1、题型一、求椭圆的标准方程例一解析：（1）椭圆的焦点在 轴上，故设椭圆的标准方程为 （x21xyab） ，0ab ， ， ，24c229bac所以，椭圆的标准方程为 。15y（2）椭圆焦点在 轴上，故设椭圆的标准方程为 （ ） ，21yxab0a由椭圆的定义知，2222333()()0a ，又 ， ，10c146bac所以，椭圆的标准方程为 。2106yx（3）焦距为 ， ，63 ，又 ， ， ，229abcab54b所以，椭圆的标准方程为 或 2516xy216x（4）设椭圆方程为 （ ） ，mn,0由 得 ，23()15n6,1所以，椭圆方程为 2106yx例 2.解析：（1）设动圆的半径为
2、 r，动圆圆心 P 为( x， y)，根据已知条件得|PC1|1 r，| PC2|9 r，则| PC1| PC2|10. P 点的轨迹为以 C1(3,0)、 C2(3,0)为焦点，长轴长 2a10 的椭圆，则a5， c3， b216，所求椭圆的方程为 165（2）用定义得 14yx题型二、椭圆的几何性质的应例三1.解：不妨设 F1（3，0） ， F2（3，0）由条件得 P（3， ） ，即| PF2|= ，| PF1|=3，因此| PF1|=7|PF2|，故选 A。247题型三、直线与椭圆的综合应用例 5（）解：依题设得椭圆的方程为 ，214xy直线 的方程分别为 ， ABEF， xy(0)k如
3、图，设 ，其中 ，012()()(DxkkF， ， ， ， ， 12x且 满足方程 ，12， 24故 由 知 ，得 ；6EF01206()xx02122510(6)774xk由 在 上知 ，得 DABk1k所以 ，22174k化简得 ，解得 或 560238（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点 到 的距离分别为EF， AB，212(14)xkkh2255()k又 ，所以四边形 的面积为1ABAEBF2()Sh452(1)k2()4k，2k当 ，即当 时，上式取等号所以 的最大值为 S2解法二：由题设， ， 1BO2A设 ， ，由得 ， ，1ykx20x10y故四边形 的面积为AEFBS
4、 2y22()24DFByxAOE，2(4)xy 2当 时，上式取等号所以 的最大值为 S2例 6.解:(1)由 知 ,设 ,因 在抛物线 上,2:4Cxy1(0)F0(,)Mxy2C故 204xy又 ,则 , 由解得 , .而点 椭圆上,15|3MF05302630yM故有 即 , 又 ,则 226()ab24819ab1c21ba由可解得 , ,椭圆 的方程为 .23C43yx(2)设 , ,12(,)()AxyB()Qxy由 可得: ,即P12(1,)y123()y由 可得: ,即 Q12(,),xyx12xxy 得: 得: 221 21()yy两式相加得 ()()()3又点 在圆 上,
5、且 ,所以 ,AB23xy21x23x即 ,点 总在定直线 上. 3x例 7 解：(1)设 P 的轨迹方程为 （a2）122ayxcosF1PF2 最小值为 ，a 2=334)(22aP 点轨迹方程为213xy（2）设 A（x,y）,B(x 2,y2) |MA|2=|MB|212(M212)(yxMB|MBAx +(y1+1)2=x22+(y2+1)2 (x1+x2)(x1x 2)+(y1+y2+2)(y1y 2)=0 2 kxy12(x1+x2)+k(y1+y2+2)=0 (A) 1321yx两式相减得 0)()(32121221 x 代入（A ） k(2y 12y 2+2)=0 k00)(
6、12ykxy1+y2=1 x1+x1=3k 设直线方程为 :y=kx+b l13:2yxbkl(3k2+1)x2+6bkx+3b23=0 x1+x2=)(322bkx kb62b=3k2+1 =(6bk)24(3k 2+1)(3b23)0 3k2+1b2 3k2+1( )213k21 k（1，1） （3） :2yxml 1)(322mx4x2+6mx+3m23=0 设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2) )1(4321mx|x1 x2|= |AB|= m= m=342m| 2212 xk 2时， M 到 距离 d1= m= 时，:yll :xylM 到距离 d2= 1例 8、解析：设 ，由
7、 OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),(),(21yxP又将0)(,1 21222 xyx代 入 上 式 得 ： 代 入x，2ba)(baba ,221ba代入化简得 .21x 2(2) 又由（ 1）知,32121322 ababace 12ab，长轴 2 a .65451 6,5例 9. 解：（1）由题意知，圆 A 的方程为 ，22()xby圆 B 的方程为 ， 2 分22()xya解方程组 得 ， 4 分22,b22(,)aP（2）因点 P 在直线 上，所以 即 ，63yx223,bab234a分所以 8 分224ac1cea（3）由（1）有 ，所以此时所求椭圆方程为
8、 ， 9 分3b213yxa设 是椭圆上一点，则(,)Mxy2|(1)MNx，其中 ， 22 213(4)4ay1若 时，则当 时， 有最大值 ，0a|21a由 得 或 （都舍去） ； 13 分2192若 时，则当 时， 有最大值 ，a4y2|N234由 得 （舍去负值） ； 15 分234a综上所述，所求椭圆的方程为 216yx例 10.解：（）设 P（x ，y ） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 为焦点，长半(03)(，轴为 2 的椭圆它的短半轴 ，22(3)1b故曲线 C 的方程为 3 分214yx（）设 ，其坐标满足12()()AB，214.yxk，消去 y 并整理得 ，2(4)30xk故 5 分12124xk，若 ，即 OABxy而 ，21112()y于是 ，2122231044kx化简得 ，所以 8 分40k（）2221()OABxy221()4x123()x264k因为 A 在第一象限，故 由 知 ，从而 又 ，10x1234xk20x120xk故 ，2OB即在题设条件下，恒有 12 分OAB
