1、10/21/2014第二章 推理与证明综合检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半以上推理运用的推理规则是( )A三段论推理 B假言推理C关系推理 D完全归纳推理答案 D解析 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理2数列 1,3,6,10,15，的递推公式可能是
2、( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 B解析 记数列为 an，由已知观察规律： a2比 a1多 2， a3比 a2多 3， a4比 a3多4，可知当 n2 时， an比 an1 多 n，可得递推关系Error! (n2， nN *)3有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D不是以上错误答案 C10/21/2014解析 大小前提都正确，其推理形式错误故应选 C.4用数学归纳法证明等式 123( n3) (nN *)时，验证(n 3)(n 4)2n1，左
3、边应取的项是( )A1 B12C123 D1234答案 D解析 当 n1 时，左12(13)124，故应选 D.5在 R 上定义运算： xy x(1 y)若不等式( x a)(x a)1 对任意实数 x都成立，则( )A1 a1 B0 a2C a 12 32D a32 12答案 C解析 类比题目所给运算的形式，得到不等式( x a)(x a)0不等式恒成立的充要条件是14( a2 a1) 0， 0，c 1 c c c 1所以 0，所以 a 时， f(2k1 )12 13 1n n2 f(2k)_.答案 12k 1 12k 2 12k 1解析 f(2k1 )1 12 13 12k 1f(2k)1
4、 12 13 12kf(2k1 ) f(2k) .12k 1 12k 2 12k 115观察sin 210cos 240sin10cos40 ；34sin 26cos 236sin6cos36 .两式的结构特点可提出一个猜想的等式为34_答案 sin 2 cos 2(30 )sin cos(30 )34解析 观察 401030，36630，10/21/2014由此猜想：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin(302 )sin301 cos(601 cos22 1 cos(60
5、 2 )2 12 122 )cos2 sin(302 )12 121 2sin(302 )sin30 sin(302 )12 12 12 sin(302 ) sin(302 ) .34 12 12 3416设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、 b P，都有a b、 a b、 ab、 P(除数 b0)，则称 P 是一个数域例如有理数集 Q 是数域；数集abF a b |a， bQ也是数域有下列命题：2整数集是数域；若有理数集 QM，则数集 M 必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案 解析 考查阅读理解、分析等学习能力整
6、数 a2， b4， 不是整数；ab如将有理数集 Q，添上元素 ，得到数集 M，则取 a3， b ， a bM；2 2由数域 P 的定义知，若 a P， b P(P 中至少含有两个元素)，则有 a b P，从而a2 b， a3 b， a nb P， P 中必含有无穷多个元素，对设 x 是一个非完全平方正整数( x1)， a， b Q，则由数域定义知，F a b |a、 b Q必是数域，这样的数域 F 有无穷多个x三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)已知： a、 b、 cR，且 a b c1.求证： a2 b2 c2 .1
7、3证明 由 a2 b22 ab，及 b2 c22 bc， c2 a22 ca.10/21/2014三式相加得 a2 b2 c2 ab bc ca.3( a2 b2 c2)( a2 b2 c2)2( ab bc ca)( a b c)2.由 a b c1，得 3(a2 b2 c2)1，即 a2 b2 c2 .1318(本题满分 12 分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos ， 4 22cos ， 8 2 22cos ，16 2 2 2证明 2cos 2 4 22 22cos 2 2 8 1 cos 42 1 222 2 22cos 216 1 cos 822 1 122 22 2
8、 2 219(本题满分 12 分)已知数列 an满足 a13， anan1 2 an1 1.(1)求 a2、 a3、 a4；(2)求证：数列 是等差数列，并写出数列 an的一个通项公式1an 1解析 (1)由 anan1 2 an1 1 得an2 ，1an 1代入 a13， n 依次取值 2,3,4，得10/21/2014a22 ， a32 ， a42 .13 53 35 75 57 97(2)证明：由 anan1 2 an1 1 变形，得(an1)( an1 1)( an1)( an1 1)，即 1，1an 1 1an 1 1所以 是等差数列1an 1由 ，所以 n1，1a1 1 12 1a
9、n 1 12变形得 an1 ，22n 1所以 an 为数列 an的一个通项公式2n 12n 120(本题满分 12 分)已知函数 f(x) ax (a1)x 2x 1(1)证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负根解析 (1)证法 1：任取 x1， x2(1，)，不妨设 x10，且 ax10，又 x110， x210， f(x2) f(x1) x2 2x2 1 x1 2x1 1(x2 2)(x1 1) (x1 2)(x2 1)(x1 1)(x2 1) 0，3(x2 x1)(x1 1)(x2 1)于是 f(x2) f(x1) ax2 ax1 0，x2
10、2x2 1 x1 2x1 1故函数 f(x)在(1，)上为增函数证法 2： f( x) axlna axlnax 1 (x 2)(x 1)2 3(x 1)2 a1，ln a0， axlna 0，3(x 1)2f( x)0 在(1，)上恒成立，即 f(x)在(1，)上为增函数(2)解法 1：设存在 x00， ax00，x0 2x0 1 f(x0)0.综上， x0，即方程 f(x)0 无负根21(本题满分 12 分)我们知道，在 ABC 中，若 c2 a2 b2，则 ABC 是直角三角形现在请你研究：若 cn an bn(n2)，问 ABC 为何种三角形？为什么？解析 锐角三角形 cn an bn
11、 (n2)， c a, c b，由 c 是 ABC 的最大边，所以要证 ABC 是锐角三角形，只需证角 C 为锐角，即证cosC0.cos C ，a2 b2 c22ab要证 cosC0，只要证 a2 b2 c2，注意到条件： an bn cn，于是将等价变形为：( a2 b2)cn2 cn. c a， c b， n2， cn2 an2 ， cn2 bn2 ，即 cn2 an2 0， cn2 bn2 0，从而( a2 b2)cn2 cn( a2 b2)cn2 an bn a2(cn2 an2 ) b2(cn2 bn2 )0，这说明式成立，从而式也成立故 cosC0， C 是锐角， ABC 为锐角
12、三角形22(本题满分 14 分)(2010安徽理，20)设数列 a1， a2， an，中的每一项都不为0.证明 an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN ，都有 1a1a2 1a2a3 .1anan 1 na1an 1分析 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力10/21/2014解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性证明 先证必要性设数列 an的公差为 d.若 d0，则所述等式显然成立若 d0，则 1a1a2 1a2a3 1anan 11d(a2 a1a1a2 a3 a2a2a3 an 1 ananan 1)1d(1a1
13、1a2) (1a2 1a3) (1an 1an 1) 1d(1a1 1an 1) 1dan 1 a1a1an 1 .na1an 1再证充分性证法 1：(数学归纳法)设所述的等式对一切 nN 都成立首先，在等式 1a1a2 1a2a3 2a1a3两端同乘 a1a2a3，即得 a1 a32 a2，所以 a1， a2， a3成等差数列，记公差为 d，则a2 a1 d.假设 ak a1( k1) d，当 n k1 时，观察如下两个等式 ，1a1a2 1a2a3 1ak 1ak k 1a1ak 1a1a2 1a2a3 1ak 1ak 1akak 1 ka1ak 1将代入，得 ，k 1a1ak 1akak
14、 1 ka1ak 1在该式两端同乘 a1akak1 ，得( k1) ak1 a1 kak.将 ak a1( k1) d 代入其中，整理后，得 ak1 a1 kd.由数学归纳法原理知，对一切 nN，都有 an a1( n1) d，所以 an是公差为 d 的等差数列证法 2：(直接证法)依题意有 ，1a1a2 1a2a3 1anan 1 na1an 1 .1a1a2 1a2a3 1anan 1 1an 1an 2 n 1a1an 1得10/21/2014 ，1an 1an 2 n 1a1an 2 na1an 1在上式两端同乘 a1an1 an2 ，得 a1( n1) an1 nan2 .同理可得 a1 nan( n1) an1 (n2)得 2nan1 n(an2 an)即 an2 an1 an1 an，由证法 1 知 a3 a2 a2 a1，故上式对任意 nN *均成立所以 an是等差数列
