1、1645 六、最优控制模型：（动态优化模型， DP Dynamical programming）. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题） u(t)问题： 设有一个物体 M（例如：直升飞机、升降机、电梯）作垂直升降运动（设物体 M 的质量为 m） ； M 内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 g（时间的函数） ，用以控制 M 的上下运动，由 x(t)t(u于作用力 大小有限，故满足一个约束不等式： x)t(constk问题：是要寻找一个合适的作用力 的变化规律，使得 最快的速度达到地点，而)(uS且：已知 elevation 的初始状态在 时，M 离开地面的高度为 的垂直运0t M ,)t(x
2、0动速度为 。)t(x0解：物体 M 应满足的运动规律（即与时间变量 有关的动态过程） ，因此，为描述物体运t动的状态，令：为物体 M 离开地面的高度（ 时刻）)t(1t：为物体 M 在 时刻的速度dtx12 t于是物体在 时的运动状态可描述成为：状态方程： f )t(umfa f g)t(udtxt21 同时应满足初始状态： )(2021xt路径条件(终值状态)： 0)t(xf21控制约束： const)k u目标函数：寻找一个 (闭的函数类) ，使你所用的总时间 最短，即使Ut0ft取最小值0fttduJ f0或：寻求一个 ，使得：)t(*M2)t(uJ)t(*J或：寻求一个 ，使得：U)
3、t(*u)t(uJmin)t(*uJU)t(或者说：在容许控制的函数类 中，找一个控制函数 ，使状态t*)t(x)t(21从初始状态 转移到终端状态(目标集：)tt0210) (此问题中 )， x(h ,(g ,R)t(xSiin)tx)t(f21f 0t(xf而且使所用的时间最短，即： ，如果满足上述条f0t 0fUumin(di)(Jmin*J件的 是存在的，则说 是该系统的最优控制(或极值控制) ，而把对应的状态U)t(*ut叫做该系统的最优轨线(或极值轨线( ， )叫最优对， 叫最优性能指)tt(*x*)u(J标。注意：1.上述的极值问题，求 ，函数 的定义域是函数类 ，)t(uJmi
4、n)t(*uJ)(J U)t(因此 是泛函。因此，求 ，使 是求泛函的极值问题，故最)(J Uuin*U优控制问题也称为泛函极值问题，所以常用的方法即变分法、极大值原理、动态规划等。注意：性能指标(或目标泛函 )的不同提法：按照系统设计者不同着眼点来考虑给出：一般形式为： f0tf dt (),u txL ,t(x (uJ 例如：上述同一个问题可解释为：登月飞船的软着陆问题：问题：登月飞船 着陆问题： f设 飞船自重 ，所带燃料为 ，即MF(飞船自重 )月球重力加速度为 ； gFm g 飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球重力 方向相反的推力 所产生的加速度 实现软着陆fm)t(fu（即登
5、上月球时的速度为零）问题：是如何选择最好的发动机推力程序 ，使燃料消耗最少。)t(f月球 M M+F=m3解：约束条件及假设同升降机问题，即设 t F(t)Mm(t)xd )t ( )t(t21于是为约束方程：状态方程： const h )t(ft)(dm gutx t )t(d21初始状态： FMtx)( 0221 终端状态：目标集 S)t(Ftm0xt f1f2f 控制约束： 控制力 受一定限制。k)(u)t(uma问题是：寻求一个合适的控制函数 （ 从而设计出推进力 的程序） ，)t(tf )t(f使所消耗的燃料 最少（即 最多能带多少燃料） 。FFM即： )(min)(*fUuttJ.
6、 生产库存销售最优管理问题：问题：生产量 库存量 销售量要保持在一个合理的水平上，即最优管理问题，即如何组织或控制生产量，使库存量与销售量保持平衡。分析：库存量大 则 1. 积压资金周转；2. 库存费，损耗大。库存量小 则 1. 使商品脱销失去多获得利润的机会；2. 用户因不能按合同提货，则厂方产品有被退货的风险，同样有失去市场和赚钱的机会。量化： ：表示在 时刻的实际库存量；)t(xt：表示在 时刻的实际生产速度（生产率） ；u：表示在 时刻的实际销售速度（销售率） ；)t(st4于是有以下条件来描述该系统的情况：状态方程：)t(sudt)(x初态： 0终态： 未知)t(xf约束： Uu0决
7、策目标：（指标泛函）有两种提法：（i）求管理中的最优生产率 控制变量（决策变量） ，使生产费用和储存费用之总和最小。生产费用 ：与生产率 ，时间 有关，故记作： ；C)t(utt ),(u C库存费用 ：与库存量 ，时间 有关，故记作： ；HxxH于是最优管理问题：是求最优的生产率 使总费用 最小，)t(u )t(J.f0t dt ,x t(), )( uJ即求： U)t(*使得： )t(uJminJs.t. 上述约束。（ii）求管理中的最优生产率 控制变量（决策变量） ，)t(使：生产率尽可能接近理想的生产率 由生产能力)t(ud库存量尽可能接近理想的库存量 和经验数据测定x理想水平 是一个
8、理想的平衡状态：dx,u如有干扰（扰动或条件变化） ，例如，市场销售量的突然变化破坏了这种平衡，则应尽快通过控制变量 （调整生产率） ，使该系统回到理想的平衡状态，此时的目标泛函应为：)t(最小， 为常数。f0t 2d2d t ()ut h)t(xt k )(uJ h ,k即求： ，使 U*Jmin *uJU)t(us.t.5上述约束： U)t(ux)t(st0Remark：（评注）上述最优控制的离散模型：求 ，使得)i(*x ,iu ni diuhixkiJ1 22d() )( m s.t.Uiuixisuiif)()(10)( 一般最优控制问题也可分为：线性、非线性、连续和离散型。最优控制模型问题的数学描述最优控制模型。寻找 （开，闭） 可以固定或自由，使得：)t(*uf0t ,t)(uJmin)(*u JU0 ),( ,)( )( , dtx:. 210 ffffff txgRtxMxtttfts 其中： ，且 （一阶连续可微） ， ，nR)tx1Ct Utum：向量值函数，且 对 连续，对 连续可 ,u( f )( ft ),( xt ),(x6微。 可 t(),x t(),u txL ,t)( x ,d , ),( uJftff0
