1、圆锥曲线 2009 年理科高考解答题荟萃1.（2009 浙江理）已知椭圆 1C：21(0)yxab的右顶点为 (1,0)A，过 1C的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆 的方程； （II）设点 P在抛物线 2：2()yxhR上， 2在点 P处的切线与 1交于点 ,MN当线段 的中点与MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值解（I）由题意得 21,ba所求的椭圆方程为214yx，（II）不妨设 212(,)(,)(,),xyNPth则抛物线 2C在点 P 处的切线斜率为2xty，直线 MN 的方程为 x，将上式代入椭圆 1的方程中，得24()40h，即 22214()()40ttxth，因为直
2、线MN 与椭圆 1C有两个不同的交点，所以有 6，设线段 MN 的中点的横坐标是 3x，则21()xt，设线段 PA 的中点的横坐标是 4，则 t，由题意得 34x，即有2(1)0tht，其中的 22(1)0,1h或 h；当 3时有 ,0，因此不等式 426()40tth不成立；因此 ，当 时代入方程 2()tt得 ，将 1,代入不等式 4216()4tht成立，因此 h的最小值为 12.（2009 北京理）已知双曲线2:1(0,)xyCab的离心率为 3，右准线方程为3x（）求双曲线 的方程；（）设直线 l是圆 2:Oxy上动点00(,)Py处的切线， l与双曲线 交于不同的两点 ,AB，证
3、明 O的大小为定值.【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得23ac，解得 1,3ac， 22bca，所求双曲线 C的方程为21yx.（）点 00,Pxy在圆 2xy上，圆在点 0,处的切线方程为 0x，化简得 02xy.由201xy及 20xy得 22000348xx，切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B ，且 20， 2034x，且 220016438xx，设 A、B 两点的坐标分别为 12,y，则 0012128,3434xxx， cosOBA，且 12120102xyxxy，
4、2120101204220022200088334xx22004x. AOB的大小为 9.【解法 2】 （）同解法 1.（）点 00,Pxy在圆 2xy上，圆在点 0,处的切线方程为 0x，化简得 02xy.由201yx及 20y得22003480xyx切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B ，且 20x， 2034x，设 A、B 两点的坐标分别为 12,y，则220012188,34xy， 12OABx， AOB的大小为 90.（ 20y且 0， 220,xy，从而当 2034x时，方程和方程的判别式均大于零）.3.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系 o中，抛物线 C 的顶点在原点，
5、经过点 A（2，2） ，其焦点 F 在 x轴上。 （1）求抛物线 C 的标准方程；（2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；（3）设过点 (,0)Mm的直线交抛物线 C于 D、E 两点，ME=2 DM，记 D 和 E 两点间的距离为 ()f，求 ()fm关于m的表达式。4.(2009 山东卷理)设椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N ( 6,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程；（ II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（
6、1）因为椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N ( 6,1)两点,所以2416ab解得284所以2椭圆 E 的方程为2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 2184xykm得 22()8xk,即 22(1)480kxm,则= 26(1)()0kk,即 20km12248kmx, 22221212112(8)48()()11kmkmkykxkxmx要使 OAB,需使 120y,即2280k,所以 230,所以2380mk又 4k,所以 23m,所以 28,即 6m或63,
7、因为直线 yx为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,22831rmk, 263r,所求的圆为 283xy,此时圆的切线 yx都满足 26或 ,而当切线的斜率不存在时切线为263与椭圆2184y的两个交点为 26(,)3或 26(,)3满足OAB,综上, 存在圆心在原点的圆 28xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O.因为12248kmx,所以2222211148(4)()()()11kmkmxx, 22222111()|()()AByxk4224353kk, 当 0k时 231|4ABk因为 2148k所以 2018k,所以 234k,所以 46|
8、33AB当且仅当 2时取”=”. 当 0k时, 46|. 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 26(,)3或 26(,)3,所以此时 46|3AB,综上, |AB |的取值范围为 |23AB即: 4|6,23【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题 ,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.5.（ 2009 广 东 卷 理 ） 已知曲线 2:Cyx与直线 :20ly交于两点 (,)Axy和(,)Bxy，且 ABx记曲线 在点 A和点 B之间那一段 L与线段 B所围成的平面区域（
9、含边界）为 D设点 (,)Pst是 L上的任一点，且点 P与点 和点 均不重合（1）若点 Q是线段 的中点，试求线段 Q的中点 M的轨迹方程；（2）若曲线 22251:40Gxaya与 D有公共点，试求 a的最小值解（1）联立 y与 得 ,BAx，则 A中点 )25,1(Q，设线段 PQ的中点 M坐标为 ),(yx，则 2,tys，即 25,ytxs，又点 在曲线 C上， 2)1(52xy化简可得 812xy，又点 P是 L上的任一点，且不与点 A和点 B重合，则 ，即 45x，中点 M的轨迹方程为 2xy（ 4）.（2）曲线 22251:40Gxaya，即圆 E： 9)()(，其圆心坐标为
10、)2,(aE，半径 57r由图可知，当 20时，曲线 2 1:40Gxy与点 D有公共点；当 a时，要使曲线 2225:xaya与点 有公共点，只需圆心E到直线 :0lxy的距离 7| d，得 052a，则 的最小值为 527.6.（2009 安徽卷理）点 0(,)Pxy在椭圆21(0)xyab上，00cos,in,.xayb直线 2l与直线 12:1xyl垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为 ，直线 2l的倾斜角为 .（I）证明: 点 P是椭圆21xyab与直线 1l的唯一交点；（II）证明: tn,t构成等比数列.解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何
11、性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知 识分析问题、解决 问题的能力。本小题满分 13 分。xyoxA xBD证明 （I） （方法一）由 021xyab得200(),baxy代入椭圆21xyab,得2004221()()bxayy.将 0cosin代入上式,得 22coscs0,xax从而 cos.xa因此,方程组2021xyab有唯一解 0y,即直线 1l与椭圆有唯一交点 P.(方法二) 显然 P 是椭圆与 1l的交点，若 Q 11(cos,in),02ab是椭圆与 1l的交点，代入 1l的方程 cosinxyab，得 1si,即 1s(),故 P 与 Q 重合。（方法三）在第一象限内，由
12、21xyab可得 2200,bbaxyax椭圆在点 P 处的切线斜率 00220(),k切线方程为200(),bxyya即 021xyab。因此， 1l就是椭圆在点 P 处的切线。根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线 1l的唯一交点。（II） 0tantan,ybx1l的斜率为20,xbyal的斜率为20tantan,yxb由此得 2tt,tn,t构成等比数列。7.（2009 江西卷理）已知点 10(,)Pxy为双曲线218xyb（b为正常数）上任一点, 2F为双曲线的右焦点,过 1P作右准线的垂线,垂足为 A,连接 并延长交 y轴于 2. 2F1OyxA2P(1) 求线段 1P2的中点 的轨
13、迹 E的方程;(2) 设轨迹 E与 x轴交于 BD、 两点,在 上任取一点 1,(0)Qxy（ ） ,直线 QBD， 分别交 y轴于 MN， 两点.求证:以 为直径的圆过两定点.(1) 解 由已知得 20830FbAy（ ， ） ， （ ， ） ,则直线 2FA的方程为 : 03()yxb,令 0x得 9y,即 (,)P,设 P（ ， ） ,则00 25xyy,即25xy代入2018xyb得:24185xyb,即 的轨迹 E的方程为221xb. (2) 证明 在225y中令 0y得 2xb,则不妨设 -2020BbDb（ ， ） ， （ ， ） ,于是直线 QB的方程为: 1()x, 直线 D
14、的方程为: 1(-2)yb,则 11200-byMNxx（ ， ） ， （ ， ） ,则以 为直径的圆的方程为: 21120-bybyxx（ ） （ ） ,令 0y得:21byx,而 1,Q（ ） 在225上,则 22115y,于是 5,即以 MN为直径的圆过两定点 (,0),b.8.(2009 湖北卷理)过抛物线 2ypx的对称轴上一点 ,0Aa的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、N 向直线 :la作垂线，垂足分别为 1M、 N。（）当 2pa时，求证： 1A ；（）记 1AM、 1N 、 1A的面积分别为 1S、 2、 3，是否存在 ，使得对任意的 0a，都有 22S成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。解 依题意，可设直线 MN 的方程为 12,(),()xmyaMxyN， 则有 12(,)(,)yN由 2xmap，消去 x 可得 20ypa 从而有 12ya 于是 21212()()xmympa 又由 11yp， 2x可得2212()4ypa（）如图 1，当 a时，点 (,0)pA即为抛物线的焦点， l为其准线 2px此时 12(,)(,)2PMyNy并 由 可得 21yp证法 1： 12(,)AppuvuvQ221 10yAMN即证法 2： 112,AMANyKp11212,AMNy即 .
