1、江苏省 2019 年高考数学密卷（2）理第卷（必做题，共 160 分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 已知集合 A=1，4， B=，则 A B = 2 设复数（为虚数单位） ，则的共轭复数为 3 函数的定义域为 4 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 5 如图是甲、乙两位同学在 5 次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 6 将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号盒子的概率为 7 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为 8 在平面直角坐标系
2、中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 9 若，则的值为 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 xR 都有 f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则 f(3)+ f(10)的值为 11已知为数列 an的前 n 项和，且， ，则 an的首项的所有可能值为 12在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于 A， B 两点，为轴上一动点，则 ABP 周长的最小值为 13已知函数记，若，则实数的取值范围为 14若 ABC 中， AB=， BC=8，45， D 为 ABC 所在平面内一点且满足，则 AD 长度的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共
3、 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在 ABC 中，为所对的边， CD AB 于 D，且（1）求证：；（2）若，求的值16 （本小题满分 14 分）在正四棱锥中， E， F 分别为棱 VA， VC 的中点（1）求证： EF平面 ABCD；（2）求证：平面 VBD平面 BEF17(本小题满分 14 分)如图所示的某种容器的体积为 90cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为 r cm圆锥的高为 h1 cm，母线与底面所成的角为；圆柱的高为h2 cm已知圆柱底面的造价为 2a 元/cm 2，圆柱侧
4、面造价为 a 元/cm 2，圆锥侧面造价为a 元/cm 2（1）将圆柱的高 h2表示为底面半径 r 的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径 r 为多少？ACBD（第 16 题）VEFCA D B（第 15 题）18 （本小题满分 16 分）已知在平面直角坐标系中，椭圆 C：离心率为，其短轴长为 2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）如图， A 为椭圆 C 的左顶点， P， Q 为椭圆 C 上两动点，直线 PO 交 AQ 于 E，直线 QO 交 AP 于 D，直线 OP 与直线 OQ 的斜率分别为， ，且， （为非零实数） ，求的值19 （本小题满分 16 分）设数列的前
5、n 项和为，已知， （） （1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：， 求数列的通项公式； 是否存在正整数 n，使得成立？若存在，求出所有 n 的值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 16 分）已知函数， （1）当时，若曲线与直线相切，求 c 的值；若曲线与直线有公共点，求 c 的取值范围（2）当时，不等式对于任意正实数 x 恒成立，当 c 取得最大值时，求 a， b 的值2018 年高考模拟试卷（2）PExyOAQD（第 18 题）数学(附加题)21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如
6、图， ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点 E， F M， N 为 AB， CD上两点， EM EN，点 F 在 MN 的延长线上求证： BFM AFMB选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中， ， ， ， ， （1）求矩阵；（2）求向量的坐标C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)，圆 C 的极坐标方程是 4cos ，求直线 l 被圆 C 截得的弦长D选修
7、45：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知 x0， y0， z0， ，求证：【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22 （本小题满分 10 分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物 4 门学科竞赛已知该同学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望23 （本小题满分 10 分）已知函数，记，当（1）求证：在上为增函数；（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明2018
8、年高考模拟试卷（2）参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 1【解析】依题意， A B =12 【解析】由于，所以的共轭复数为3 【解析】由，解得4 36【解析】 ， ，输出的结果5 【解析】由茎叶图可知， ，所以甲的方差为；同理乙的方差为，所以比较稳定的是甲6 【解析】所有等可能的基本事件总数为种， “黑白两球均不在 1 号盒子”有种，所以概率为7 【解析】 ，所以8【解析】一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为9 【解析】由，得10 4【 解析】令 f(x+4)= f(x)+ f(2)中 x=2 ，得 f(2)= f(2)+ f(2)，所以
9、 f(2)=0，又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(2)=0，所以 f(x+4)= f(x)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(3)+ f(10)= f(1) + f(2)= f(1)+0= 411 【解析】因为，所以，所以， ， ，将以上各式相加，得，又，所以，获解12 14【解析】设直线 l 与圆 C 的一个交点 B（5，5）关于 x 轴的对称点为，易知 B 恰为圆 C 的直径，记 A 与 x 轴交于点 Q，则，所以 ABP 的周长的最小值为，易求得结果为 14.13 【解析】条件可转化为函数在上存在零点，所以方程有根，所以函数的图象有交点的横坐标在上，注意
10、到函数的图象为顶点（ a，2 a）在直线 y=2x 上移动的折线， 再考虑临界位置不难求解14 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意， ， ，设，所以， ， ，所以，即，令，则，所以 mn=4，所以当且仅当 5m=n=时， AD 取得最小值二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分15 （本小题满分 14 分）（1）证明：因为，所以， 3 分由正弦定理，得，CxyAB D（第 14 题）C xyOBA（第 12 题）PBQ所以 6 分（2）解：由（1）得， ， 8 分所以， 化简，得 10 分又，所以，所以， ， 12 分所以 14 分16 （本小题满分 14 分）（1）因为 E，
11、F 分别为棱 VA， VC 的中点，所以 EF AC， 3 分又因为， ，所以 EF平面 ABCD 6 分（2）连结，交于点，连结因为为正四棱锥，所以 又，所以 8 分又因为， EF AC，所以 EF VO， EF BD 10 分又， ，所以， 12 分又，所以平面 VBD平面 BEF 14 分17 （本小题满分 14 分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，圆锥的体积为，圆柱的体积为 2 分 因为，所以，所以 4 分 因为，所以因此所以，定义域为 6 分 （2）圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，底面积 8 分 容器总造价为ACBD（第 16 题）VEFO 10 分 令，则令，得当时，
12、，在上为单调减函数；当时， ，在上为单调增函数因此，当且仅当时，有最小值， y 有最小值 90 元 13 分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为 3cm 14 分 18 （本小题满分 16 分）（1）解：因为短轴长 2b=2，所以 b=1， 2 分又离心率，所以， 4 分所以，所以，所以椭圆 C 的标准方程为 6 分（2）由（1） ，点 A，设，则 因为，所以， 8 分由得， ， 由得， ，所以， 11 分两边同时乘以 k1得， ，所以， ，代入椭圆的方程得， ， 14 分同理可得， ，所以 16 分19 （本小题满分 16 分）（1）解：由，得（） ，两式相减，得，即（） 2 分因为，由，得
13、，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为 1，公比为 2 4 分（2） 由（1）知， ，由，得， 6 分PExyOAQD（第 18 题）即，即， 因为，所以数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列 8 分所以，所以 10 分 设，则，所以，两式相减，得，所以 12 分由，得，即显然当时，上式成立，设（） ，即因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立 16 分20 （本小题满分 16 分）（1）解：当时， ，所以设切点为，则 2 分由得，由得代入得，所以 4 分由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，令，当时， ；当时， ；所以在上为减函数，在上为
14、增函数；所以 6 分若，则，不合；若，由知适合；若，则，又，所以，由零点存在性定理知在上必有零点综上， c 的取值范围为 9 分（2）由题意得，当时，对于任意正实数 x 恒成立，所以当时，对于任意正实数 x 恒成立，由（1）知， ，两边同时乘以 x 得， 两边同时加上得， 所以（*） ，当且仅当时取等号对（*）式重复以上步骤可得， ，进而可得， ， ，所以当，时， ，当且仅当时取等号所以 12 分当取最大值 1 时，对于任意正实数 x 恒成立，令上式中得， ，所以，所以对于任意正实数 x 恒成立，即对于任意正实数 x 恒成立，所以，所以函数的对称轴，所以，即，所以， 14 分又由，两边同乘以
15、x2得， ，所以当，时，也恒成立，综上，得， 16 分数学（附加题）21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分）证明：因为 EM EN，所以 EMN ENM， 3 分因为 ABCD 为圆内接四边形，所以 FCN A， 6 分又因为 EMN AFM A， ENM BFM FCN，所以 AFM BFM 10 分B选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）（1）解：设，则有， 2分 故 解得，所以 5分（2）由，知，易求， 7 分由，
16、得， 所以 10 分C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）解：直线 l 的参数方程Error! ( t 为参数)化为直角坐标方程是 y x3， 2 分圆 C 的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是 x2 y24 x0 5分圆 C 的圆心(2，0)到直线 x y30 的距离为 d 7 分12又圆 C 的半径 r2，所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 10 分r2 d2 14D选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）证明：因为， 5 分所以，又因为，所以 10 分【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17、说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件， ，则，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为 4 分（2）随机变量的可能取值为 0，1，2，3，4， ，所以的概率分布为故 10 分23 （本小题满分 10 分）（1）证明：因为，所以，因为所以， ，所以，所以，所以在上为增函数 4 分（2）结论：对于任意，在上均为增函数证明：当 n=1 时，结论显然成立；假设当 n=k 时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立当 n=k+1 时， ， 所以又当时， ， ，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数由得证，对于任意，在上均为增函数 10 分
