1、高一(上) 數學講義 (翰林版) 23 數學歸納法一、命題概念：1. 凡能辨別真假的語句，稱為敘述，通常以英文字母表示。一敘述 p 的否定敘述以p(非 p)表示。不能辨別真假的語句，稱為開放語句。2. 兩個敘述 p、q 連結成“若 p 則 q“之形式，稱為命題，其中 p 稱為此命題的假設(或前提、條件)，q 稱為此命題的結論。例 1：若 n 是正整數，則 12n n(n1)。例 2：若 x 是實數且 2x15，則 x2。上述二例都是命題。第一個命題是對的，但第二個命題明顯是錯誤的。3.(1)若一命題“ 若 p 則 q“成立，則簡記為 p q，唸成 p 蘊含 q，並稱 p 為 q 的充分條件，q
2、 為 p 的必要條件。(2)若兩命題 p q 與 q p 同時成立，則簡記為 p q，且 p、q 互為充要條件。4.(1)若一命題為 p q，則其否命題為 p q ；逆命題為 q p否逆命題為q p。 p q 與 q p 也互為逆命題。(2)互為否逆命題的兩命題必同為真(成立) 或同偽(不成立 )。二、數學歸納法原理1.河內塔謎題：中間穿孔且半徑漸增的一組大大小小扁平鐵餅，以及三根固定且垂直於地面上的木桿。鐵餅由大而小套在其中一根桿子上。現在要把這些鐵餅由原來的木桿移動到另外一根桿子上，一次只能移動一個鐵餅到另一桿子上，且大的不能疊放在小的上面，設總共有 n 個鐵餅，最少的移動次數 an 是多
3、少觀察：(1)當 n1 時，只需將該鐵餅直接移動到指定桿子上，故最少的移動次數 a11。(2)當 n2 時，把較小的一個鐵餅移動到其中一根桿子，最少的移動次數為 a1，再將較大的移動到另一桿子上，需移動 1 次，最後將較小的疊到較大的上面，又需移動 a1 次，故 2 個鐵餅最少的移動次數為a22a 113 次。(3)當 n3 時，先把上面兩個較小的移動到其中一桿子上，需移動 a2 次；再把最大的移到另外一桿子上，又把兩個較小的套在最大的上面，也需移動 a2 次，故 3 個鐵餅最少的移動次數為 a32a 217 次。(4)當 n4 時，先移動上面三個到其中一桿子上，需移動 a3 次；再把第四個套
4、到另一桿子上，再把移動出來的 3 個套在第四個上面，也需移動 a3 次，故 4 個鐵餅最少的移動次數為 a42a 31 15 次。歸納：設移動 n 個鐵餅至少需要移動 an 次，則移動 n1 個鐵餅時，把上面 n 個移動到另一桿子上，至少需要移動 an 次，再把最底下的鐵餅移到第三桿子上，最後又移動 an 次把外移的 n 個疊在最大一個的上面，故移動n1 個時至少要移動 2an1 次。結論：河內塔謎題所引發的數列a n，首項 a11，而對 n1 ，a n+12a n1推測：a 11 21a2 2a113 2 21a3 2a217 2 31，a4 2a31152 41，由此測一般項 an2 n1
5、上述推測所面對的並不是單一問題，而是一系列的問題：P(1)：a 12 1P(2)：a 22 21P(3)：a 32 31P(4)：a 42 41P(k)：a k2 k1P(k1)：a k+12 k+11P(n)：a n2 n1，當然，我們不可能一一加以證明，倒是可以做到下列兩點：(1)驗證 P(1)成立，即 a1 211 這由 a11 馬上得出。(2)設 P(k)成立，則可推論 P(k1)也成立。在 P(k)成立時，a k2 k1 ak1 2a k12(2 k1)12 k+11，故 P(k1)成立。當 P(1)驗證成立後，則推證 P(2)成立；由 P(2)成立又可推證 P(3)成立；，如此造成
6、骨牌效應，前面一個成立可循環推證下一個成立，這就是數學歸納法原理。2.數學歸納法原理之一對一系列的命題 P(n)，若(1)P(1)成立 (驗證起始值成立)(2)P(k)成立，則 P(k1)跟著成立 (循環推論成立)則對任意正整數 n，P(n)恆成立。例 1：推測級數 132 3n 3 的求和公式並用數學歸納法加以證明。解：首先觀察到n11 311 2n21 32 393 2n31 32 33 3366 2n41 32 33 34 310010 2到 n4得到的和都是完全平方數而和的開平方為 13610又113126123101234推測 nk 時，和的開平方為 123k即 132 3n 3 n
7、（n1） 2。為證明此公式成立，需證明下列一系列命題都成立13 1(11） 2132 3 2(21) 2132 3k 3 k（k1） 2132 3k 3(k1) 3 (k1)(k 11） 2現在用數學歸納法加以證明：(1)檢驗 n1 時，公式 13 1(11) 2 是否成立2當 n1 時，左式1 31右式（ 12） 21等式成立。(2)能否由 13 23k 3 k(k1) 2 成立推論132 3k 3(k1) 3 (k1)(k 2) 21設 nk 時等式成立即 132 3k 3 k(k1) 2兩邊加上（k1） 3得出132 3k 3(k1) 3 k(k1) 2(k1) 3 k2 (k1) 2(
8、k1) 34(k 1)2( k2k1)(k1) 244(k 1)2 (k1)(k 2) 2。)1表示 nk1 也成立。故由數學歸納法得證 132 3n 3 n（n1） 2。練習 1：用數學歸納法證明：對任意正整數 n，1223n(n1) n(n1)(n2)。31證：(1)當 n1 時，左式 122 123右式，原式成立。3(2)設 nk 時，原式成立，即 1223k(k1) k(k1)(k2)成立31則 nk 1 時，左式12 23k(k1)(k1)(k2) k(k1)(k2)(k1)(k2)(k 1)(k2)( k1)(k1)(k 2) (k1)(k2)(k3)右式，k原式成立。故由數學歸納
9、法，得證對任意正整數 n，1223n(n1) n(n1)(n2)1恒成立例 題 2試證：對任意正整數 n12232 2n2 n-1(n1)2 n1。證：所需證明的一系列問題為1(1 1)21 1122(2 1)2 2112232 2(31)2 3112232 2k2 k-1(k1)2 k112232 2k2 k-1(k1)2 k( k1 1)2 k+11現在用數學歸納法加以證明。(1) n1 時 左式11右式（11）2 111式子兩邊都是 1等式成立。(2)設 nk 時 等式成立即12232 2k2 k1 (k1)2 k1等式兩邊加上（k1）2 k 得12232 2k2 k1 （k1）2 k(
10、k 1)2k 1（k1）2 k（k1）（k1） 2 k12k2 k1k2 k+11因而 12232 2.k2 k1 （k1）2 kk2 k1 1。即 nk1 隨著 nk 成立而成立故等式對任意正整數都成立。練習 2：試證：對任意正整數 n，1 3(2n1)(1)n-1n(1) n-1。證：(1)當 n1 時，左式 11(1) 2右式，原式成立。(2)設 nk 時，原式成立，即 13(2k1)(1)k-1k(1) k-1 成立則 nk 1 時，左式13 (2k1)(1)k-1(2k1)(1)kk(1) k-1(2k1)(1)k k(1)k-1(2k1)(1)k-1(1) (1) k-1(k2k1
11、)( 1)k-1(k1)(1) k(k1)右式，原式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數 n，1 3(2n1)(1)n-1n( 1)n-1 恒成立例 題 3試證：對任意正整數 nA n45 2n2 3n+2 是 17 的倍數。證：現在用數學歸納法證明。(1) n1 時 A110032 68是 17 的倍數。(2)現在假設 Ak45 2k2 3k+2 是 17 的倍數即 452k2 3k+217t，tZ，則Ak1 45 2(k+1)2 3(k+1)+245 2k+22 3k+3+245 252k2 323k+21005 2k82 3k+2845 2k82 3k+2685 2k8(4 52k2
12、3k+2)685 2k817t685 2k17(8t45 2k)也是 17 的倍數。故對任意正整數 nA n45 2n2 3n+2 都是 17 的倍數。練習 3：試證：對任意正整數 n，n(n 25)是 3 的倍數。證：(1)當 n1 時，n(n 25)1(1 25)32 是 3 的倍數，原命題成立。(2)設 nk 時，原命題成立，即 k(k25)3p，p N 成立則 nk 1 時，(k 1)(k1)25(k1)(k 22k15)k(k 25)k(2k1)(k22k6)3p(3k 23k6)3( pk2k2)是 3 的倍數，原命題成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數 n，n(n 25)是 3
13、 的倍數。例 題 4試證：對任意正整數 n 與正數 h(1h) n1nh。證 現在用數學歸納法加以證明。(1) n1 時 (1h) 11 h11h不等式確實成立。(2) 設 nk 時不等式成立即(1h) k1 kh，不等式兩邊同乘上正數 1h得(1h) k+1(1h) k(1h)(1 kh)(1h)1khhkh 21(k 1)h 不等式也成立由數學歸納法原理對任意正整數 n 與正數 h（1h） n1nh。練習 4：試證：對任意正整數 n 與正數 a2，a nna。證：(1)當 n1 時，a 11a，原不等式成立。(2)設 nk 時，原不等式成立，即 akka 成立則 nk 1 時，a k+1a
14、a ka ka2 kakaka kaa(k1)a，原不等式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數 n 與正數 a2 ，a nna。另一種數學歸納方式不等式 2nn 2 並不是對所有正整數 n 都成立仔細地看：(1) n1 時 211 2不等式成立。(2) n2 時 222 2不等式不成立。(3) n3 時 233 2不等式也不成立。(4) n4 時 244 2不等式也不成立。(5) n5 時 255 2不等式成立。(6) n6 時 266 2不等式成立。直到 n5 時不等式才可能成立。若想用數學歸納法加以證明自然不能從 1開始歸納起而是從 5 開始歸納起而需用到另一種歸納方式。3.數學歸納法原
15、理之二對一系列的命題 P(n)與一固定正整數 m，若(1)P(m)成立 (驗證起始值成立)(2)對 km ， P(k)成立，則 P(k1)跟著成立 (循環推論成立)則對任意正整數 nm，P(n)恆成立。例 題 5用數學歸納法證明：對所有正整數 n52 nn 2。證 n5 時2 5325 225不等式成立。設 k5且 2kk 2。在不等式兩邊乘上 2得出 22k2k 2 2k+12k 2。現在只要證明對 k52k 2(k1) 2。因為 2k2(k1) 2k 22k1(k1) 22對 k5 時(k1) 220 2k 2(k1) 20，故得證 2k+12k 2(k1) 2。由數學歸納法原理知對所有正
16、整數 n52 nn 2 都成立。練習 5：用數學歸納法證明：對任意正整數 n4 ，2 nn 5。證：(1)當 n4 時，2 41645 ，原不等式成立。(2)設 nk4 時，原不等式成立，即 2kk 5 成立則 nk 1 時，2 k+122 k 2(k5)k k55k 15，原不等式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n4，2 nn5 。例 題 6一 數 列 an的 首 項 是 2 而 對 n 1 an 1 試 證 ： 對 任 意 正 整 數na2n2a n2。證 (1) n2 時 a 2 2不等式成立。 (2)設 k2 且 ak2則ak1 2。k 由 nk 成立推出 nk1 成立故不等式對
17、 n2 皆成立。練習 6：一 數 列 an 的 首 項 是 1， 而 對 n 1， an+1 ，試 證 ： 對 任 意 正 整 數 n2 時，a n1 。證：(1)當 n2 時，a 2 1，原不等式成立。(2)設 nk2 時，原不等式成立，即 ak1 成立則 nk 1 時，a k+1 1，原不等式成立。k2故由數學歸納法，得證對 任 意 正 整 數 n2時，a n 1。4.使用數學歸納法的注意事項運用數學歸納法證明數學命題時，下列兩個步驟：(1)P(m)成立 (驗證起始值成立)(2)對 km ， P(k)成立，則 P(k1)跟著成立 (循環推論成立)都輕忽不得，少掉一個步驟，都可能導致矛盾的結
18、果。如考慮命題“對任意正整數 nn 2n41 都是質數”n 1 2 3 4 5 6 7 時 得 出 41 43 47 53 61 71 83 的 確 都 是 質數 但在 k2k41 是質數時並不能推出（k1） 2（k1）41 也是質數也使得命題不一定成立。在 n41 與 42 時出現 4124143兩個都是合成數而使命題不成立。另一方面對命題 “對任意正整數 nnn1。 ”若假設命題對 nk 成立則由 kk1 兩邊加 1 得出 k1（k1）1表示 nk1 隨著 nk 成立而成立但很明顯地 n1 時命題就不成立故原來命題並不成立。例 題 7判定下列命題是否成立：“對任意質數 p2 p1 都是質數。 ”解 p2 時2 213 是質數。p3 時2 317 也是質數。p5 時2 5131 也是質數。p7 時2 71127 也是質數。但 p11 時2 11120472389 並不是質數故命題並不成立。練習 7：判定下列命題是否成立：“對任意質數 p，2 p1 都是質數。 ”解：p3 時，2 31933 並不是質數，故命題並不成立
