1、12. 2 .1 综合法和分析法一、教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程、特点。（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力 和分析问题和解决问题的能力。（三）情感、态度与价值观：来源:学科网 ZXXK通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重点：了解综合法和分析法的思考过程、特点。三、教学难点：根据问题的特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。四、教学过程:来源:学 A , B , C 为ABC 的内角，这是一个隐含条 件，明确表示出来是 A + B +
2、C = ； a , b，c 成等比数列，转化为符号语言就是 然后再寻找条件与结 2bac论的联系：利用余弦定理把角和边联系起来，建立角和边之间的关系，进而判断三角形的形状证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C 来源:学科网因为 A,B,C 为 ABC 的内角，所以 A + B + C= 由 ，得 B= 3由 a, b，c 成等比数列，有 2bac由余弦定理及，可得 2 2osaBac再由，得 2即 ， ()0c因此 从而 A= C 由，得A=B=C= 3所以ABC 为等边三角形注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等
3、还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来另外，纠正不正确的表达，让学生学会规范化表达。2. 分析法问题 2：基本不等式 （a0，b0 ） 的证明就用了上述方法。ba2设计意图：引导学生回顾基本不等式的证明过程，引出分析法的定义。师生活动：要证 ，只需证 ， aba2只需证 ，0b只需证 ，)(2由于 显然成立，因此原不等式成立。0)(2ba一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止,这种证明方法叫做分析法。分析法，又叫逆推证法或执果索因法。证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，
4、反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使 Q 成立的充分条件Q1，为了证明 Q1 成立，再去寻求 Q1成立的充分条件 Q2，为了证明 Q2 成立，再去寻求 Q2 成立的充分条件 Q3， 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。3用 Q 表示要证明的结论，则分析法可以用框图表示为：、.Q2321分析法的特点：执果索因例 2、求证 。573设计意图：可以学生进一步体会分析法的思考过程和特点，同时为学生用分析法证明数学命题起示范作用。学生活动：独立分析思考，合作交流。教师活动：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。证明：因为 都
5、是正数，所以为了证明5273和，只需证 ，22)()(展开得 ，01只需证 ，52因为 成立，所以521成立。2)()73(在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条 件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P 若由 P可以推出 Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子例 3 、已知 ，且,()2kZ sincosin 求证： 。221ta1ta()设计意图：为了说明综合法和分析法结合使用
6、而设置的，总结归纳，概括出两种方法结合使用的思维特点。学生活动：独立分析思考，自己给出证明，合作交流，说明证明中使用的方法。师生活动：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角 ，因此第一步工作可以从已知条件中消去 。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 2一 2 得 把2(sinco)sinco1224sini1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：24统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为,再与 比较，发现只要把2222si(si)cc224sini1中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的1nnoo4证明：因为 ，所以将 代入，可得2(
7、sinco)sinco1. 4另一方面，要证 ，221tatan(1n)即证 ， 222sisicoco1()即证 ，22221sin(sin)coco即证 ，221i(i)即证 。4sn1由于上式与相同，于是问题得证。用 P 表示已知条件,定义,定理,公理等,用 Q 表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:nPp.p1321 Q.m121（三）自我检测题：一、选择题1下列说法不正确的是（ ）综合法是由因导果的顺推证法分析法是执果索因的逆推证法综合法与分析法都是直接证法综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用2证明不等式 2736的最适合的方法是（ ）综合法 分析法 间接证法 合情推理法（四）课堂小结：综合法和分析法的特点。（五）布置作业：课本 P89 页 1、2、3。 20blgalg,ba、2blgalg,0ba、二、设a,b,c三数成等比数列，x,y分别是a,b和 b,c的等差中项，求证： ycx4
