1、2011届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试理科数学 2011.3.21一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 1,234,1,2,4()UUABCAB则 （ ）A B DC ,21D. 4,12已知函数 ()12fx，若 3(log0.8)af， 3()bf， 2()cf，则（ ）A abc B bcC aD acb3.下列命题不正确的是A 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C如果两条不同的直线在一平面内的射
2、影互相垂直，则这两条直线垂直；D如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4.函数xay(01)的图象的大致形状是 （ ）5. 设 A1、A 2 为椭圆 )0(12bayx的左右顶点，若在椭圆上存在异于 A1、A 2 的点 P，使得 02O，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e的取值范围是（ ）A、 )1,0( B、 ),( C、 )1,2( D、 )1,2(解： 则 而这方程有一个根为 则另一个概为,Pmn221()10amabbxaxxy1 1B.xy1 1A. xy1 1C. y1 1D.O O O O开始 1 ,0ks1k否输出 s结束 图
3、 1)(是220abe从另一个角度椭圆越扁则离心率越大才有可能典型的坐标系好题6 在直三棱柱 1ABC中， 2BAC， 1A. 已知与分别为1和 的中点，与分别为线段 和 B上的动点（不包括端点）. 若GDEF，则线段 的长度的取值范围为A. , 5 B. 1, 25 C. 1,2 D. 1, 25 解：建立空间直角坐标系。 12(,0)(,)(0,)(,)fDdEG由于 12021, 40DGEFfdFd7. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回 1 个白球，则第 4 次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324 B.0.0434 C.0.0528 D.0.05
4、62解： 要分步。989821212110000.43P8.任意 a、 Rb，定义运算 . ,abba，则 xef)(的A.最小值为 e B.最小值为 e1 C.最大值为 1 D.最大值为解： xf)( 此时为最小值()0xf二、填空题：本大题共 7小题，每小题 5分，满分 30分。本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答。9. 若框图（图 1）所给程序运行的结果 2019s，那么判断框中可以填入的关于 k的判断条件是_ _10. 已知定义域为 R的函数 ()fx满足2()4fxx， (1)(fxf4(2)x，若 1(),(
5、)2ftft成等差数列，则 t的值为 解： 4fx则 则得 得1x2()fxx,311.若对一切 R，复数 (cos)(2sinzaa的模不超过 2，则实数 a的取值范围为 . 解： 所以得到原心到原点的距离 即可22cos()()12inxaxyy 14112.设 O 点在 ABC内部，且有 ，则 ABC的面积与 O的面积230OAB的比为 . 13.记集合 6,5432,10T， 4,321,774321iTaaMi ，将 M 中的元素按从大到小顺序排列，则第 2005 个数是 . （2）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分14 （几何证明选讲
6、选做题）如图，半径为 2 的O 中， 90AB， D为 O的中点，AD的延长线交 O 于点 E，则线段 D的长为_.15 （坐标系与参数方程选做题）曲线 C 的极坐标方程 2cos，直角坐标系中的点 M的坐标为（0，2） ，P 为曲线 C 上任意一点，则 MP的最小值是 . 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题 12 分）已知 231sin2co3csin3 xxxxf （其中 0）的最小正周期为 .(1) 求 f的单调递增区间;ABE(2) 在 ABC中, cba分别是角 CBA,的对边,已知 ,1,2,1Afba求角 C.17.
7、（本小题满分 12 分）在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为 1,2,7） ，求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数 的分布列与期望.解：（2）甲、乙两选手不一定在 1 与 2 号的可以其它号只要捆扎一起 26!7(0)P即中间插入一个后把三个捆扎一起全排列即15!72()CP18.（本小题 14 分）如图 2,在四面体 ABO中, ,120,AOBC且 .1OCBA(1)设 P为 C的中点,证明:在 上存在一点 Q,使 P,并计算 Q的值;(2)求二面角 的平面角的余弦值. 26!
8、7(0)19.（本小题 14 分）在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 4(0,)1,(,0)3ABC，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB，AC 距离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过 ABC的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L的斜率 k 的取值范围。20.（本小题 14 分）已知 ,是方程 2410()xttR的两个不等实根，函数 2()1xtf的定义域为 。AP BCO图 2（）求 ()max()in()gtffx；（）证明：对于 0,1,23iu，若 123sinisin1,uu 1236(tan)(t)(tan)4g
9、gu则。21.（本小题 14 分）（I）已知数列 na满足 11,2na 1,23nL， nb满足 1，21nb,3L，求证： 11nkkkab。 （II) 已知数列 na满足：a 1=1 且 )2(32nn。设 mN ，m n 2，证明（a n+ 21） m（m-n+1 ） 2011届华附、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 D B C D D A B B二、填空题（每题 5 分，共 30 分）9 201k 102 或 3 11 5, 123 139240114 35 1
10、5. 51三、解答题:本大题共 6小题,满分 80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解:(1) 33sin1cos2212fxx162cos23sinxx1i2 分1,2,0TT3sinxf4 分故递增区间为 Zkk125, 6 分(2) 3sin2Af0i5233AQ平0即 6或又 ,BAba故 32舍去， 6A. 9 分由 sini得 ,i4B或 3,若 4,则 127C.若 3B,则 . 12 分注意：没有说明 “ 533AQ“扣两分17.解：(1)设 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数” ，则 A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得7
11、6123CAP.4 分(2)的可能取值为 5,4321,0,5 分,762CP,217CP ,2147CP ,1327,427 .5278 分从而 的分布列为0 1 2 3 4 5P725142110 分所以, 3521421321570 E . 12 分18.解法一:（1）在平面 OAB内作 NA交 B于 ，连接 NC.1 分又 C， C平 面N平 面 ，。取 Q为 A的中点，则 NPQ/PO 4 分在等腰 B中， 120，3A在 ONRt中， 0， 2ONAQ4 分在 B中， 1293B，.AQ 5 分3ABQ8 分（2）连接 PNO，由 C， B知： COAB平 面 .又 A平， N又由
12、 N， 平 面 .又 OC平, 又 P是 的中点, A,N平, P平,COP为二面角 ACB的平面角 10 分在等腰 Rt中， 1O， 2在 ANt中， 3tan0A，在 PORt中, 26PON. 12 分15cos306N14 分解法二：在平面 AOB中,过点 ,作 OAN交 B于 ,取 为坐标原点，分别以O， , C所在的直线为 x轴， y轴, z轴，建立空 N间直角坐标系 Oxyz （如图所示） 1 分则 13(1,0)(,)(,0)2ACBP为 中点， ,P2 分设 (0,1)Q 3(,0)2A.131(,).22PQO,A0即 0， 3. 6 分所以存在点 13(,)26 使得 P
13、QOA 且 B. 8 分（2）记平面 ABC的法向量为 123(,)n,则由 nC， AB，且 (1,0)C，得1320n， 故可取 （ ,） 10 分又平面 OAC的法向量为 (0,1)e. 11 分(1,3)3cos55ne. 13 分二面角 ACB的平面角是锐角，记为 ，则 15cos14 分19.解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为 44(1),(1),033yxyxy。点(,)Pxy到 AB、AC 、BC 的距离依次为 123|55ddd 。依设， 222213,|6(34)|dxyy得 ，即3,(,0),2A222216(34)50,16(34)50xyxy或 ，化简得点
14、P 的轨迹方程为圆 S： 178y与 双 曲 线 T:85 分（）由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S： 2320xy 与双曲线 T： 178y8ABC的内心 D 也是适合题设条件的点，其实只要 代入由 123d，解得0x(0,)2，且知它在圆 S 上。直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为1ykx（i）当 k=0 时， L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 12y平行于 x 轴，表明L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。8 分（ii）当 0k时，L 与圆 S 有两个不同的
15、交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率 12k，直线 L 的方程为(2)xy。代入方程得 (34)0y，解得 54(,)3E或 F(-,)。表明直线 BD与曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 1k时， L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 11 分情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即 1k） ，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组28780xyk有且只有一组实数解，消去 y 并化简得 25(817)04kx该方程有唯一实数解的充要条件是 2或 225(5)4()0kk解方程得 317，解方程得 2k。
