1、代数学,章 璞 上海交通大学2007-12-26,主要内容,一点历史 粗略分类 问题案例 前景展望,徐光启（15621633），上海徐家汇人农学、天文、数学家将“Geometry”译成“几何”与利玛窦合译几何原本前6卷李善兰（18111882），浙江海宁人数学、天文、植物学家将“Algebra”译成“代数”译代数学13卷；与伟烈亚力合译几何原本后9卷,“代数学”的来历,古典代数学：中心问题,Algebra (代数学)的原始含意：用字母代替数进行运算古典代数学（至19世纪上半叶）中心问题：求代数方程的根,古典代数学：代表性成就,古代巴比伦人:2次方程求根公式 13世纪秦九绍:高次方程的近似解 1
2、6纪意大利:3和4次方程求根公式18世纪初: 复数系的建立18世纪未：Carl Friedrich Gauss(1777-1855) 证明了代数基本定理,不可逾越的困难,4次方程解出之后200余年，许 多数学家相信更高次方程的求根 公式仍存在，并寻找这样的公式Lagrange首次意识到不存在此公式Niels H. Abel(1802-1829)证明 了5次方程无求根公式。但未及说 明哪些方程根式可解,Evariste Galois(1811-1832) 17岁发现：代数方程的根式可解性 是由这个方程的Galois群的可解性 决定的.因此，5次及以上代数方程 不存在求根公式。而古典代数学的 其它
3、难题（如尺规作图和倍方问题），此后也均可 用Galois理论得到完全解决。从而古典代数学终结,古典代数学的终结,Galois的境遇,1829:Galois论文由Cauchy审理，被遗失1830:由Fourier审理，不久Fourier逝世1831:再由Poisson审:“完全不能理解”,要其详细说明1832-5-30夜Galois留下1份说明第2天便与情敌决斗而死1846: Liouville决定发表Galois的文章1870: Jordan全面清晰地阐明Galois工作从此Galois的工作得到完全承认,Hermann Weyl 的评价,“Galois的论述在好几十年中一直被看 成是“天书”
4、；但是，它后来对数学的 整个发展产生愈来愈深远的影响。如 果从它所包含思想之新奇和意义之深 远来判断，也许是整个人类知识宝库 中价值最为重大的一件珍品”,对称和美,代数学新纪元,1843:Hamilton发现四元数代数 1846:Cayley引进抽象群和矩阵 1871:Dedekind引进理想 1872:Klein发表群的几何学纲领 1873:Lie创立Lie群 1894:Cartan分类复半单Lie代数 1896:Frobenius创立有限群表示论 1904:Schur建立无限群表示,代数学新纪元,1905:Wedderburn确定半单代数 1911:Steinitz奠基域论 1921:No
5、ether奠基环论 1931:Van der Waerden出版近世代数 1942:Lefschetz出版代数拓扑 1946:Weil出版代数几何学基础 1956:Cartan-Eilenberg出版同调代数至此，近世代数的最主要 的分支出现,06? Order, lattices, ordered algebraic structures 08? General algebraic systems 12? Field theory and polynomials 13? Commutative rings and algebras 14? Algebraic geometry 15? Lin
6、ear and multilinear algebra; matrix theory 16? Associative rings and algebras 17? Nonassociative rings and algebras 18? Category theory; homological algebra 19? K-theory 20? Group theory and generalizations 22? Topological groups, Lie groups 43? Abstract harmonic analysis 55? Algebraic topology 81?
7、Quantum theory 15/95,AMS分类中的代数学分支,交换代数 结合代数 Lie代数 范畴论与同调代数 K-理论 群论 量子化代数,AMS分类中的代数学分支,ArXiv分类中的代数学分支,Algebraic Geometry (math.AG) Algebraic Topology (math.AT) Category Theory (math.CT) Commutative Algebra (math.AC) Group Theory (math.GR) K-Theory and Homology (math.KT) Mathematical Physics (math.MP)
8、 Operator Algebras (math.OA) Quantum Algebra (math.QA) Representation Theory (math.RT) Rings and Algebras (math.RA) 11/32,ArXiv分类中的代数学分支,范畴论 (math.CT) 交换代数 (math.AC) 群论 (math.GR) K-理论和同伦 (math.KT) 量子化代数 (math.QA) 表示论 (math.RT) 环与代数 (math.RA),代数学的粗略分类,交换代数代数表示论Kac-Moody代数同调代数与K-理论群论与群表示论量子群与代数群代数编码环论
9、与Hopf代数,代数学研究各种代数结构及其表示和上同调；它们的组合、计算等方面的性质；及其应用；它们之间的相互联系；以及和其它学科之间的联系,代数学的研究对象,代数结构：带有若干二元运算、且满足特定条件的集合和谐：若有多种运算，则必有使这些运算“和谐”的公理基本的代数结构：群、环、域、(结合)代数、Lie代数其它重要结构多为这5种的强、弱、组合或变形。如：Lie(代数、量子)群、格、交换（Hopf、Kac-Moody、Poisson、 Clifford、顶点算子、微分分次、Koszul、Calabi-Yau）代数，等等,注记与观察,结构的表示：容许结构作用的一个向量空间，这样的作用与该结构的运
10、算是“和谐”的表示论：最初是想通过结构在不同表示上的作用效果达到理解结构目的。现在，表示论成为代数学最活跃分支之一范畴论：将要研究的同类对象放在一起，看重对象之间的相互联系和整体的性质、以及这个整体与别的整体的联系上同调：如果所要研究的一串对象可由特殊的态射联系起来成为复形，则比较相邻态射的像和核便得到上同调,作用、联系、比较、显示差别,构造；分类简单与复杂、特殊与一般: 比较、联系部分对整体的影响，或相互确定计算各种上同调，并说明其意义结构、表示、上同调之间的联系不同结构之间、代数与其它学科之间联系与转换等等,代数学关心的基本问题,Hopf代数皆有代数和余代数的结构，它的余乘映射 和余单位映
11、射均是代数同态、并且还存在一个所谓的反 极映射。1980s Drinfeld发现量子群的基本结构是Hopf,而 且产生Yang-Baxter方程的解。从而引起极大关注,案例,群代数与Lie代数的包络代数恰好是余交换的Hopf代数 量子群和量子广义Kac-Moody代数均是Hopf代数,且均有三角分解 有限维Hopf代数是Frobenius代数 有限维Hopf代数H的子Hopf代数的维数整除H的维数 阶少于3个素因子的群、和奇数阶群，均为可解群 特征0域上有限群G的不可约表示的维数整除G的维数 Kaplanski猜想：特征0代数闭域上半单Hopf代数H的不可约表示的维数整除H的维数,若干相关的定
12、理,代数表示与量子群,1970s Auslander解决Brauer猜想并 奠定代数表示论。此后这一分支得到很大发展。1990s Ringel 重新发现Hall代数；并和Green用有限域上遗传代 数的Hall代数的子代数合成代数成功实现量子群；接着 Van den Bergh 用Hall代数本身实现量子广义Kac-Moody 代数。从而架起代数表示与量子化代数的桥梁,代数结构与表示 的图的组合方法,使用图是抽象的代数具体化的重要手段。复 半单Lie 代数分类由Dynkin图表达。Gabriel 和Ringel更是用图来表达代数的结构和代数的表示。有限型遗传代数的分类也同样完全由Dynkin图
13、表达。图的组合方法极大地推进和丰富了代数学的研究成果,同调 代数,YM代数,数学物理,量子群,非交换 几何,CY代数,三角范畴,Lie代数,Hopf 代数,Koszul,包络 代数,Poisson,Hall代数,上同调,刚 性,代数表示,图论,群表示,三角范畴,图,代数CY YM Hopf Poisson ,稳定范畴,导出范畴,三角范畴,Serre对偶,CY范畴,商范畴,Hall运算,Calabi-Yau范畴与周期性,顶点算子代数是共形场论和统计力学中重要的代数结 构，是Borcherds等研究魔群和Moonshine模时开创的代数学是基础的学科 然而它有重要的应用 最典型的例子它是 编码和密码学的基础,顶点算子代数,代数学的应用,代数和组合共进 连续与离散齐飞 确定和随机同妙 基础与应用并重 物理和事理相融 人类与自然和谐,谢谢各位！并祝新年快乐！,
