是华而不实的作风，那么，到底是什么使我们感到一个答案，一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡.一句话，那就是井然有序，统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解.这正是产生伟大成果的地方.事实上，我们越是能一目了然地看清楚这个整体，就越能清楚地意识到它和相邻对象之间的类似，从而就越有机会猜出可能的推广.”庞加莱的这种把对数学美的追求与伟大成果的产生以及数学的思维联系在一起的看法是十分精辟的.事实上，任何一个科学的美的成果都必然是科学思
16、维方法的产物.数学家是这样做的，那我们学生又应该如何做呢？贝尔特拉米认为：“学8生应该及早地象数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏.”在中学数学教学中，当一种解答尚未达到数学美的境界时，我们应尽可能地引导学生努力按照美的规律加以改进，这样必然会启迪和推动学生的数学思维活动，从而提高他们的思维水平.3.3 培养数学审美能力有利于促进学生全面发展英国数学家怀特海（A.N Whitehead，1861-1947）曾指出：数学是真、善、美的统一.就数学理论本身而言，它的奇特微妙简洁有力以及人们在建立数学理论时所具有的创造性思维，这些都是
17、数学的美.狄尔曼说：“数学能够集中加速和强化人们的注意力，能够给人们发明创造的精细与谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和自信心.数学比起任何科学来，更能使学生得到充实和增添知识的光辉，更能锻炼和发挥学生们探索真理的独立工作能力.开普勒认为：“数学是这个世界之美的原型.”数学拥有至高的真善美.数学的美体现了数学的艺术价值.数学美涵纳的文化积淀将提升我们的精神境界，从而使人的身心得以不断纯化、净化，在心清神明的心境下，我们可以不断感悟到人的价值和存在的意义，以及人的尊严.在审美活动中，美的对象以自身不可抗拒的魅力感染鉴赏者.在数学审美活动中，我们强调要培养学生的科学精神和人文精神，要激发学
18、生对于数学创新原动力的认识，使其感受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识.综上所说，学习数学本身，能促进学生智育的发展，而在数学学习中，培养学生的数学审美能力，又能达到美育的目的，所以我们说能使学生成为和谐发展的人.3.4 培养数学审美能力有利于培养学生的数学创造性数学审美能力的具备对数学创造意识有很强的激励作用.我们先听听数学家是怎么说的，数学家魏尔说过：“我的工作总是努力把美和真联系起来，而当我必须作出选择时，我通常选择美.”魏尔的话表明对美的追求以及美的感受会激励人的数学创造灵感.数学审美能力对置身于数学发现和数学创造实践活动中的人来说，任何时候都是一种
19、巨大的动力.当一个人对数学美有了自己的体会，具备了一定的数学审美能力，就能培养出数学兴趣，就能对数学有强烈的求知欲和好奇心，对学习和研究会变得自信、热情和勤勉，就会产生一种追求美的动机，从而激发对数学的创造性.正如本世纪最伟大的数学家之一冯.诺伊曼所说的：“数学家无论是选择题材，还是判断成功的标准主要都是美学的.”9在一位数学家的自传里，他总结的发明创造技法中有这样一条美学原则：最终结果必然简单优美，不会很复杂或无规律，因此优美的东西不能轻易放弃.在中学数学教学中，特别是在解题教学中，我们应通过最大限度的激发学生追求最优解题方案和最佳结果的创美兴趣，启发学生思维，鼓励他们多向思维，引导学生反复
20、探索，直到作出有创美特征的解答来.综上所说，培养学生的数学审美能力，必然有利于培养学生的数学创造性.4 培养学生数学审美能力的策略4.1 在概念形成过程中发现美数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心.因此我们要培养学生的审美能力，必须要重视数学的概念教学，使学生从对一个问题的原始认识开始就感受到数学美的存在.例如，我们可从数学内在需要上来引入复数这一概念，让学生回答以下几个问题：方程 在小学里为什么解不出来？（因为不知道还有负数）；方02x程 在初一时为什么解不出来？（因为不知道有无理数）；数从正数扩到实数，02x数的运算规律有没有发生变化？（无）；方程 在实数范围内有解吗？
21、（无）012x这时追问：你能参照过去的方式引进一种数，使方程有解吗？自然“虚数”就随之浮出水面了.引入很朴实，没有什么高深的理论，但能使学生在复数概念的形成过程中自觉地按照美的规律进行创新思维，同时使学生感受到数学创新所遵循的从不和谐统一到和谐统一的规律，又在更高的层次上让学生感受到数学的“和谐统一”美！又如，在学习“神奇的黄金分割”时，在对黄金分割的引入上，我们可以给学生提供现实原型：比如人的各部分的结构比符合黄金分割时，便是最标准的体型；主持人站在舞台的黄金分割点位置时，会取得最佳的舞台效果；弦乐器的声码放在琴弦的 0.618 处，会使声音更甜美；名画的主题，大都画在画面的黄金分割点处等等
22、.通过这些例子的介绍，使学生获得了十分丰富的合乎实际的感性材料，加深了学生对黄金分割这一概念的认识和理解，同时，向学生们展示了在日常生活中无处不在的“黄金分割”美，激发了学生对数学学习的兴趣.在中学数学教学中，我们应努力发现概念形成过程中的美，使学生感受到数学的美就在眼前，使学生养成作为审美主体对于审美对象应有的感知能力，进而培养出学生的数学审美能力.4.2 在命题的探究过程中渗透美命题的探究是教学过程中容易忽视的地方，学生在命题的探究上也存在不少问题，对10于一个具体问题的推导，学生更是知之甚少.当然，命题的探究过程有时确实有一些生硬并带有一定的技巧性，学生一般很难接受，但如果我们在命题的探
23、究过程中，让学生体验、感受到数学美的真谛，那么情况就会不同了.举个例子，椭圆标准方程: 21xyab，如果不注重推导过程，生搬硬套，那么在学生眼里，这个方程只是一些符(0,)ab号的堆积，更谈不上理解和记忆了.那么究竟应该怎么做呢？首先，由椭圆的定义知， ，在得出此式后，我们应22()()xcyxcya及时地提问学生：你认为这样形式的等式美吗？提出这样的问题，本身它的答案无关紧要，但它的意义举足轻重，这是我们给学生体验、感受数学美的机会.其次，经过学生的回答，大家一致认可它不美，必须进一步简化，得到 ，为了便于22()acxcy使用，我们不妨记它为（*），将（*）式两边平方整理得：此时让学生比
24、较前后两式，让学生亲身感受到命题推导过程222()(),acxyac中的乐趣，在自己眼皮底下，一个繁琐的式子变成了较为简洁的式子，这时再次发问，这样的式子是最简洁、最美的吗？我们应该如何进一步“变形”，使它达到最美的境界呢？最后，经过大家的共同讨论，得出：令 则有 22,0acb且 ， 21xyab，这样就得到了椭圆方程最简单最优美的形式，得出这样形式的方程，不仅(0,)ab有利于记忆，也为研究椭圆性质奠定了基础.在命题的探究过程中，我们应注重调动学生的积极性，不失时机地渗透美学思想，让学生感受到数学的美有时就在眼前引导学生利用学过的知识，以美学的观点为指导，确定探究的方向，从而养成良好的思维
25、习惯，在更高层次上受到了数学美的熏陶.4.3 在问题解决过程中创造美数学美不仅是一种审美标准，而且还是我们进行创造性思维活动的行为准则.当我们从数学美的角度来审视问题时，常能受到启发，从而冲破旧的思维框架，开拓新颖巧妙的解题思路，创造性思维能力也必得到培养与提高狄德罗说过“数学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题；所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易解答.”在解题过程中，利用问题内在的和谐统一的特性，在11追求简洁的美学思想的指导下，常能创造性的给出一些优美奇妙而又简洁的解答例 设 .110,xyzxyzzxy求 （ ） （ ） （ ）分析：为了追求条件和结论的和谐统一，使原来轮换对称的
26、结论更加完美，我们必须构造出 .通过观察我们发现可以在待求式的三项中分别加上 1，来实现整体结构的高度统一，从而获得解题的新思路.解：因为 =0， ，所以zyx0xy)1()1()( yxzz= 3)()()( zzyx= 3)1)(z= 0 =-3.1()xyz有人说:如果把数学当作诗集来读，那么摆在面前的任何一本数学教程，就会突然从一堆死气沉沉的公式变成洋溢着和谐、充满着奇异美和浸透了简洁美的一部诗集.在中学数学中，只要我们把数学美融于解决数学问题的过程中，那么不但使问题的解答变得简洁轻松自然，而且学生也会如释重负，不断提高对数学的兴趣，使学习的效果达到和谐统一、简洁自然、奇异如神！4.4
27、 在知识的归纳总结中突出美数学的美常常蕴涵在知识结构和数学对象的相互联系之中，只有注意到知识之间的联系，把握整体结构，才能真正体验到数学的美感.我们要培养学生的审美能力，就必须重视知识的归纳总结.如在学习棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台等图形后，学生们普遍反应这些图形形状各异、千变万化，对于各个图形的体积公式更是很难记忆.这就需要我们在对这一章的知识点进行归纳总结时，要利用数学的统一美去审视，我们发现可从极简单的两个公理逐步推导出这些形体的体积公式，并且它们可以统一于一个“万能公式”：中.又比如在学习完三角函数的诱导公式后，发现一共有四、五十)(31212SShV个之多，学生很容易混淆.在这
28、一章的知识归纳总结中，我们要利用数学美的和谐性去揭12示它们的规律，突出“万变不离其中”的美，即“奇变偶不变符号看象限”，使学生不再害怕记那些公式，在记公式的同时受到了数学美的熏陶.综上，为了培养学生的数学审美能力，在知识的归纳总结过程中，我们可以引导学生将所学知识进行概括总结和挖掘提炼，使知识形成一条知识链，进而形成知识网络，更加突显数学知识结构的统一和谐美.13结 论培养学生的数学审美能力是素质教育的重要内容本文根据数学美的特性，在论述了培养学生数学审美能力意义的基础上，提出了在概念形成过程中发现美在命题探究过程中渗透美在问题解决过程中创造美在知识的归纳总结过程中突出美等培养学生数学审美能
29、力的若干策略14参 考 文 献1 田万海.数学教育学M.浙江：浙江教育出版社,1997:170-172.2 吴振奎，刘舒强.数学中的美M.天津：天津教育出版社,1997:16-17.3 刘君文，张恩华.数学学习论M.广西教育出版社,1996:151-152.4 朱水根，韩月丽.论数学审美能力的培养J.吉首大学学报,1995,16(5):30-31.5 乔爱萍.以数学美怡情 以数学美储善J.淮阴师范学院教育科学论坛,2006,2:79-80.6 徐慧林.用数学自身的美吸引学生J.教育革新,2007,3：63.7 侍梅香. 浅谈数学审美能力的培养J.淮阴师范学院教育科学论坛,2007,3:54.8 莫江文，肖春梅.数学美在中学数学问题解决中的应用J.河池学院学报,2005,25(2)：79-80.9 孟宪杰.数学教学中应注重数学审美教育J.天津职业院校联合学报,2007,9(5):98.10 张小宁数学美在数学教学中的运用J成都大学学报，2007，21(9):6015致 谢对论文写作期间，程希旺老师以及系领导、班主任和各任课老师的悉心指导表示衷心的感谢！
