1、1轨迹方程的若干求法求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.一、直接法 直接根据等量关系式建立方程.例 1 已知点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ (20)(3AB，()Pxy，2APBxP）圆 椭圆 双曲线 抛物线解析：由题知 ， ，(2)Pxy(3)xy由 ，得 ，即 ，2ABx 2326点轨迹为抛物线故选二、定义法运用有关曲线的定义求轨迹方程例 2 在 中， 上的两条中线长度之和为 39，求 的重ABC 24ACB， ABC心的轨迹方程解：以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立直角坐标系，如图 1，xy为重心，则有 M3926M点的轨
2、迹是以 为焦点的椭圆， BC，其中 123ca，25bac所求 的重心的轨迹方程为 A 21(0)69xy注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.三、转代法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例 3 已知ABC 的顶点 ，顶点 在抛物线 上运动，求(30)(1BC，A2yx的重心 的轨迹方程ABC G解：设 ， ，由重心公式，得()xy0()Ay 0031xy，032y， 又 在抛物线 上， 0()Axy， 2yx20yx2将，代入，得 ，即所求曲线方程是 23()(0yxy243(0)yxy四、参数法如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数）
3、，把 x，y 联系起来例 4 已知线段 ，直线 垂直平分 于 ，在 上取两点 ，使有向线2AalAOlP，段 满足 ，求直线 与 的交点 的轨迹方程OP，4PPM解：如图 2，以线段 所在直线为 轴，以线段 的中垂x线为 轴建立直角坐标系y设点 ，(0)t，则由题意，得 4Pt由点斜式得直线 的方程分别为A，4()()tyxayxat，两式相乘，消去 ，得 这就是所求点 M 的轨迹方程224(0)ya评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例 5 已知 ， ， 三点不在一条直线上，且
4、， ， ，(20)A()B2AD1()2AEBD（1）求 点轨迹方程；（2）过 作直线交以 为焦点的椭圆于 两点，线段 的中点到 轴的距AB，MN， y离为 ，且直线 与 点的轨迹相切，求椭圆方程45MNE解：（1）设 ，由 知 为 中点，易知 ()xy，1()2ADEB(2)Dxy，又 ，则 即 点轨迹方程为 ；2AD)4y 10（2）设 ，中点 12()(MxyN， 0()x，由题意设椭圆方程为 ，直线 方程为 14yaMN(2)ykx直线 与 点的轨迹相切， E3，解得 21k 3k将 代入椭圆方程并整理，得 ，3y()x 22244(3)41630axa，2120(3)a又由题意知 ，
5、即 ，解得 045x2528a故所求的椭圆方程为 18y歼灭难点训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线2.设 A1、A 2 是椭圆 492yx=1 的长轴两个端点，P 1、P 2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )A. 49yx B. 492xyC.2D. 1二、填空题3.ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B( 2a,0),C( ,0)，且满足条件sinCsin B= 21si
6、nA,则动点 A 的轨迹方程为_.4.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(5，0) 、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.已知 A、B 、C 是直线 l 上的三点，且|AB |=|BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过B、C 作O异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.46.双曲线 2byax=1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引A1QA 1P，A 2QA 2P，A 1Q 与 A2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程.7.已知双曲线 n
7、ymx=1(m0,n0)的顶点为 A1、A 2，与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、 Q.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程；(2)当 mn 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆 2byax=1(ab0),点 P 为其上一点，F 1、F 2 为椭圆的焦点，F 1PF2 的外角平分线为 l，点 F2 关于 l 的对称点为 Q，F 2Q 交 l 于点 R.(1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l：y=k(x+ 2a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求 k 的
8、值.参考答案歼灭难点训练一、1.解析：|PF 1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF 1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F 1Q|=2a,动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点 P(x,y）,A 1(3,0), A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y 0)A 1、P 1、P 共线， 30y5A 2、P 2、P 共线， 30xy解得 x0= 149,149,3,9 22yxxy即代 入 得答案：C二、3.解析：由 sinCsin B= 2sinA,得 cb= 2a,应为双曲线一支，且实轴长为 a,故
9、方程为 )4(13612axyx.答案： )4(13612xayx4.解析：设 P(x,y） ，依题意有 22)5(3)5( yxyx,化简得 P 点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x 2+4y285x +100=0三、5.解：设过 B、 C 异于 l 的两切线分别切O 于 D、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：| BA|=|BD|，| PD|=|PE|，|CA |=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC |，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B
10、、 C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为 7281yx=1(y0)6.解：设 P(x0,y0）( xa),Q(x,y).A 1(a,0), A2(a,0).由条件 yaxaxy2000 )( 1得而点 P(x0,y0)在双曲线上，b 2x02a 2y02=a2b2.即 b2(x 2)a 2( )2=a2b2化简得 Q 点的轨迹方程为： a2x2b 2y2=a4(xa).7.解：(1)设 P 点的坐标为(x 1,y1)，则 Q 点坐标为(x 1,y 1),又有 A1(m,0),A 2(m,0),6则 A1P 的方程为：
11、y = )(1mxy A2Q 的方程为：y= )(1x 得：y 2= )(221my 又因点 P 在双曲线上，故 ).(,121221 mxnynx即代入并整理得 2ym=1.此即为 M 的轨迹方程.(2)当 mn 时， M 的轨迹方程是椭圆.()当 mn 时，焦点坐标为( 2n,0)，准线方程为 x= 2nm,离心率 e=2；()当 mn 时，焦点坐标为(0, 2nm),准线方程为 y= 2mn,离心率 e=2.8.解：(1)点 F2 关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ，F 2PR=QPR ，| F2R|=|QR|，| PQ|=|PF2|又因为 l 为F 1PF2 外角的平分线，故点 F1
12、、P、Q 在同一直线上，设存在 R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c ,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x 1+c)2+y12=(2a)2.又 210y得 x1=2x0c,y 1=2y0.(2x 0)2+(2y0)2=(2a)2，x 02+y02=a2.故 R 的轨迹方程为：x 2+y2=a2(y0)(2)如右图，S AOB = |OA|OB|sinAOB=2asinAOB7当AOB=90时，S AOB 最大值为 21a2.此时弦心距|OC|= 21|ka.在 Rt AOC 中， AOC=45， .3,245cos1|2kkaOAC
