1、1中央民大附中九月月考数 学 2008.9.12第卷（选择题 共 60 分）一选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数 等于（ ）2(1)iA. B. C. D ii1i1i2. 等于（ ）21lm()xA. B C 0 D 23.下列求导运算不正确的是 ( )A B 21()xx+=-2(cos)sinxx=-C D 3ln21lgl4.数列 中， 则数列 的极限值为（ ）na21,9,03nnnaA. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在5.函数 ，已知 在 时取得极值，则 =（ ）9)(3xaxf )(xf3
2、aA 2 B 3 C 4 D 56. 若 an= （ ）, 则 （ ） n211 , 1naA B C D221n7.如果 在 上连续，则 的值为（ ）24,()xfaRaA. 2 B. C. 4 D.8.某高校外语系有 8 名奥运会志愿者，其中有 5 名男生，3 名女生，现从中选 3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）A45 种 B56 种 C90 种 D120 种9.设函数 在 处可导，则 等于（ ）()fx000()()limhfxfhA. B. 0 C. D. 02f02f2-2 2xyO 1-1-1110.函数 在区间
3、 上的最大值为（ ）32()fx1,A. 2 B. C. 0 D. 411.设 ，函数 的导函数是 ，若 是偶函数，则曲aR32()()fxax()fx()f线 在原点处的切线方程为（ ）yfxA. B. C. D. 32yx3yx2yx12.已知函数 的图象如右图所示 (其中 是函数()f )f()f的导函数)，下面四个图象中 的图象大致是( ）)fO-2 2xy1-1-212O xy-2-2 21-112O-24 xy1-1-212O-2 2 xy-124A B C D第卷（非选择题 共 90 分）二填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中的横线上）13.
4、=_; =_21limx2311lim()nn 14. 点是曲线 上任意一点，则点到直线 的最小距离为_xyeyx15. 在下列命题中，正确的是_若 在（ ）内是增函数，则对任何 （ ）都应有 0；()f,ab,ab()fx若在（ ）内 存在，则 必为单调函数；()fx()fx若在（ ）内对任意 都有 0，则 在（ ）内是增函数；, ()f,若可导函数在（ ）内有 0，则在（ ）内有 0；,ab()fx,ab()fx可导的单调函数的导函数仍为单调函数.16.已知复数 与 均是纯虚数，则 =_z2()8iz17. 设点 P 是曲线 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为 ，则角 的取3yx 值范围是
5、_18. 在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.3中央民大附中九月月考数 学三解答题（本大题共 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.求函数 的极值，并求在点 处的切线方程. (10 分)21xy(0,2)P.20. 设函数 y = x3 + ax2 + bx + c 的图象如图所示，且与 y = 0 在原点相切，若函数的极小值为4， （1）求 a、b、c 的值；（2）求函数的递减区间.(12 分)0yx421.已知 ，且 ， .1()fx1()()nnfxfx*1,)nN(1)求 的表达式，猜想 的表达式并用数学归纳法证明；23
6、, *,(2)若关于 的函数 （其中 ）在区间 上x212()()nyxfxfx *(,1的最小值为 12，求 的值. (12 分)n5中央民大附中九月月考数 学21. 设 ，函数 .aR3()41fxa(1)求 的单调区间；()f(2)若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的最大值；2 0x， ()0fxa(3)若方程 存在三个相异的实数根，求 的取值范围 (13 分)()f23.设 是定义在 上的奇函数，且当 ，)(xf1,01x235)(axf6bxa24()求函数 的解析式；)(f() 当 时，求函数 在 上的最大值 ；31)(xf1,0)(ag()如果对满足 的一切实数 ，函数 在 上恒
7、有 ，求实数aaxf1,00)(xf的取值范围(13 分)b民大附中高三数学九月月考参考答案一选择题 CBBCD CC ADA AC*二13， 2 14. 15. 16. 17. 18.,2i20,),)3R*三解答题（答案参考）19.：当 时，y 有极小值 ；当 时， 有极大值1x31xy1所求的切线方程为： 2y*20.解析：（1）函数的图象经过（0，0）点 c = 0，又图象与 x 轴相切于（0，0）点， = 3x2 + 2ax + b.y 0 = 30 2 + 2a0 + b，得 b = 0 y = x 3 + ax2， = 3x2 + 2ax.y当 x a 时， 0；x a 时， 0
8、， y7当 x = a 时，函数有极小值4.32 ，得 a = 34)()(2（2） =3x26x 0，解得 0x 2， 递减区间是（0 ，2）y*22. 的导数 .()f2()94f令 ，解得 ，或 ； 令 ，解得 .0x3x()0fx23x从而 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 . ()f 2， 3， ， （）解：由 ， 得 . ()0fx 341ax 由（）得，函数 在 内单调递增，在 内单调递减，341yx23， 203，从而当 时，函数 取得最大值 . 2x359 因为对于任意 ，不等式 恒成立， 0， ()0fx故 ， 即 ，259a259从而 的最大值是 . （）解：当 变
9、化时， 变化情况如下表：x()fx， 23， 2323， 2323，()fx0 0A极大值 259aA极小值 79aA 由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有()fx()0fx8一个实数根； 当 时，解方程 ，得 ，即方程 只有两个相异259a()0fx243x， ()0fx的实数根； 当 时，解方程 ，得 ，即方程 只有两个相异的7()f， ()f实数根.如果方程 存在三个相异的实数根，则 解得 . ()0fx25097.a， 2579a， 事实上，当 时，257 9a， 且 ， ()10f25(2)1709fa所以方程 在 ， ， 内各有一根.0fx23， ， 3，综上，若方程
10、 存在三个相异的实数根，则 的取值范围是 . ()fa2579， *23 设 是定义在 上的奇函数，且当 时， )(xf1,01x 235)(axxfba24()求函数 的解析式；)(xf() 当 时，求函数 在 上的最大值 ；31)(xf1,0)(ag()如果对满足 的一切实数 ，函数 在 上恒有 ，求实数aaxf1,00)(xf的取值范围b()当 时， ，则10x0x )(ff b23452当 时， )(f(f).10(,452, ,0,)(2323 xbaxxf()当 时19 224106)(axxf )(3(ax)(326ax(1)当 ，即 时3当 时， ， 当 时， ，2,0x0)(
11、xf 1,32x0)(xf在 单调递增，在 上单调递减，)(f3,a,a bfg3278)(2)当 ，即 时， ，31aa0)(xf在 单调递增)(xf,0 bag2542).32(,54,1,278)(3aba() 要使函数 在 上恒有 ，必须使 在 上的最大值 )(xf1,00xf)(xf1,00)(ag也即是对满足 的实数 ， 的最大值要小于或等于 3a)(ag（1）当 时， ，此时 在 上是增函数，2928)( )(ag23,则 )(agb378，解得 0227（2）当 时，3a058)(ag此时， 在 上是增函数， 的最大值是 )(,2)(gbg23)(，解得 023b3由、得实数 的取值范围是 2b*10
