1、第 11 章 热力学基本原理11.1 一系统由如图所示的状态 a 沿 abc 到达 c，有 350J 热量传入系统，而系统对外做功 126J（1）经 adc，系统对外做功 42J，问系统吸热多少？（2）当系统由状态 c 沿曲线 ac 回到状态 a 时，外界对系统做功为84J，问系统是吸热还是放热，在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少？解：（1）当系统由状态 a 沿 abc 到达 c 时，根据热力学第一定律，吸收的热量 Q 和对外所做的功 A 的关系是 Q = E + A，其中 E 是内能的增量Q 和 A 是过程量，也就是与系统经历的过程有关，而 E 是状态量，与系统经历的过程无关当系统
2、沿 adc 路径变化时，可得 Q1 = E1 + A1，这两个过程的内能的变化是相同的，即 E1 = E，将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为 Q1 = Q + A1 - A = 266(J)（2）当系统由状态 c 沿曲线 ac 回到状态 a 时，可得 Q2 = E2 + A2，其中，E 2 = -E，A 2 = -84(J)，可得 Q2 = -(Q A) + A2 = -308(J)，可见：系统放射热量，传递热量的大小为 308J11.2 1mol 氧气由状态 1 变化到状态 2，所经历的过程如图，一次沿 1m2 路径，另一次沿 12 直线路径试分别求出这两个过程中系统吸收热量 Q、对外界
3、所做的功 A 以及内能的变化 E2 - E1解：根据理想气体状态方程 pV = RT，可得气体在状态 1 和 2 的温度分别为 T1 = p1V1/R 和 T2 = p2V2氧气是双原子气体，自由度 i = 5，由于内能是状态量，所以其状态从 1 到 2 不论从经过什么路径，内能的变化都是 = 7.5103(J)2121()()iERpV系统状态从 1m 的变化是等压变化，对外所做的功为= 8.0103(J)2121d()VAp系统状态从 m2 的变化是等容变化，对外不做功因此系统状态沿 1m 2 路径变化时，对外做功为 8.0103J；吸收的热量为Q = E + A = 1.55104(J)
4、系统状态直接从 12 的变化时所做的功就是直线下的面积，即= 6.0103(J)2()pV吸收的热量为 Q = E + A = 1.35104(J)11.3 1mol 范氏气体，通过准静态等温过程，体积由 V1 膨胀至 V2，求气体在此过程中所做的功？解：1mol 范氏气体的方程为 ，2()apvbRT通过准静态等温过程，体积由 V1 膨胀至 V2 时气体所做的功为VOpab cd图 11.1V/m3Op/Pa2m121051105110-2 510-2图 11.2122112d()dVVRTaApvvb 21ln()VaTbv2121ln()bRTaV11.4 1mol 氢在压强为 1.01
5、3105Pa，温度为 20时的体积为 V0，今使其经以下两种过程达同一状态：（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到 80，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的 2 倍；（2）先使其作等温膨胀至原体积的 2 倍，然后保持体积不变，升温至 80试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量将上述两过程画在同一p-V 图上并说明所得结果解：氢气是双原子气体，自由度 i = 5，由于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是= 1.2465103(J)21()iERT（1）气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为= 2.0333103(J)，22
6、11ddVVAp2lnRT所吸收的热量为 Q2 = E + A2 = 3.2798103(J)（2）气体先做等温变化时，对外所做的功为= 1.6877103(J)，2211VVRT1l所吸收的热量为 Q1 = E + A1 = 2.9242103(J)如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些11.5 为了测定气体的 （=C p/CV） ，可用下列方法：一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为 T0，V 0 和 p0用一根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样第一次保持气体体积 V0 不变，而温度和压强变为 T1，p 1；第二次保持压强
7、 p0 不变，而温度和体积则变为 T2，V 2，证明：102()证：定容摩尔热容为 ，在本题中为 CV = Q/(T1 T0)；定压摩尔热容为(dVQC，在本题中为 Cp = Q/(T2 T0)对于等容过程有 p1/T1 = p0/T0，所以 T1 = (d)ppQCTT0p1/p0；对于等压过程有 V2/T2 = V0/T0，所以 T2 = T0V2/V0因此 证毕111()p11.7 理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为 pVn = 常数，这样的过程叫多方过程，n 叫多方指数（1）说明 n = 0，1， 和各是什么过程VOpT2T1V0 2V02（2）证明：多方过程中理想气体对外做功：
8、 12pVAn（3）证明：多方过程中理想气体的摩尔热容量为： ，()C并就此说明（1）中各过程的值（1）说明：当 n = 0 时，p 为常数，因此是等压过程；当 n = 1 时，根据理想气体状态方程 pV = RT，温度 T 为常数，因此是等温过程；当 n = 时表示绝热过程；当 n =时，则有 p1/nV = 常数，表示等容过程（2）证：对于多方过程有 pVn = p1V1n = p2V2n = C(常数) ，理想气体对外所做的功为证毕2211dnVAC1122(npV（2）证明 对于一摩尔理想气体有 pV = RT，因此气体对外所做的功可表示为 ，12RTA气体吸收的热量为 Q = E +
9、 A = ， 2121()()iTn摩尔热容量为证毕21()()iiCRTn/ViinRC11.8 一气缸内贮有 10mol 的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功 209J， ，气体温度升高 1试计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？解：单原子分子的自由度为 i = 3，一摩尔理想气体内能的增量为= 12.465(J)，10mol 气体内能的增量为 124.65J2iERT气体对外所做的功为 A = - 209J，所以气体吸收的热量为 Q = E + A = -84.35(J)1 摩尔气体所吸收的热量为热容为-8.435J ，所以摩尔热容为 C = -8.435(
10、Jmol-1K-1)11.9 一定量的单原子分子理想气体，从初态 A 出发，沿图示直线过程变到另一状态 B，又经过等容、等压过程回到状态 A（1）AB ，BC ，CA，各过程中系统对外所做的功 A，内能的增量 E 以及所吸收的热量 Q（2）整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量（各过程吸热的代数和） 解：单原子分子的自由度 i = 3（1）在 AB 的过程中，系统对外所做的功为 AB 直线下的面积，即AAB = (pA + pB)(VB VA)/2 = 200(J)，内能的增量为 = 750(J)()2iMERT()2BAipV吸收的热量为 QAB = EAB + AAB =
11、950(J)BC 是等容过程，系统对外不做功内能的增量为V/10-3m3Op/105Pa3211 2BA C图 11.93= -600(J)()2BCCBiMERT()2CBipV吸收的热量为 QBC = EBC + ABC = -600(J)，就是放出 600J 的热量CA 是等压过程，系统对外做的功为 ACA = pA(VA VC) = -100(J)内能的增量为 = -150(J)Ci()Ai吸收的热量为 QCA = ECA + ACA = -250(J)，也就是放出 250J 的热量（2）对外做的总功为 A = AAB + ABC + ACA = 100(J)吸收的总热量为 Q = Q
12、AB + QBC + QCA = 100(J)由此可见：当系统循环一周时，内能不变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功11.10 1mol 单原子分子的理想气体，经历如图所示的的可逆循环，连接ac 两点的曲线的方程为 p = p0V2/V02，a 点的温度为 T0（1）以 T0，R 表示，过程中气体吸收的热量（2）求此循环的效率解：由题可知：p 0V0 = RT0（1）I 是等容过程，系统不对外做功，内能的变化为I 0()()2babiiEpRT000(9)122ipVRT吸收的热量为 QI = EI = 12RT0II 是等容过程，根据 III 的方程，当 pc = 9p0 时，V
13、c = 3V0系统对外所做的功为AII = pb(Vc - Vb) = 9p02V0 = 18RT0内能的变化为I ()cbcbiiRT0027iRT吸收的热量为 QII = EII + AII = 45RT0在过程 III 中，系统对外所做的功为20IddaaccVVpA30206()acpV内能的变化为I 0()()2acciiERT000(9)3iRTpRT吸收的热量为 QIII = EIII + AIII = -143RT0/3（2）系统对外做的总功为 A = AI + AII + AIII = 28RT0/3，系统从高温热源吸收的热量为 Q1 = QI + QII = 57RT0，循
14、环效率为 = 16.37%111.11 1mol 理想气体在 400K 和 300K 之间完成卡诺循环在 400K 等温线上，初始体积为110-3m3，最后体积为 510-3m3试计算气体在此循环中所做的功及从高温热源所吸收的热量和向低温热源放出的热量解：卡诺循环由气体的四个变化过程组成，等温膨胀过程，绝热膨胀过程，等温压缩过程，绝热压缩过程气体在等温膨胀过程内能不改变，所吸收的热量全部转化为对外所做的功，即VOpIIIbacp09p0V0III图11.104= 5.35103(J)22111ddVVQApRT21lnV气体在等温压缩过程内能也不改变，所放出的热量是由外界对系统做功转化来的，即
15、，443322VV423l利用两个绝热过程，可以证明 V4/V3 = V2/V1，可得 Q2 = 4.01103(J)气体在整个循环过程中所做的功为 A = Q1 - Q2 = 1.34103(J)11.13 一热机在 1000K 和 300K 的两热源之间工作，如果（1）高温热源提高 100K，（2）低温热源降低 100K，从理论上说，哪一种方案提高的热效率高一些？为什么？解:（1）热机效率为 = 1 T2/T1，提高高温热源时，效率为 1 = 1 T2/(T1 + T)，提高的效率为 = 2.73%1213()0（2）降低低温热源时，效率为 2 = 1 (T2 - T)/T1，提高的效率为
16、 = T/T = 10%2可见：降低低温热源更能提高热机效率对于温度之比 T2/T1，由于 T2 T1，显然，分子减少一个量比分母增加同一量要使比值降得更大，因而效率提得更高11.14 使用一制冷机将 1mol，10 5Pa 的空气从 20等压冷却至 18，对制冷机必须提供的最小机械功是多少？设该机向 40的环境放热，将空气看作主要由双原子分子组成解：空气对外所做的功为= p(V2 V1) = R(T2 T1)，2211dVAp其中 T2 = 291K，T 1 = 293K空气内能的增量为 ，21()iE其中 i 表示双原子分子的自由度： i = 5空气吸收的热量为Q = E + A = =
17、-58.17(J)21()iRT负号表示空气放出热量因此，制冷机从空气中吸收的热量为 Q2 = -Q = 58.17(J)空气是低温热源，为了简化计算，取平均温度为 T2 = (T2 + T1)/2 = 292(K)；环境是高温热源，温度为 T1 = 313(K)欲求制冷机提供的最小机械功，就要将制冷当作可逆卡诺机，根据卡诺循环中的公式 ，2TQ可得该机向高温热源放出的热量为 = 62.35(J)，12因此制冷机提供的最小机械功为 W = Q1 - Q2 = 4.18(J)注意由于低温热源的温度在变化，所以向高温热源放出的热量的微元为 ，12dTQ5其中 ，因此 ，22ddiQRT 211dTiQR积分得制冷机向高温热源放出的热量为 = 62.35(J)，1ln与低温热源取温度的平均值的计算结果相同（不计小数点后面 2 位以后的数字）
