1、抽象函数常见题型解答教学目标 抽象函数常见题型解答重点难点 思维训练【提出问题】什么是抽象函数？抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。我们将要学会抽象函数常见题型的解法。【课前演练】1、已知函数 f(x)的定义域为 ，当 x1 时，f(x)0，且 f(xy)=f(x)+f(y)(0,)（1）求 f(1)（2）证明 f(x)的定义域上是增函数（3）如果 = - 1，求满足不等式 的 x 的取值范围。()f 1()2fx2、定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0) ,当 x0 时，f(x
2、)1，且对任意的实数 a,b，有 f(a+b)=f(a)f(b)，0（1）证明：f(0)=1（2）证明，对任意的实数 x，恒有 f(x)0（3）证明 f(x)是 R 上的增函数【分类讲解】一、定义域问题例 1. 已知函数 的定义域是1，2 ，求 f（x）的定义域。)(xf解： 的定义域是1，2 ，是指 ，所以 中的 满足)(f 21)(2f2x412从而函数 f（x）的定义域是 1，4评析：一般地，已知函数 的定义域是 A，求 f（x）的定义域问题，相当于已知 中 x 的取)(xf )(f值范围为 A，据此求 的值域问题。)(x例 2. 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。)(xf21，
3、)3(log21xf解： 的定义域是 ，意思是凡被 f 作用的对象都在 中，由此可得)(f， ，41)21(3)21(3log12 xxx所以函数 的定义域是)(l21f ，评析：这类问题的一般形式是：已知函数 f（x）的定义域是 A，求函数 的定义域。正确理解函数)(xf符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 的值域 B，且 ，据此求Ax 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。二、求值问题例 3. 已知定义域为 的函数 f（x） ，同时满足下列条件： ；R 51)6()2(ff，求 f（3） ，f （9）的值。)()(yfxyf解：取 ，得2， )3(2)6
4、(ff因为 ，所以51)()(ff， 54f又取 3yx得 58)()9(ff评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取 ，这样便把已知条件32yx，与欲求的 f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。51)6()2(ff，三、值域问题例 4. 设函数 f（x）定义于实数集上，对于任意实数 x、y， 总成立，且存在 ，)()(yfxyf21x使得 ，求函数 的值域。)(21f)(xf解：令 ，得 ，即有 或 。0yx20ff 0)(f1)(f若 ，则 ，对任意 均成立，这与存在实数 ，使得)(f )()fxfxf Rx21x成立矛盾，故 ，必有 。21x01)(由于 对任意 均成立
5、，因此，对任意 ，有)()(yfxyfRyx、 x0)2(2fffxf下面来证明，对任意 xfR，设存在 ，使得 ，则x00)(f 0)()()00xfxf这与上面已证的 矛盾，因此，对任意f (fR，所以 0)(xf评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例 5. 设对满足 的所有实数 x，函数 满足 ，求 f（x）的解析式。10x， )(fxf1)()解：在 中以 代换其中 x，得：1)()fxx)2(121(xff再在（1）中以 代换 x，得)3(12)(1(xfxf化简得：)3(2)( )1()(2xf评析：如果把 x
6、 和 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况1下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失” ，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例 6. 设 f（x）定义于实数集上，当 时， ，且对于任意实数 x、y，有0x1)(xf，求证： 在 R 上为增函数。)()(yfxyf)(证明：在 中取 ，得fxf 0yx2)0(ff若 ，令 ，则 ，与 矛盾0)(f 0y， )(f1)(xf所以 ，即有f1)(f当 时， ；当 时，0x0xfx01)(0xf，而 1)()ff所以 0)()xff又当 时，1f所以对任意 ，恒有Rx0)(xf设 ，则21
7、1)(212xf，所以 ()()( 11211212 ffxxfxf 所以 在 R 上为增函数。)(xfy评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例 7. 已知函数 对任意不等于零的实数 都有 ，试判)0)(xRf， 21x、 )()(2121xffxf断函数 f（x）的奇偶性。解：取 得： ，所以121x， )(1)(fff0)(f又取 得： ，所以21 ff 1f再取 则 ，即121x， )(1)(xffxf)(xff因为 为非零函数，所以 为偶函数。)(f f七、对称性问
8、题例 8. 已知函数 满足 ，求 的值。)(xfy20)(xf )20()(11xfxf解：已知式即在对称关系式 中取 ，所以函数 的图象关baff ba， )(xfy于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 的图象关于点（2002，0）对称。)(1xfy所以 0)1()0(1 xfxf将上式中的 x 用 代换，得 0)2(11xff评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设 a、b 均为常数，函数对一切实数 x 都满足 ，则函数 的图象关于点（a，b）成中心对称)(fy bafxf)()( )(xfy图形。八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数 f（x）满足：对任意实数 m，n，总有 ，且当 x0 时，)()(nfmnf00 的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
