1、1深圳市高级中学 2011 届第二套高考模拟试卷文科数学一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。每小题只有一个正确答案） 。1等比数列 中,已知 ,则na4,2a6A. 6 B. 8 C. 10 D. 162. 若 则,13|,| xRBxRABAA(-2，2) B(-2，-1) C(0，2) D (-2，0)3已知 ，则直线 被圆 截得的弦长的最小值为k()2yk022yxA B C D2214已知 且 ，则 的值为),0(2cosincosinA B C D26265程序框图如图，如果程序运行的结果为 S132，那么判断框中应填入A. B10k10kC D6. 已知
2、 为 的边A的中点， 所在平面内有一点 ，满足P，设 ，则 的值为 0CB|DA1 B C2 D 21 417. 已知相异两定点 、 ,动点 满足 （ 是常数） ，则点 的轨AP2ABmRP迹是A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 8设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 042yxzxy2A8 B6 C5 D39长方体 ABCDA B CD 中， ，则点 到直线 AC 的距离1 12,6A1D是 A3 B C D4 0310.设函数 其中 表示不超过 的最大整数，如 =-2，,(),1)xffxx2,1=1， =1，若直线 y= 与函数 y= 的图象恰有三个不同的交点
3、，则2.1 )0(k)(f的取值范围是kA B C D 3,4(41,0(31,)31,4二、填空题（本大题共 4 小题分，每小题 5 分，共 20 分。其中 14，15 小题为选做题，考生从给出的二道选做题中选择其中一道作答，若二题全答的只计算前一题得分）11已知复数 w 满足 ( 为虚数单位） ，则 _2()i|w12. 掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于 4”的概率为_13. 已知椭圆 126yx的左焦点是 1F，右焦点是 2，点 P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么 21:PF 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程 =2cos ，直线的极坐标方程为 cos
4、 2 sin +7=0，则圆心到直线的距离为_15. (几何证明选讲选做题)如图所示，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，CD=4，BD=8，则圆 O 的半径等于_三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. (本小题满分 12 分) 已知向量 ， ， .(cos,in)ax(cos,)bx(1,0)c(1)若 求向量 与 的夹角；,x(2)当 时，求函数 的最大值。928()1fxA3产产产产产产产产产产490,495产495,500产500,505产505,510产510,515 48148617. （本小题满分 12 分）某食
5、品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品表 1 是甲流水线样本频数分布表，图是(495,10乙流水线样本的频率分布直方图表：（甲流水线样本频数分布表） 图 1：（乙流水线样本频率分布直方图） （1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面 列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质2量与两条自动包装流水线的选择有关” 甲流水线 乙流水
6、线 合计合格品 ab不合格品 cd合 计 n附：下面的临界值表供参考：(参考公式： ，其中22()(nadbcK)nabcd2()pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828418 （本题满分 14 分）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF/AC，AB= ,CE=EF=12（）求证：AF/平面 BDE；（）求证：CF平面 BDE;19. 郑（本题满分 14 分）已知定点 A(0， )( 0)，直线 ： 交 轴于点 B，a1lya记过点 A 且与
7、直线 l1相切的圆的圆心为点 C(I)求动点 C 的轨迹 E 的方程；()设倾斜角为 的直线 过点 A，交轨迹 E 于两点 P、 Q，交直线 于点 R2l 1l(1)若 tan =1，且 PQB 的面积为 ，求 的值；2a(2)若 ， ，求|PR|QR|的最小值6420. （本小题满分 14 分）数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意nanS，总有 成等差数列.*Nn2,naS()求数列 的通项公式；()设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意实数 （ 是 常nbnT2lnaxb1,xe数 ， 2.71828 ） 和任意正整数 ，总有 2；e nT() 已知正数数列 中， .，求数列
8、 中的最大项. nc1*()nNnc21 （本小题满分 14 分）已知函数 .()ln(1)fxaxR()当 时，求曲线 在 处的切线方程；1ay5()求函数 在区间 上的最小值；()fx1e，()若关于的方程 在区间 内有两个不相等的实数根，求实数 a 的32fx1 2，取值范围.参考答案一、 B D D D A C A. B A D二、11 2 12. 13. 14. 15. 5 565:385三、16. 解：(1)当 x = 时， 6cos = = = -cosx=-cos = cos 。,acac|a|c| 6 56 0 ， = ； ,ac566 分(2) f(x)=2ab+1=2(-
9、cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x= sin(2x- )。 92 4分 x ， ，2 x - ，2， 2 98 4 34故 sin(2x- )-1, ， 4当 2x- = ，即 x= 时， 取得最大值，且 f(x)max= =1。 12 分 4 34 2 ()fx)2f17. 解：（）甲流水线样本的频率分布直方图如下：4 分（）由表知甲样本中合格品数为 ，由图知乙样本中合格品数为814306，故甲样本合格品的频率为(0.69.03)54630.754乙样本合格品的频率为 ，.9据此可估计从甲流水线任取件产品，该产品恰好是合格品的
10、概率为 .从乙流水线任取件产品，该产品恰好是合格品的概率为 . 609分（） 列联表如下：210 分 22()(nadbcK280(136).1740.06有 90的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关 12 分18证明：（）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG= AG=112所以四边形 AGEF 为平行四边形,所以 AFEG 4 分因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE,所以 AF平面 BDE 6 分（）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CFEG.因为四边 ABCD 为正方形，
11、所以，BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面 ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G, 所以 CF平面 BDE. 14 分19.解法一：()连 CA，过 C 作 CD l1，垂足为 D，由已知可得| CA|=|CD|，点 C 的轨迹是以 A 为焦点， l1为准线的抛物线，轨迹 E 的方程为 x2=4ay (4 分)()直线 l2的方程为 y=kx+a，与抛物线方程联立消去 y 得 x2-4akx-4a2=0记 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1+x2=4ak， x1x2 a20, a = (9分)(2) 因为直线
12、PA 的斜率 kO，易得点 R 的坐标为( ,-a). (10 分)2k|PR|QR|= （ x1+ ， y1+a）（ x2+ ， y2+a）RPQ2=（ x1+ ） （ x2+ ）+（ kx1+2 a） （ kx2+ 2a）ak=(1+k2) x1 x2+( +2 ak)( x1+x2)+ +4a24k= -4a2(1+k2)+4ak( +2ak)+ +4a2 =4a2(k2+ )+8a28 a2+8a2=16a2a1又 , , k ,1,643当且仅当 k2= , 即 k=1 时取到等号 (12 分) 1从而| PR|QR|的最小值为 16a2. (14分)20.（）解：由已知：对于 ，总
13、有 成立,*Nn2nnSa （n 2） , 112nSa-得: , 21na111nnna 均为正数， （n 2）, 数列 是公差为 1 的等差数列.1,n 1n a又 n=1 时， ， 解得 =1,21S .( ) (4 分)an*N（）证明：对任意实数 和任意正整数 n，总有 . ex,12lnaxb1 nTn 132212 8,211321nn故 。 (8 分)nT()解：由已知 ， 211,2ac3324455,;,ac易得 1234.c猜想 n2 时， 是递减数列. n令 ,22ln1l,l xxfxf 则当 .0ln1ln3f， 即则时 ，在 内 为单调递减函数.,f由 . n2
14、时, 是递减数列.，即 是递1ll1ncan知 nclnc减数列.又 , 数列 中的最大项为： 12c n32(14 分)21解：() ， ， ，()ln1fx(1)kf()0f所求的切线方程为 . 3 分y() .()l0fa由 得 .0xe当 ，即 时， , 在 上为增函数，1ae(fx） (f） 1e，；min2()()fxf当 ，即 时，在 上 , 为减函数，在 上1ae1a-ae， (0fx） (f） ae，, 为增函数， ；(0fx） (f） min()()fxf当 ，即 时， , 在 上为减函数， .a0） x） 1e， min()()fxf8 分9综上所述， . min21() aefx，9 分() ，方程： 在 上有两个不相等的实数根，0x32()fx1 ，等价于方程： 在 上有两个不相等的实数根.2ln)0a ，令 ，则 ，()3l1gxx 241()143(3 0xxgx x令 ，得 (舍去)， ，因此 在 内是减函数，在 内是0142()0 ， ，增函数，因此，方程 在 内有两个不相等的实数根，只需23ln(1)xa 2，方程:在 和 内各有一个实根，23ln(1)0xa )2， ，于是 ，解得 ,1()0(2)gla 的取值范围是 . 140 ln2，分
