1、某书店对顾客实行一项优惠政策:每次买书 200 元至 499.99 元者,优惠 5;每次买书 500元以上者(含 500 元)优惠 10。某顾客到书店买了三次书,如果第一次与第二次合并一起买比分开买便宜 13.5 元;如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4 元。已知第一次付款是第三次的 5/8。问:这位顾客第二次买了多少钱的书?( )A. 115 B. 120 C. 125 D. 130本题的答案是 A,这个问题需要讨论多种情况:假设 3 次分别购买 x、y、z 元的书,通过选项可以观察到:y 200。一、从题干“如果第一次与第二次合并一起买比分开买便宜 13.5 元”可知,xy 一起买比
2、 xy分开买便宜 13.5 元,讨论这 13.5 是从哪里省下来的。分情况讨论:(1)已知:y 200,如果 x 200,且 x y 200,合买没有优惠,不考虑;(2)已知:y 200,如果 x 200,且 200 xy 500,则这 13.5元就是由(xy)一起省的,根据:(xy)513.5,可以推出:xy270(元) ;(3)已知:y 200,如果 200 x 500,且 200 xy 500,则这 13.5 元就是由 y省的,根据:y513.5,可以推出:y270(元) ,和 y 200矛盾,不对;(4)已知:y 200,如果 x 500,且 xy 500,则这 13.5 元就是由 y
3、 省的,根据:y1013.5,可以推出:y135(元) ,没有这个选项,所以不对;综上所述:xy270(元)二、从题干“如果三次合并一起买比三次分开买便宜 39.4 元”可知,xyz 一起买比 xyz 分开买便宜 39.4 元,讨论这 39.4 元从哪里省下来的。分情况讨论:(1)已知:xy270,如果 z 200,且 200 xyz 500,则这 39.4 元就是由( xyz)一起省的,根据( xyz)5 39.4,可以推出:xyz788(元) ,和“且 200 xyz 500”矛盾,所以不对;(2)已知:xy270,如果 200 z 500,且 200 xyz 500,则这 39.4 元就
4、是由( xy)一起省的,根据( xy)539.4,可以推出:xy788(元) ,和“xy270” 矛盾,所以不对;(3)已知:xy270,如果 200 z 500,且 xyz 500,则这 39.4 元就是由(xyz)一起省的,根据 x10y10z(105)39.4,可以推出:z 248(元) ,和“ 如果 200 z 500,且 xyz 500” 一致;(4)已知:xy270,如果 z 500,且 xyz 500,则这 39.4元就是由( xy)一起省的,根据 x10y1039.4,可以推出:xy394(元) ,和“xy270” 矛盾,所以不对;综上所述:z248(元) 。最后,根据题目条件
5、列以下方程:xy270z248x(5/8)z得出:y115。例 11 将自然数按如下顺序排列:1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 在这样的排列下,数字 3 排在第 2 行第 1 列,数字 13 排在第 3 行第 3 列。问:数字 168 排在第几行第几列?分析:我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律。这里第 2 斜行的数字是 3,2;第3 斜行的数字是 4,5,6;余此类推。仔细观察后我们发现:奇数斜行中的数字由下向上递增,偶数斜行中的数字由上向下递增,我们只要找出 168 位于第几斜行,再换算成原数阵中的第几行第几列,问题便解决了。18 斜行最
6、大的数字是 171,所以 168 位于第 18 斜行。第 18 斜行中的数字是由上向下递增,因此,168位于第 18 斜行由上向下数第(168-153=)15 位,换算成原数阵的行和列,便是第 15 行,第(18-151=)4 列。解法 2:为方便起见,可将数阵按顺时针方向旋转 45,则原数阵变为13 24 5 610 9 8 711 12 13 14 15 设 168 位于上述数阵的第 n 行,则12(n1)16812n,可见,n 应为 18,即 168 位于上述数阵中的第 18 行。又 168-153=15,18-15 1=4,由数阵排列次序可知 168 位于上述数阵的第 18 行从左数第
7、 4 个数,从右数第 15 个数。将上述数阵还原为题中数阵,168 在第 15 行第 4 列的位置上。例 4:在平面上画 5 个圆和 1 条直线,最多可把平面分成多少部分?解答:关于圆分平面,我们在第一题中已经给出了一个计算公式(推导方法与第一题相同)。由此我们知道 5 个圆最多分平面 5(5-1)+2=22 部分。现在再增加一条直线,那么一条直线最多有 5 个圆有 10 个交点,所以最多增加10 部分,也即 5 个圆和 1 条直线最多可把平面分成 22+10=32 部分。7、在一张四边形纸上共有 10 个点,如果把四边形的顶点算在一起,则一共有 14 个点。已知这些点中的任意三个点都不在同一
8、直线上。按照下面规定把这张纸片剪成一些三角形:每个三角形的顶点都是这 14 个点中的 3 个;每个三角形内都不再有这些点。那么,这张四边形的纸最多可以剪出( )个三角形。(7)在 10 个点中任意取一点,与四边形的四个顶点构成 4 个三角形。再在剩下的 9 个点中任意取一点,它必定落在某一个三角形中,只能与三角形的三个顶点构成三个三角形,即增加 2 个三角形。以后各点情况都与此相同。除了第一点增加 4 个三角形外,其余各点都只增加 2 个三角形。所以共可以剪出 4+(101)2=22(个)三角形。自然数的平方按大小排列成 149162549.从左边数起,第 612 个数字是几?1-3 平方为
9、1 位数 3*1=34-9 平方为 2 位数 6*2=1210-31 平方为 3 位数 22*3=6632-99 平方为 4 位数 68*4=2723+12+66+272=353 也就是说 99 的平方可以排到 353 个数,还差 612-353=259 位数, 而 100 到 200 的平方都是 5 位数,259/5=51 余数为 4,说明是第 52 个数平方的第四位。也就是 100 到 151(151 为第 52 个数)。151 的平方等于 22801,第四位为 0。所以第 612 个数字是 0圆周上均匀地放置了 100 枚棋子,其中黑棋子 48 枚, 白棋子 52 妹, 若将圆周上任意两
10、枚棋子交换位置称为一次对换,那么最少要经过多少次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻. (要有过程 ,答案是 24)道理好简单,因为每一次对换,肯定是一黑一白,如果要全部黑的不能相连,则要把一半的黑换掉, (例如把黑的编号为 1、 2、3、4,则只要把1、3、5 等换成白就可以了) ,所以只要 48/2=24 次下面是一个数字组成的三角形,试研究它的规律,并推测出 A 的数值。10 11 1 00 1 2 25 5 4 2 00 5 10 14 16 1661 61 56 46 32 16 0* * * * * A * * * * * 10 11 1 00 1 2 25 5 4 2 00 5 10
11、14 16 1661 61 56 46 32 16 00 61 122 178 224 256 272 272思路:1、第二行从左开始,向右填数;上面的数与下面数的和,写在这个数的右边即 1+0=1, 第二行为 0 12、第二行的最后一个数与上面的数的差,写在第三行的最右边(比第二行右移一位)即 1-1=0, 第三行的最右边的数为 03、最右边的数 与上一行的数的和,写在第二个,第二个数与上面数的和,写在第三个位置,依次向左填即,0+1=1,写在第三行的右 2 位置,得出的数 1 与上面斜上方的数 0,相加,1+0=1,写在第三行的右 3 位置4、第三行的左边两个数的差,为下一行的第一个数即
12、1-1=0,为第四行的左 1 位置,所得数 0,与上一行(第三行)的第一个数,相加,得数放在第四行的左 2 位置,即 0+1=1,第四行的左 2 位置为 1依次类推1+1=2,第四行的左 3 位置为 22+0=2,第四行的左 4 位置为 2 (0 是上一行的数)5、第四行的后两个数相减,得数放在第五行的右 1 位置即 2-2=0,第五行的右 1 位置 为 00+2=2,放在第五行的右 2 位置2+2=4,放在第五行的右 3 位置4+1=5,放在第五行的右 4 位置5+0=5,放在第五行的右 5 位置类推相信,你看的懂解答:图中 5 个圆、 10 个数字,其中 5 个数字是只属于某一个圆本身的,5 个数字是每两个圆相重叠的公共区域的,观察发现,两圆重叠部分的公共区域的数字 2 倍,正好等于两圆独有数字之和,15*2=10+20,30*2=20+40;所以, a=2*17-10=24,b=(16+40 ) /2=28。验算:20*2-16=24,符合。