1、第四章 常微分方程4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 )0()(yQxpdy2、齐次方程： f三、一阶线性方程及其推广1、 )()(xQyPdx2、 )1,0(四、全微分方程及其推广1、 yPxdyxyxP满 足,),(),(2、 yRPxQxRpQ)()(),(,0),(),( ， 使但 存 在（乙） 典型例题例 1、求 的通解。dxyxy2解： 10)( 222 xy令 ， 1,2udxuxy则 0)(dux1C，1|lnuxxyuceex,1例 2
2、 求微分方程 的通解4yxd解：此题不是一阶线性方程，但把 x 看作未知函数，y 看作自变量，所得微分方程是一阶线性方程341yyxd即 3)(,1)(yQyPCyde 4131例 3 设 的一个解，求此微分方程满足 的特解xpxy)(是 02lnxy解：将 代入微分方程求出 方程化为xe,ePx1)(ed先求出对应齐次方程 根据解的结构立刻可得非齐次方xexcyyed的 通 解0)1(程通解 ，再由 ，xxcey 21212ln,0 x得故所求解 21xe例 4 设 内满足以下条件在，其 中 )(),()( xgfgfF),xexxgf 2,0,)( 且（1）求 所满足的一阶微分方程（2）求
3、出 的表达式)(xF解：（1）由 )(2)()()()(22xFexgfgffx可知 所满足的一阶微分方程为 xexF24)(（2） xxxdcecd2422)(将 ，则10)()0( cgfF代 入 ， 可 知 xexF2)(例 5 求微分方程 的通解232(ydxy解：令 原方程化为,tan,tvxuyudv32secsec)ta(n化简为 1si(u再令 方 程 化 为则 ,dvzzdvsinsi ,sin1)(,i1 cvdzczcvzzdvsetancois2最后 Z 再返回 x,y,v 也返回 x,即可。例 6. 设 有连续函数，满足 求 的表达式()fx220()(,xftfdt
4、x()f解： ，左边对 求导.2200xftdtdt得 ，2()()()()fxfxf 即 2(0)ffx01xyd， , 由 , 则 ， 再由1dyxc 2ln1yc0xyc21xye可知0x22,xxe4.2 特殊的高阶微分方程（甲） 内容要点一、可降阶的高阶微分方程方程类型 解法及解的表达式)()(xfyn通解 nnnn CxxCdxfy 121)( 次,令 原 方 程则 ,p一阶方程，设其解为 ,)(xfp )(1xgp即 ，则原方程的通解为,1Cgy 2,Cdy),(yf令 的函数，则y看 作， 把把 的表达式代入原方程，dpxdpy y,得 一阶方程，),(1f设其解为 则原方程的
5、通解为),(,11Cygdxygp即 21),(二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程 （1）0)(yxqpy二阶非齐次线性方程 （2）)(f1、 若 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)(,21xy（ 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当C21,，也即 线性无关时，则方程的通解为)()(21为 常 数xy)(21xy与。2、 若 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 为对应的二阶齐次()yx )()(21xyC线性方程的通解（ 为独立的任意常数）则 是此二21,C12()阶非齐次线性方程的通
6、解。3、 设 分别是)(21xy与 与)()(1xfyqxpy的特解，则)(2fqp 是2的特解)(1xyxy三、二阶常系数齐次线性方程为常数qpqp,0特征方程 2特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当 特征方程有两个不同的实根,042qp 21,则方程的通解为 xxeCy21（2）当 特征方程有而重根 ，,2 21则方程的通解为 xey)(21（3）当 特征方程有共轭复根 ,042qpi则方程的通解为 )snco(21xCeyx四、二阶常系数非齐次线性方程方程 为 常 数其 中 qpfqpy,)(通解 12Cxy其中 为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以)(
7、)(21xy关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解 如何求？y我们根据 的形式，先确定特解 的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程)(xf y确定这些系数就得到特解 ,常见的 的形式和相对应地 的形式如下：)(xf y1、 , 其中 次多项式)(xpfnn为)(（1）若 0 不是特征根，则令 nnaxxaxRy 110其中 为待定系数。),21(ia（2）若 0 是特征方程的单根，则令 )(xRyn（3）若 0 是特征方程的重根，则令 22、 其中 次多项式， 为实常数xnepxf)(pn为)(（1）若 不是特征根，则令 xeRy（2）若 是特征方程单根，则令 n)(（3）若 是特
8、征方程的重根，则令xey23、 或xepxfnsi)(pfncos)(其中 次多项式， 皆为实常数为 ,（1）若 不是特征根，则令i()cs()sinxnyeRxTx其中 nnn axaxR110)(为待定系数,ia nnn bxxbxT110)(为待定系数,ib（2）若 是特征根，则令i sin)(cos)(xTxRxeyn五、欧拉方程其中 为常数称为 n 阶欧拉,01)1(1)( pyxpynnnn ),21(ip方程，令 代入方程，变为 t 是自变量，y 是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线te性微分方程典型例题：例 1 求 的通解)1ln()(xyx解：令 ,原方程化为py则,)l(
9、)(xx属于一阶线性方程1np 111)ln(Cdxexepdx)ln()l( 11x2lndxxy21)l(CC例 2 求下列微分方程的通解0)(2y解 令 ，原方程化为dyp则,12dyp12C1|lnl1yp21yCdx当 2211ln0CxC时 ，当 2111arcsiy时 ，例 3 求 的通解xey23解 先求相应齐次方程 的通解，其特征方程为03y2特征根为 ，因此齐次方程通解为： 1,321 xxeCY231设非齐次方程的特解为 为特征根，因此设 ,代入原方程可得 ，,由 于yAy21A故原方程的通解为 xxxeCey2131例 4 求方程 的通解ycos2特征根为 ，因此齐次方
10、程的通解为： ,1 xxeCY21设非齐次方程的特解为 ,由于题目中 不是特征根，因此设y i2,0，代入原方程可得xBAy2sinco xBAxAcossin)42(cos)4( 06解联立方程得 ，因此 10,3BA xy2sin1co3_故原方程的通解为： xeCyxx 02s12例 5 解 xy cos3sin2co解：令 u ，则 ，原方程xyxyuxyu cossinco,in变为 xe4解出 xeC512sico1xxCycoins21 122co1i()5se例 6 设函数 yy（x）在 内具有二阶导数，且 是 yy（x）的反, xy,0函数.（1） 试将 xx（y）所满足的微
11、分方程 变换为sin32dydyxyy（x）满足的微分方程；（2） 求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）0， 的解.2解 （1）由反函数导数公式知 即 .ydx11dx上式两端关于 x 求导，得 .02所以 。322ydy代入原微分方程得 （*）xsin（2）方程（*）所对应的齐次方程 的通解为： 0yxxeCY21设方程（*）的特解为： A + B ，_yxcosin代入方程（*）求得 A0，B ，故 ，从而 的通解是21_y21xsi xysin.xeCxyxxsi)(1由 ，得 ，3,0 1,21故所初值问题的解为： .xexyxsin)(例 7设 f（x）x ，其中 f（x）连续，
12、求 f（x）sindtf0)(解：由表达式可知 f（x）是可导的，两边对 x 求导，则得 xtff 0ico再对两边关于 x 求导，得 )(cos2sinxf即 属于常系数二阶非齐次线性方程.xff co2sin对应齐次方程通解 ，Cysi1非齐次方程特解设 代入方程求出系数 A,B,C,D 则xDxBAxsinco_ 得 ，故 f（x ）的一般表达式xysin43co12_xCf sic)( 21由条件和导数表达式可知 f（ 0）0， 可确定出0f 0,21C因此 xxf sin43co1)(2例 8 已知 ， ， 是某二阶线性非齐次常xey21 xeyxxey23系数微分方程的三个解，求此
13、微分方程及其通解.解：由线性微分方程的解的结构定理可得， ，xey31 xey21xeyy2131是该方程对应的齐次方程的解，由解 与 的形式，可得齐次方程为 .x2 02y设该方程为 ，代入 ，得 .)(2xfy xey1xef1所以，该方程为 ，x2其通解为 .xxeCe214.3 微分方程的应用一、微分方程在几何问题方面的应用例 1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与 y 轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。解：设曲线 yy（x）上任意一点 M（x，y） ，则其切线方程为 Yy ，故切线xX与 y 轴交点 A 的坐标为 ，由题意 所以 .这,0_AO222yx样， 1232xyx令 0,32xu解得 ，即 ，则223xy223y例 2 设函数 f（x）在 上连续，若曲线 yf（x） ，直线 x1，xt（t1 ）与 x 轴,1围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V（t） ，试求32fyf（x）所满足的微分方程，并求 的解.92xy解：由题意可知 t ftdxftV12213则 t ft3两边对 t 求导， tff22令 tx，f（t）f（x）y，得，322 xydxy32令 ，uuyx,这样， ，当13d时1,0两边积分后得 ，方程通解为xu13cxu，再由 ，可得 c-1yc392x31x
