1、 追求卓越成绩，创造美好未来！1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（文史类） 2011.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1、已知全集 ，集合 ， ，则 =UR|21xA1|0Bx()UABIC（A） （ B） （C） （D）|1x|0|1x|2、设 ，那么“ ”是“ ”的 ,xyR0yx1yx（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件3、已知 ， ，则 = 3cos50tan()4（A） （B）-1 （C） （D）1774、双曲线 的焦点到渐近线的距离为21
2、69xy（A）2 （B）3 （C）4 （D）55、三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为 2 的等边三角形.若三棱柱 的正视图(如图所示)的面积为 8，则侧视图的面积为（A） 8 （B） 4 （C） （D）4336 连续抛两枚骰子分别得到的点数是 ， ，则向量 与向量ab(, )ab垂直的概率是(1,)（A）52（B）16（C） 13（D）127、已知函数 ，则 ， ， 的大小关系是2()cosfxx(0.5)f(f0.6)f（A） （B） 0.5.5(.(0)ff正视图 1 1追求卓越成绩，创造美好未来！2（C） （D）(0).6)(0.5)ff(0.5)(0.6)ff8、已知点 是 的中位
3、线 上任意一点，且 . 设 ， ，PABEF/EFBCAPBC， 的面积分别为 ， ， ， ， 记 ，S123S1S， ，定义 当 取最大值时，则 等2S3 123(), )MP23 ()M于（A） （B） （C） （D）1(,)24(,)41(,)1(,)2第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9、设 为虚数单位，复数 满足 ，则 . izi1z10、已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，若 ，则实数ab0|3a|2b(2)ma+b的值为 .m11、如图，一艘船上午 8：00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东
4、30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 8：30 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且与它相距 n mile，则此42船的航行速度是 n mile/h. 12、右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .13、某射击运动员在一组射击训练中共射击 5 次，成绩统计如下表：开始 1n0S10?n输出 S2nS结束是否7530ASB北追求卓越成绩，创造美好未来！3环数 8 9 10次 数 2 2 1则这 5 次射击的平均环数为 ；5 次射击环数的方差为 .14、已知区域 ： 则 的最小值是 ；D,20,1.yx 2xy若圆 C： 与区域 有公共点，则实数 的取值范围是 .22(
5、)()ayDa三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15、 （本小题满分 13 分）已知函数 .2()2sincosin1fxx（）求函数 的最小正周期及值域；（）求 的单调递增区间.()fx16、 （本小题满分 13 分）设 是一个公差为 的等差数列， ， ， 成等比数列.na21a24（）求数列 的通项公式 ；n（）数列 满足 ，求 （用含 的式子表示）.nban12nb17、 （本小题满分 13 分）在长方形 中， ， ， 分别是 ， 的中点（如左图）.将1AB14AC1AB1此长方形沿 对折，使平面 平面 （如右图） ，已知 ， 分别是C
6、DE， 的中点 .11（）求证： 平面 ；D1ABE追求卓越成绩，创造美好未来！4（）求证：平面 平面 ； 1ABE1B（）求三棱锥 的体积.C18、 （本小题满分 13 分）已知函数 ， .()xfeaR（）求函数 的单调区间；（）当 时，都有 成立，求实数 a的取值范围.0,)x()0fx19、 （本小题满分 14 分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 .2:1 (0)xyCab(2, 1)A2（）求椭圆 的方程；（）过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，设直线 和直线 的(3, 0)lCMNAN斜率分别为 和 ，求证： 为定值AMkNANkC1BACAAA1 B12ABACAADAEA
7、A1B12AC1追求卓越成绩，创造美好未来！520、 （本小题满分 14 分）对于整数 ，存在唯一一对整数 和 ，使得 ， . 特别地，, abqrabqr0|b当 时，称 能整除 ，记作 ，已知 .0r|ba1, 23, A（）存在 ，使得 ，试求 ， 的值；qA2019r(09) r（）若 ， （ 指集合 B 中的元素的个数） ，且存在B)(cardcd， ， ，则称 B 为“谐和集”.请写出一个含有元素 7 的“谐和集”,abb和一个含有元素 8 的非“谐和集” ，并求最大的 ，使含 的集合 有0 CmAA12 个元素的任意子集为“谐和集” ，并说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练
8、习数学测试题答案（文史类） 2011.5一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案C B D B C B A A二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案 1i2316 35 8.8 0.56 4 2,5三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15） （本小题满分 13 分）解：（） ， 4 分()sin2cos2in()4fxxx则函数 的最小正周期是 . 6 分函数 的值域是 .
9、8 分()fx,（）依题意得 . 10 分224kxk Z追求卓越成绩，创造美好未来！6则 . 12 分388kxk Z即 的单调递增区间是 . 13 分()f 3, 8kZ（16） （本小题满分 13 分）解：（）由 ， ， 成等比数列得： . 2 分1a24 211()(6)a解得 . 4 分数列 的通项公式是 = . 6 分nn()N（） = . 8 分2b4()则 = 10 分12n 12.n= = . 13 分()24(1)N（17） （本小题满分 13 分）证明：（）取 的中点 ，连接 ， . 1 分1ABFDEF因为 ， 分别是 ， 的中点D1所以 是 的中位线. 2 分所以 ，
10、且 .1C11BC又因为 是 的中点，E所以 .112所以 ，且 .DF1E所以四边形 是平行四边形. 3 分1C所以 .E又 平面 ， 平面 ， 4 分AB1D1AB所以 平面 . 5 分1（）因为 ， ，且 ，1C1C11C所以 平面 . 因为 ，所以 平面 . BBAF BACAA DAEAA1 B12AC1追求卓越成绩，创造美好未来！7因为 平面 ，所以 . 6 分1CD1AB1CD又因为 ，且 是 的中点， 所以 . 7 分11AB因为 ，所以 平面 . 8 分由（）知 ，EF1所以 平面 .又因为 平面 ，AB所以平面 平面 . 10 分11解：（）由已知，长方形 沿 对折后 ，
11、.1C2ABC所以 .22C所以 ，且 ， .BA所以 平面 .1即 平面 . 11 分E所以 . 12 分1113CABCAECVSB其中 .1 22ES所以 . 13 分111 23CABECAEC（18） （本小题满分 13 分）解：（） ()fx的定义域是 ,， ()xfea. 2 分（1）当 时， 成立， 的单调增区间为 ,； 3 分0a ()0fx（2）当 时，令 ()fx，得 lna，则 ()fx的单调增区间是 ln,a. 4 分令 0,得 ，则 的单调减区间是 . 5 分综上所述，当 时， )(xf的单调增区间为 ,；当 时， ()fx的单调 0a减区间是 ,lna， 的单调增
12、区间是 lna. 6 分（）当 0x时， 成立， R. 7 分()10fx当 ,时， 成立，exa即 0,x时， 成立.追求卓越成绩，创造美好未来！8设 ， 9 分e()xg所以 = . 10 分2()x 2(1)ex当 时， ，函数 在 上为减函数； 11 分x0, 1()0g()g0,1时， ，函数 在 上为增函数. 12 分xx则 在 处取得最小值， . 则 .()gx1()ea综上所述， 0,时， 成立的 的范围是 . 13 分0fx (,e（19） （本小题满分 14 分）解：（）由题意得 2 分2241,.abc解得 ， 4 分6a3b故椭圆 的方程为 5 分C21xy（）由题意可
13、设直线 方程为 ，l(3)kx由 得 . 7 分2(3),16ykx222()1860k因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ，lC,MN所以 ，解得 8 分4221()186)4(1)0kkk1k设 的坐标分别为 ，,MN2,(,xy则 ， ， 10 分212kx122k追求卓越成绩，创造美好未来！9， 1(3)ykx2(3)ykx所以 12 分AMN1212211(3)(3)(2kxkx1221(5)4xx2222(86)()(1)4kkk24k所以 为定值 14 分AMNk20 （本小题满分 14 分）（）解：因为 ，所以 . 2 分2019qr2019又因为 ，所以 . 4 分A, （）含
14、有元素 7 的一个“和谐集” .5 分0,345,67 8,910, B含有元素 8 的一个非“和谐集” .7 分891223C当 时，记 ， ，m|, 2, Mi()|, 4Ni记 ，则 . PN)(Pcard显然对任意 ，不存在 ，使得 成立. 故 是非“和16ij 3n 7()jniP谐集” ，此时 . 8, 90, 12, 4, 51, 92,3同理，当 时，存在含 的集合 的有 12 个元素的子集为非“和谐mmA集”.因此 . 10 分7下面证明：含 7 的任意集合 的有 12 个元素的子集为“和谐集”.A追求卓越成绩，创造美好未来！10设 ，若 1，14，21 中之一为集合 的元素，显然为“和谐集”121, ,7Ba B.现考虑 1，14，21 都不属于集合 ，构造集合 ，B12, 486，23, 6B， ， ， .12 分5049, 185, 3, 57, 1923以上 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 的情况，也即5321,BB中 5 个元素全都是 的元素， 中剩下 6 个元素必须从 这 5 个集合中B 4321,选取 6 个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合 中至少有两个元素存在倍数关系.综上，含 7 的任意集合 的有 12 个元素的子集 为“和谐集” ，即 的最大值为 7. ABm14 分
