1、“数学史与不等式选讲”模块（10 分）1、证明：已知 ,且 ，求证：Rcba,1ac 27)(2)(cba已知 且 ，b求证： 5311acb证明证法 1： )2()(（1+1+a ）(1+1+b)(1+1+c) = 5 分33cb27ab证法 2：8+4（a+b+c）+2(ab+ac+bc)+abc 9+12 +6 =27)()(cba 3c32)(ab5 分 证明： =bacb11 b22=2（ ）-3 10 分ca22 53)(c2、 （1）求函数 的最大值；15yxx（2）若函数 最大值为 ，求正数 a 的值64a25解：（1） 2()()1)8xxx3 分5当且仅当 5 分max1,
2、2.xxy即 时（2） 2 23(64)(1)(4)1)2a x5)由已知 10 分2(40:2,0,2aaa得 又3、已 知 a 0,b 0， m， n R， 2mbn， 令 2,MmnNab，试 确 定 ,MN的 大 小 关 系 并 证 明 。解 ： 显 然 20n， 22nabn 21abn 4 分222 2()()()()mm8 分 ， 所 以 MN 10 分4、已知正数 满足 .zyx, 10345zyx(1) 求证: ;59163222(2) 求 的最小值. 229zyx(1) 解: 根据柯西不等式，得 459316425534( 22yxzzyyxxzy )()(),25x因为
3、,1034zy所以 . （5 分）5201459622yxzx(2) 解: 根据均值不等式, 得,22222 399zyxzyxzyx 当且仅当 时, 等号成立.根据柯西不等式, 得,10)345()345)( 2222 zyxzyx即 ,当且仅当 时, 等号成立.345z综上, .182922zyx当且仅当 , , 时, 等号成立,15所以 的最小值为 18 . 22zyx（10 分）4、 1 用 ma,b表示 ,a两个数中的较大值.设 ()max1,2f(xR),求()fx的最小值;2、 用 ,c表示 ,c三个数中的最大值; 设 254(,)a,233xyxyfy( ,xy),求 (,)f
4、xy的最小值.解:(1)由 ()1fx, ()2fx （1 分）得 23 （3 分）3()fx又当 12时, ()2fx min()2fx （1 分）(2) 由 (,)3yfx, 3y, 54()23yfx （1 分）得 2543(,)2xfyx33y= ()()(54)22xy （3 分）,3f又当 2xy= 3xy= 542y,即 8,2xy时, 2(,)3fxymin(,)3f. （106、已知 ， abcR（1）求证： ；cab19（2）求 的最小值.2221()()()bc1）由柯西不等式可得 cabcab91,)(即 ）（整理得 5 分ac9（2）解法一：22211()()() (
5、1)3bcaa2211()36abcac当 且 仅 当 时 取 等 号 .故最小值为12。10 分解法二： 222222311()()()()1abcabcacbaa当 且 仅 当 时 取 等 号 .解法三： 22231()()()412acbcba当 且 仅 当 时 取 等 号 .7、设正数 x，y，z 满足 3451.xyz（1）求证： ；220（2）求 最小值1xyzx解：（1）由已知得 3451,y所以，由柯西不等式，得 2222()(345)(345)1,xzxyz即 5 分221.50xyz（2）设 ,abzxc,223451,31.caxyab则代 入 得所以，由柯西不等式，得，
6、2111()(32)(13)abcxyzxc当且仅当 时“=”成立。32ab所以 10 分211(13).xyzx的 最 小 值 为89、已知 为正实数，且 证明：,abc3abc，并求等号成立时 的值2222()()()4(),abc证明： 数 学 题 号 ： 03 “数 学 史 与 不 等 式 选 讲 ”模 块 设 ,， 且 22zy， （ ） 求 证 ： 211994xyzx （ 2） 求 x的 最 小 值 题 号 ： 04 “矩 阵 与 变 换 和 坐 标 系 与 参 数 方 程 ”模 块 在 极 坐 标 系 中 ， 极 点 为 ， 已 知 “葫 芦 ”型 封 闭 曲 线由 圆 弧 和
7、 圆 弧 组 成 已 知3(4,)2,)(42,)BCD （ ） 求 由 圆 弧 和 圆 弧 的 极 坐 标 方 程 ； （ ） 求 曲 线 围 成 的 区 域 面 积 D CBA x数 学 题 号 ： 03 “数 学 史 与 不 等 式 选 讲 ”模 块 设 ,， 且 ， （ ） 求 证 ： （ 2） 求 yz的 最 小 值 （ 1） 证 明 ： 2222()1()919339yzxyzxyzzxy 要 证 ： 222y 只 要 证 ： (39xz 1xz 又 1yxyz成 立 故 有 ： 2221994zx 5分 （ 2） 由 2222222, ,yxyzyzxzxy得 ：2221xzzy
8、2()yxz2223yzx8分 当 3xy时 xzy 故 zxyz的 最 小 值 是 3 10分 法一：222 2()()()(|)acbacbacbc5 分2|43当且仅当 且 时，取到等号.|acbc()0bac或a若 ，即 ，cckab(1),(),(1)kkbkc 3(1)3aa， 或 2k0k32当 时， ；0abc当 时， ，从而 325135935,44abc若 ，则cctab(),(1),()ttbt,3(1)t， K*s*5*u0,0ctabc当 或 时取到等号10 分35935,244abc1（指出 时得 2 分，指出 时得 3 分 ）1c 395,24abc法二： 222
9、22 22()()()4()3143()()143abcabccacb1()()43abc5 分2222()()()4()acbcac当 即 且当 时，即 或,b2a214)03babc时取到等号ac当 时，又由 得 ；2b3bc5935,244ac当 时，又由 得 2ac1bc当 或 时取到等号10 分35935,244bca10、已知 ,xyzR，且 1xyz（1）若 2236，求 ,的值。（2）若 xytz恒成立，求正数 t的取值范围。解：（1） 22 21(36)()()13xyz2分当且仅当 21136xyz时取“”236xyz又 xyz4 分1,5 分（2） 22 21(3)()()13xytzxyzt7 分min56t9 分2231xytz恒成立， 156t6t10 分解：(1)由柯西不等式得
