第四章__联立方程模型.doc

1、第四章 联立方程模型1Chapter4 联立方程模型本章关注的目标 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在Y联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量 从另一方面考察可能成为 的结iXY果，那么 就是原因，因为 中有 的成分，从而 不成立，产生内生性问YiXY()0iEU题的第 3 种情形，联立性问题。在第二章现代观点理念的陈述中，把 Y 看成是一个随机向量，所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量

2、 Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容有，联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中 GMM 方法是本章的特色。它把 2SLS 的方法又提高了一步。一、基本概念和模型系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部

3、给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时， （1） （2）不加区分统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。模型分成简约式（reduced formed）和结构式（structure form）两种：1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式有以确定的经济内内涵，它们从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类：（1） 行为方程（2） 技术

4、方程（3） 平衡方程（4） 定义方程每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。系统的描述：Y 表示内生变量，设共有 G 个内生变量： 1YGX 表示先决变量，设有 M 个先决变量： XMU 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。例：简单的宏观消费投资模型：可加随机项不可加随机项第四章 联立方程模型2消费方程： ttt UYC21投资方程： ttttI)(21平衡方程： ttttG则：内生变量： ， ，tCtItY先决变量： 21,ttt随机误差： 。tU联立方程模型主要分成三类：（1） 似无关模型（Seemingly Unrelated Regression ） (SUR 模型

5、)11XY22U GYG模型中每个方程都是 reduced form,且有不同的先决解释变量和因变量，并有各自的参数值 G。相关联的仅是不可观测的误差项。可以理解为系统有一个共同的环境，1,g且系统因果关系由随机项构成。由此设定：， =1G。1G|X0gEU g这是一个很强的假定，意味着任意 与 不相关，弱一些的假定是：iUjX， =1G,但不要求 不相关。总体上， 可能与其他外生变量|g 1GgU（ 不等于 j）相关，似无关的含义是指后一种含义。jX（2）面板数据模型（Panel Data） （ PD 模型）， =1,2。tttYU|0,tEXt这里，先决解释变量，因变量和参数值都相同，区别

6、的仅在于 ,一般理解为不同时段，t也可以是其它指标如不同地区、城市等， 可理解为不同的 导致不同的随机误差。故tU和 可以不独立，也可以不同分布等，视各种实际情况而定。titj注：1、这种简单形式的面板数据模型，可以看成是一类特殊的联立方程。其他各种特征的面板数据模型将在第五章中介绍。SUR 和 PD 是联立方程的特殊形式，其特点为每个内生变量 都可以写成单方程的多元线性回归形式，且都是正确设定的。区别是，SUR 模型每个iY第四章 联立方程模型3有自己的外生变量，而 PD 则是所有 都有相同的外生变量。iYiY2、另一种介于 SUR 和 PD 模型的联立式称为跨方程的联立式，含义是：如果某

7、与iY中有相同的先决变量，且参数值相同，那么可将 与 合并成跨方程的联立式，如：j ijY ，并将其看成是一个整体。1221 1200 kkXYX 21U（3）同时性模型（Simultanious Equation）(SEM)111UZ ()GGY这里， 是指不包括 在内的其它变量的部分（ ） ； 是指先决变量的部分h YhhZ（ ） ； 和 是变量 和 的参数； 是随机误差。即同时性模型是把XhhYZU每个内生变量写成其它部分内生变量和先决变量的线性式。因为 SEM 模型中右边方程中含有其它内生变量，所以内生变量 是同时确定的。它不能象模型（1）和（2）那样，G单独就可以确定。如果我们能够通

8、过线性变换把 SEM 中右边的内生变量部分消去，得到它的简约式，那么 SEM 也可以象 SUR 和 PD 那样处理。我们把 SEM 左边的每个 都移到方程的右边，hY使其得到按行排列的统一的紧凑形式：。0YXU这里， 是 1矩阵， 是 1M 矩阵，且可以观测抽样；1()G 1()X是 GG 矩阵， 是 MG 矩阵，是未知参数；ij)ij是 1矩阵，是随机误差。1()注：紧凑式也可按列排成按行的转置形式： 。采取那种方式视方便而定。0YXU假定 可逆，否则内生变量 中的选择至少有一个是多余的，且 是随机 ()EU误差的协方差阵，为 GG 的非奇异矩阵。那么模型可以方便地转化成简约式：。11YXU

9、XV但是，将 SEM 写成简约式面临一个问题：当我们从简约式得到 的估计 ，在什么条件下，我们可以从 得到 和 的估计 第四章 联立方程模型4和 ，称为系统的可识别问题。这个问题不是显然的，甚至有点微妙。因为 与 是原 模型的未知参数，有其经济含义，如果从 得不到 和 的估计 和 ， 的估计就没有意义。这个问题我们放到后面讨论，先讨论联立方程模型的估计和检验。二、.联立方程的估计和检验为要利用单方程的多元回归方法，我们先把联立方程中的三种形式统一处理成的矩阵形式。YXU（1）SUR 模型。11112220GGGUXY X（2） 模型PD。11TYUX（3）SEM 模型 。(1) 111(2)

10、22()00G GGUYY XYX 这里 是 GK 矩阵，G、K 视不同联立形式而定。加上下标 表示第 次随机抽样。X ii类似于单方程模型，对联立式的 估计与检验我们有如下假定：OLS假定：Sols1: 成立；0iEUiSols2: 非奇异 成立。iA那么， 。从总体中随机 N 次抽样，由得到：1iiXY11NNPi ii iSOLX 写成矩阵表达，Sols ，与单方程形式上一致，但矩阵 、 的内涵是Y YX不一样的。这里 ， , ， 。1(,)NY 1()iG 1(,)NX 1i对 SUR， 是 NGK 矩阵，对 PD， 是 NTK 矩阵。XX第四章 联立方程模型5同样有， ， 。10,d

11、N AiiEXUi又记，残差 ，将 排成列得， 。那么，iiiUYXi Y。于是， 的渐近协方差估计 ，pB 11XV称为 稳健的协方差估计。且 值 。当 N 很大，近似于标准正态分布。Vt()jjGKset:注：1）在联立方程模型中，对误差项协差矩阵 是没有任何限制的。故iEU仅是一个正定阵，所以 方法仅能保证 是一致的，不一定是有效的。由I2SOL于 的复杂性，如果未知，一般 方法估计的效果是很差的，只是作为其他估计方法的过渡。2）关于检验，利用 Wald 统计量 ，秩 。12QWcqVcqc对不同的问题选择适当的 和 ， ，可进行 的有关线性组合的检验，不再cqH:0需要任何其它假定。2

12、、联立方程的 GLS 估计与检验Sols 估计尽管皮实，条件要求少，但毕竟有效性差。如果对随机误差项 有更强的假U定条件，则可对 Sols 估计做进一步的改进，称为广义最小二乘估计 。SGL假定：SGLS1： 0, 。含义是 中每个元素同 中每个元素都不相iiUXEiiUiX关。 是 Kronecker 乘积：， 。 的含义是对矩阵的121212nmmnaaA: Amna11 A线性变换。与 SGLS1 等价的条件是： ， ；0ilkEXU,lk假定 SGLS2： 正定，且 非奇异。i1ii那么对 ，用 乘两边得， 即 。iiiUXY21 1222iiiYUiiiYX于是有， 。随机抽取样本

13、N，对变换后新的模型 做 ，()iGEI iiiSOL得广义最小二乘估计，记成 SGLS 。11NNiiiiXY第四章 联立方程模型6 ，是一致估计。再写成矩阵式：111NNpiiiii iXXY 。IINN11这里 是 NGK 矩阵， 是 NG1 矩阵。并仍可以证明，SGLS 是 渐近正态的。YN即 ， ， *10,dAB 1iiEX11iiiBEXU。由于 一般未知，用 SOLS 残差 ,由向量组的弱大数定律（WLLN） ，iiiiOLSU我们有：。把 作为 的一致估计，代入到上述表达式当中，便可得到可1NPiU 行的广义最小二乘估计 FGLS ： 。当 N11FGLSNNXIXIY相对

14、G 不是很大， 有很差的有限样本性质。我们需要获取更多关于 的信息，才能得到更好的 的形式。如独立性、序列相关性，等等。获取 FGLS 的步骤： （1） 得残差 和 、 ；YonXU1（2）再由公式 立得 。1FGLSNNIXIY FGLS可以证明， ，即 FGLS 与 GLS 渐近等价。从而有渐近正*(1)po态性。FGLS 与 SOLS 相比，在充分信息条件下： ，含义是 中每()()iiiEuXui一分量的方差和它们的协方差与 无关。这是系统同方差假设的一种表示。直观讲就是如iX果 ，那么 FGLS 有更好的有效性。可得渐近方差估计：BA= 。var()FGLS 11Niii一般 条件太

15、强，减弱为下面的：()iiiEuXu假定 SGLS3: ， 。111iiiiiUXEiEU有关 FSGLS 的线性组合的假设检验：一般用 Wald 检验，与 OLS 类似。但当 SGLS13 成立，一种类似单方程基于残差形式的 F 检验则更方便。设对 有 Q 个约束条件， 是带约束条件下的 FGLS 的残差， 是不带约束下iUiU第四章 联立方程模型7FGLS 的残差， 是无约束下的用 SOLS 残差平方和做的估计。那么，可以证明：112NNiiiiQiU 进一步，在有限样本条件下有类似残差形式的 F 统计量：利用111/ ,NNNiiiiiii i GKFUQNGK F 统计量可以方便地做

16、的部分参数为 0 的检验。注：SOLS 和 SGLS 只能用于单方程是正确设定的联立方程，对 SEM 由于内生性基本不能用。FGLS 本质是解决联立方程估计的有效性问题，但需要有更多的信息条件。当 是对角阵时SOLS 和 SGLS 没有区别。具体到 SUR 或 PD，对误差项的设定还要具体分析。3、联立方程的工具变量估计和 GMM 方法正如单方程模型会遇到内生性问题，联立方程模型更容易遇到内生性问题。特别对于SEM 模型，内生性是不可避免的。因为结构式中已包含有其它的内生变量，从而从结构式到简约式的转化中，自然也把误差项带入了其它的结构式中。由于内生性的存在，我们知道，这使得 SOLS 和 F

17、GLS 是有偏和不一致的。SOLS 和 FGLS 方法基本不能用。我们把单方程模型中消除内生性的工具变量法引入到联立方程模型中来，并由此引入更一般的广义矩（GMM）方法。另外，从联立方程的可识别中，合理安排每个方程的外生变量还可以自己解决工具变量的寻找问题。把联立模型形式的写成类似 SUR 模型的形式：； ； ， 。11UXY22XYGGUXY1GK对每一个 ， 是 1 向量，既包含有外生变量，也包含有内生变量。从而 与 有ggk gXU相关性。如同单方程工具变量法一样，对每一结构方程 ，选择工具变量 是 1 向量，gZL它们是可观测的外生变量，且 ， 中包含单位和其中的外生变量。满足工具条件

18、：gKLZSIV1： ， ；0gEZU1GSIV2：秩 ， ， 。giXk i对任意的观测 ,用下标包装成矩阵形式：i， ， ； , 。1iiiGY120i GiX iGiiU11iiiUXY第四章 联立方程模型8相应的， L 。120i GiZ G1如果 ， 。由假定 SIV2， 非奇异，从而， 是 KKgLK1 gEZX iEZX非奇异矩阵。对 两边乘上 ，取期望得 。iiiUXYi 1iiY对 随机抽样， 。仍设 和 是 NGK 的样本观测矩阵。那么可得联立方iN程模型的工具变量估计， ，并由假11NNi iSIVZXZYZX1定 SIV1，知 。PI 但是，如果 ，那么 就不再是一个方

19、阵，我们无法直接得到 SIV 。或者KL 说，我们可以在 L 中任意选择 K 个工具变量，选择哪 个？回忆 ，对过度识别的工K2SL具变量集 ，我们选择的是它们的线性组合 作为新工具变量，这事实上是1Z 1Z对 进行了特殊的线性变换。L下面，我们换一种思路，即所谓的广义矩阵估计（GMM 汉森 1982）方法。该方法的基本思路是，如果我们引入了外生的工具变量替代了原方程的某些内生变量，那么选择原方程残差平方和最小的标准就不一定最合理。由于工具带来了“信息” ，应当选择与工具变量相关的“加权”的残差平方和最小。讨论如下：由 SIV1， ， 。0iEZU0iiXYZi再由大数律： 。1NPii 但固

20、定 N， ，这样的 不一定存在。退一步，选择 使得：10iiZYX以 为“权”的平方和 取最小值。这种思想是 OLSiZ 11 iiNiiiNi XYZ方法的自然推广。特别当 ，就是 OLS 方法。IZi还应当考虑误差方差对估计的不均匀影响，类似于 GLS 方法，如果已知 的有关信息，找“权” 作为工具使得方差影响变得均匀。为此，一般的定义，找一个与工具变量和12工具变量协方差相关的矩阵作为“权” 。定义：设 是一个 LL 的已知正定矩阵，如果 是求解下式二次型的最优解W GM第四章 联立方程模型9，则称11 minNNii iiZYXWZYXZYXWZYX 是广义矩估计 GMM 。GM因为

21、正定，故有分解 = ，令 ， 。则：21Y12Z12。故得：minminZYXZYXX 。可以证明， 是一致和渐近正态1GMW1 GM的，且 ,其中 ，1GMAVRNCCiCEZX， 。这里 是一非随机的给定的与工具 的方差信息)()(iii UZarZE有关的矩阵。我们补充假定：SIV3： 是一已知的随机矩阵序列，且有 。NWpNW 特别，取 ，1111 piZZEZ 则 。11GMXXY类似于单方程的 2SLS 估计，故称联立的 S2SLS 。S2SLS 满足 SIV13 的条件，故有一致性和渐近正态性，但不一定是渐近有效的。下面的问题是，我们需要寻找一个更好的序列 ，使得估计 具有最pN

22、W GM小方差性，称该 为最优权矩阵。最优权矩阵的求法：W1） 设 是 的一个任意一致估计，大部分情况下，取 是联立的 S2SLS 最方便； 2） 有了 ，对每个 ，得到 G1 的残差向量： ；i iiiXYU3) 再得到 ，且 ；N1iiZU()pNiiiEZVarZU 4）选取 ；W补充假定 SIV4：W ， ， 。1iVar，则 为渐近有效的 GMM 估计，称为最小“卡N1GMXZWZY方”估计，记成 ，或 。Kaii证明：因为满足 SIV13 条件下， 的协差矩阵GM第四章 联立方程模型10，而满足 SIV14 条件下， 的协差矩阵简化为11CWCWAKai。要说明 是渐近有效的，即要

23、证 半正定，即要证1B AB半正定。注意到， 正定，1BA 1211CCWC11 12222C ， 。1122()ID12D是幂等矩阵，它是半正定的， 半正定。()IBA又，如果我们有关于工具变量与误差项乘积方差可分离的信息，一个条件期望下的充分条件是： 。令 。()()i iiEUZiEU补充假定 SIV5： 。()iiiZ现在用 ， 是 S2SLS 残差。知1NiiiiiXYiPUE 。i选取 。NW1 1 11()pi N iZIZWZ （注意与 不同）那么，在 SIV15 条件下：1()iiEU 。 （不必记忆）3SLYZIZXZIXNN 1)(称为 的 GMM 三阶段最小二乘估计，记

24、成 。3SLS 是无偏、一致、渐近有效的。3sl注 1.当条件 SIV5 不成立时，3SLS 就不如最小卡方 Kai- 来得好。即使 SIV5 成立，3SLS 也不一定比最小卡方 Kai- 表现好。但现在仍多用 3SLS，部分是历史原因，另外在相对少的样本量情况下，3SLS 有效性比最小卡方 Kai- 表现好。2.传统观点下，3SLS 与上述的 GMM 方法得到的 3SLS 有所不同。传统的 3SLS 方法是：1第一阶段 ,得 ；XonZ1ZX第四章 联立方程模型112第二阶段 ，和 ，得 2SLS 残差 和 ；iiXZYonXU1Nii3第三阶段对 做 GLS，得 (,)11Niiiii i

25、XY 。11()NNXII注意，在 SIV1SIV3 假定下，G3SLS 是一致的，但传统的 3SLS 不一定是一致的。3 联立方程模型有多种估计方法，对模型的要求是，估计精度越高，要求越高。我们不一定要一味追求高精度。例如我们仅关注第一个结构式的 ，那么我们仅按单方程模型1要求 和秩 就可得 的 2sls ，而不必对系统的其它方程寻找更多01UZE1ZXk11的工具变量。具体问题要具体分析。由于某些方程的设定采用了 3SLS 方法，会导致问题复杂化。数据、模型、计算机是为人服务的，在熟练掌握计算机软件的前提条件下，把多种估计方法加以比较，并做出合理解释。大量的实践经验是必不可少的。具体举例略

26、。我们知道， 是在给定工具变量集 下的最优权矩阵。进一步的问题是，选择满足1WZ什么条件的工具变量集是最优的。换句话说，工具变量并不是越多越好，因为太多的工具变量造成过度识别，产生非常差的有限样本性质。 （减少自由度，有效性降低。 ）关于最优工具变量集，我们有陈述如下的定理：最优工具变量定理：如果对某一向量集 满足： ， 。即Z()0igEUZ1G i对每个结构方程都是外生的。那么，取 ，其中iZ*i1iiX，若秩 ，则 是最优工具变量。iiiEUZ*iEXKi该定理说明，一旦我们得到 ，所有其它有关 的函数作为工具变量加入是多余的。i iZ例如，GLS 方法。 ，且 。那么最优工具是 。问(

27、)0i iiU *1iiZX题是 和 的验证，如果没有更多的信息假定，我们没有更多的手段。iZiEX4 联立方程模型的假设检验（1）有了 Kai- 和渐近方差 = 。()kaiAvr111XZUZXiiiNi这里 ，有时 直接用 2SLS 代替，也不受影响。iiikaiUYZiUi第四章 联立方程模型12又当 SIV5 成立，有 3SLS 和渐近方差 = 。这里3slAvar11XZIZXN， 。那么，对一切的线性约束检验问题：iUN1i sliiZY3。可采用 Wald 统计量进行检验，其中 R 是 QK 矩阵，且秩 RQ，W 。rR 2（2）另一种类似 F 检验，用残差表达的统计量。如果在

28、约束条件下采用 GMM 方法，估计易得，如约束为部分系数为零，那么更为方便。采用最优权矩阵 （ ）得到无约束的 Kai- 估计，残差为 ，W1 iiiUYX又 是同样采用最优权矩阵 ，但是在满足 个线性约束条件下得到的估计，残差为 Q。可以证明， 为真，那么：iiiUYX0:HRr，21111NNNNi ii i QZUZU 又在 SIV5 成立的条件下，上式可约化成：， NiiNiNiNiiNiNi Z111111 2Q其中 ，是联立方程的 2SLS 的残差。iU （3）过度识别的检验如果工具集 的个数 大于 的个数 ，那么存在过度识别的问题。用统计量：iZLiXK，拒绝原假设表示过度识别。

29、211NNi iLUW:三、联立方程模型的可识别回忆在 2SLS 的理论中，要求选择工具变量 Z 满足秩 ， 。否则 就LEK有可能不能识别，即不一定能得到 IV 。这种问题在联立方程模型中，由于内生变量允许在其它方程中出现，存在的可能性几乎肯定，而且表现更复杂。例：供给方程： ttStPQ需求方程： 其中， 。平衡方程： 。ttDtStQDt第四章 联立方程模型13那么 ， tP1/Vtt tQ2/Vtt 由于 和 是随机变量，故 ， 不可观测。我们无法得到内生变量 ， 的结tt 2 tPtQ构参数 的任何信息。现在，在需求方程中引入外生变量收入 ，且可观测。考虑：, Y， 。那么可解得：t

30、ttDt YPQ321 03 ， 。t 1VttQ221VYt得到： ， 。/23120/23由于 ， ， 可观测，通过 OLS 方法可求得参数估计： ， ， ， 。tPttY1212又由于 ，这意味着供给方程是可识别的。因为供给方程中不包含有外生121变量 ，它的信息可对供给方程提供帮助，但需求方程仍无法识别，没有系统的外生信息Y可以利用。如果再引入外生变量税收 ，且放到供给方程中：tT供给方程： tttStPQ321需求方程： ；tttDt Y则可解得： ， 。tP1312VTtttQ2321VTYtt同样通过 OLS 方法可得： ，并通过 ，可等到 结构参数 和2321。但是，不是在供给

31、方程中加入税收 ，而是在需求方程中再加入新的外生变量，如金tT融资产 ，那么供给方程就会多增加一个外生信息来源的选择，而需求方程仍没有外生信tF息来源可利用。可见，联立方程模型的结构式的某方程的参数可识别与其它方程引入的外生变量和本方程的内生变量的个数有一定关系。一般，识别问题的提法如下：定义：设联立方程结构式为 ，如果能从联立方程模型的简约式0YZU的估计 中得到结构式的参数 和 的估计 和 ，则称联立方程模型是可YZV 识别的，否则称为不可识别的。又如果可识别的结构参数存在唯一的取值，就称模型是恰好识别的，否则称为过度识别的。注：模型不可识别，指的是联立方程中有某一方程无法从简约式得出该方

32、程的所有结构参数，如例中的需求方程。过度识别则是得到的结构参数值不唯一。这就意味着，过度识别的模型有一个取优的问题。如前述的 GMM 方法。第四章 联立方程模型14现在，为要使联立方程模型可识别，当且仅当每个结构方程可识别，无妨考察第一个结构方程可识别的必要条件。从 的结构式 ，把第一个结构方程形式的写为：Y0UZP。这里 是 1 的， 是方程中内11111 X (1)Y1G生变量的个数， 是 1 的， 是方程中外生变量的个数。又记 ； ()M1KM又从 的简约式 得到 的关系式为 ， 。这YZV1Y11VZ0ZE里 是已选择好的 个所有外生变量作为工具变量。Z又定义 选择矩阵 ，它由 0 和

33、 1 两元素构成，使得： 成立。所11S1S以， 。对第一个结构方程作为单方程是可识别的，由 条(1)()()(),XYZ IV件：秩 ， 。 1EZK1EV1()EZX1(,)Z，由秩 ， 秩 。即()1,S ()MKs1KMG是列满秩的 矩阵。 ，于是得到：1(,s11G1定理 1：可识别的阶条件（必要条件）第 i 个结构方程中，不包含在方程 中的外生变量的个数 必须大于等于方程右i i边内生变量的个数 ， 。iG1接下来讨论充分条件。可识别的阶条件并不充分，可以举出满足阶条件，但不可识别的例子。问题的提法是，什么条件下能从 的简约式能回到结构式？我们先看结构式与简约式的关系：Y结构式 ，

34、 是 1G 的向量误差项， 是 GG 矩阵，0ZUg1 是 MG 矩阵。假定： 非奇异， 。那么，可解得：()EU。VZPY11这里 ，V ，又令 。如果 ，10VZE且秩 ，那么由 SOLS 方法和随机抽样，可以得 和 的一致估计。问题是，()EZM 从 和 能否回到结构参数矩阵 ， 和 ？条件显然不够。因为结构式乘上任意非奇异 GG 矩阵 ，得 ，即 。它与原结构方F0YZFU*0YZU程 它们是同解方程，有等同的简约式。由 的任意性，此意味着有0YZUF个参数是自由的，又由于非奇异限制，加上误差项方差阵 的有关信息， 个限制还2G 2G第四章 联立方程模型15可以减弱。于是，必须对模型中

35、 ， 和 有所限制，一般归结为以下四种：1归一化约束：（normalization restriction），即 。限制第 个0iiiUZY11 0iiGiiMiYZU i结构式系数 。将 移到右边，与 相对应。称为是归一化ii iiii的约束。这共有 G 个约束条件，是一个自然约束。2同方程参数线性约束（homogeneous liner restriction）令 是一个（G+M）1 的向量结构参数，且 满足归一化约束条件，从而ii i有 GM1 个未定参数，假定关于 的先验知识可以写成线性约束的形式：i i， 。 是 （GM）的已知矩阵， 是关于 的约束数，并0iRi iRiJiJi假定

36、秩 。iiJ例：一个三方程的联立系统：G3 和 M4。设第一个结构方程为：。那么： ，121312131YZZU1321,， 。如果设定一个常数项，那么 ，又假定4,Z对 的约束有： 和 ，那么 2,且1012143iJ，从而 为满足对 的 30iR 03,143121 R1同方程线性约束条件。现在令 是（GM）G 矩阵，则 就是 的第 列，又记 ，BiBi1GFf。则 的第 i 列 就是 。限制 。FiiBf0iiR0iiii fBRf这是齐次线性方程组。例如，对第一个结构式方程，如果 可识别，意味 的参11数是确定的。因此，齐次方程组 只有唯一的基础解系 。又由01f 0,e于 有 列，从

37、而加在 上的限制 使得 可识别的充分必要条件是秩BR1GBR1。定理 2：（可识别的秩条件）满足归一化条件的结构方程 i 的参数 是可识别的，当且仅当加在 上的同方程ii第四章 联立方程模型16线性约束 满足秩 。0iR1iRBG因为 有 G 列，且秩 （列满秩，否则设定 的某列参数无意义） 。所以，我们BB必有秩 ，设秩 ，于是，我们得到另一种表述的阶条件。1i iiJ定理 3：（可识别的阶条件）联立方程第 i 个结构式可识别的阶条件是，加在第 i 个结构式上参数的约束个数 必iJ须大于等于 G1.从而 ，则第 i 个结构式是不可识别的， ，则第 i 个结构式是过度1iJ 1iJG识别的。例

38、：（满足阶条件但不满足秩条件，不可识别的例） 13113121 UZyy22Z3132343y其中 （为截距项） ， ， 且 。0,12,gEU3G4M对第一个结构方程，按归一化约束，设 和 ， ，方程右边的内0121生变量有两个，但不含的外生变量也有 2 个， 第一个结构方程满足阶条件。再检查秩条件。 的限制条件是 和 ，于(1)1314, 12014是， 001R34214BR又从第二个结构式知： ， 。224， 秩 ，不满足秩条件 。 3410B112G故第一个结构方程不可识别。又第 2 个结构方程可识别的条件为 或 ， 或013133Z作为 的工具变量。第 3 个结构式不含内生变量是自

39、然可识别的。3y13 跨方程的参数约束（Cross equation restriction）前述讨论结构参数的约束都在同方程中，毫无疑问，如果结构参数的约束是跨方程的，也将为可识别问题提供帮助。我们不一般讨论跨方程的约束的问题，因为太复杂。这里只是通过举例说明：（1）13121121 UZZy第四章 联立方程模型17（2）221212 UZy满足 、 、 与 、 不相关， 可以是常数项，无任何其它先验信息。则第一结1Z31构式是不可识别的，且第二个结构式当且仅当 是恰好可识别的。03现在考虑一个跨方程的约束条件：假定 。意味着解释变量对因变量 和121y的解释作用是等同的。于是由（2） ，

40、作为 的工具变量，用 2SLS，可得到 ，再y 3Zy2对 ；用 作为 的工具变量，只要eroyZ112121 2y用 2SLS，可得到 ， ， ，且估计是一致的。从而（1）可以识别。但2023是，用这种单方程方法得到的协方差估计 和 ， ， 标准差估计 ，cvi21312()se， ，由于初始估计 的影响，可能不是渐近有效的，这会影响到检验。解1()se13()2决的办法是：把跨方程约束 代入，将原联立方程改写成如下形式：1， 2112312100UZyZy2113212 ，参数 不再在方程中出现。选择工具矩阵 ，2 321321200ZZI即用所有的外生变量作为每一个方程的工具变量，采用联

41、立方程的 GMM 方法或 3SLS 方法可得一致、有效的估计。4、协方差约束（Covarionance Restriction）联立方程中误差项之间的有关信息也能为系统识别提供帮助，请看两例：例 1： （1）131121UZy（2）2322如果 ，则（1）是恰好可识别的， （2）是不可识别的。现在假定对误差项 、02 1U有协方差限制： ,设 ，则从限制知 是对角U),cov(21U1()0E)(UE矩阵。由于（1）可识别，从而可得到 ， ， 的一致估计，并由此可得到 的一致1213 1估计 。由已知 与 不相关，且 与 必定偏相关，因此我们可以用 ，12YZ， ， 作为 的工具变量估计（2）

42、 。所以（2）也是可识别的。我们可以用 2 个2Z3Uy第四章 联立方程模型18来完成估计。2SL步骤：1。用 ， ， 为 的工具变量对（1）做 ，并得到残差 ；1Z232y2SL1U2用 ， ， ， 为 的工具变量对（2）做 。U但是做检验，还要保证估计协差阵的一致性和 渐近正态性。因为 是一个广义工具N1变量，涉及到非线性的问题，需要加强条件。 （请参阅伍书 P194195）例 2：完全迭代（递归）的系统模型（fully recursive system）(1)11UZy(2)22(G)21211 UZyy GGyG 系统中，如果限制假定 ， 。那么，从（1）开始做 OLS，得到 ；cov(,)0ghUhg1y代入到（2）,满足 OLS1 和 OLS2 的条件， （2）再做 OLS，得到 ；如此下去，可得到迭代2y系统是可识别的，且估计是一致的。但是，OLS 方法得到的估计有效性较差，特别是方程个数 G 很大。注：协方差约束常用在向量时间序列 的分析中，因为没有其他的外生变量加入到()SVAR中。SVAR最后举一个例：同时考虑已婚工作妇女的劳动供给条件，与工资方程一起建立联立结构模