1、2.8 函数的图象及其变换 基础知识 自主学习 1.作图(1)利用描点法作图：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质( 、 、)；画出函数的图象.(2)利用基本函数图象的变换作图：平移变换：函数y=f（x+a）（a0）的图象可以由y=f（x）的图象向左（a0）或向右(a0)平移 个单位而得到；,奇偶性,单调性,周期性,|a|,函数y=f（x）+b（b0）的图象可以由y=f（x）的图 象向上（b0）或向下（b0，且A1）的图象可由y=f（x） 的图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（00，且1）的图象可由y=f（x） 的图象上各点的横坐标缩短（1）或伸长（01） 到原来的 倍，纵坐标不
2、变而得到.,|b|,A,对称变换： 函数y=-f（x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到； 函数y=f（-x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到； 函数y=-f（-x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到； 函数y=f-1（x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到；,x轴,y轴,原点,直线y=x,函数y=|f（x）|的图象可通过作函数y=f（x）的图 象，然后把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分保持不变而得到； 函数y=f（|x|）的图象是：函数y=f（x）在y轴右侧 的部分
3、及其该部分关于y轴对称的部分.,2.基本初等函数及图象（大致图象）,1.直线 的图象可能是 （ ）解析 a0，C不可能. 当a0时，排除D.,B,基础自测,2.（2009全国）函数 的图象 （ ）A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称解析 -2x2,函数关于原点对称.f(x)是奇函数，故选A.,A,3.函数y=|log2x|的图象是 （ ）,解析,A,4.将函数y=3x的图象 再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log3(x+1)的图象 （ ）A.先向左平行移动1个单位B.先向右平行移动1个单位C.先向上平行移动1个单位D.先向下平行移动1个单位
4、解析 采用逆向思维.函数y=log3(x+1)的反函数为y=3x-1.而y=3x-1是由y=3x的图象向下平行移动1个单位得到的，故选D.,D,5.下列函数图象中，正确的是 （ ）,解析 对A、B，由y=x+a知a1，可知A、B图象 不正确； D中由y=x+a知0a1,y=logax应为减函数，D错， 故选C. 答案 C,题型分类 深度剖析 题型一 根据解析式作图 【例1】 作出下列函数的图象.,首先将简单的复合函数化归为基本初 等函数，然后由基本初等函数图象变换得到.,思维启迪,解 作出 的图象，将 的图象向右平移一 个单位，再向上平移2个单位得 的图象. （3）作出 的图象，保留 图象中
5、x0的部分，加上 的图象中x0的部分关于 y轴的对称部分，即得 的图象.其图象依次 如下：,（1）若函数解析式中含绝对值，可先 通过讨论去绝对值，再分段作图. （2）利用图象变换作图.,探究提高,知能迁移1 作出下列各个函数的图象：解 （1）由函数y=2x的图象关于x轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x的图象.如图甲.（2）由 的图象关于y轴对称，可得的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到 然后把x轴下方的部,分翻折到x轴上方，可得到 的图象.如图乙. （3） 先作出 的图象，如图丙中的虚线部分，然 后将图象向左平移1个单位，向上平移2个单位，即 得到所求
6、图象.如图丙所示的实线部分.,题型二 识图 【例2】函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是（ ）,注意从f(x),g(x)的奇偶性、单调性等 方面寻找f(x)g(x)的图象特征. 解析 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、 奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B. 又x0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函 数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正 负，注意到 必等于0， 排除C、D.或注意到x0-(从小于0趋向于0),f(x) g(x)+,也可排除C、D. 答案 A 要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、
7、零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合 题目特点作出合理取舍.,思维启迪,探究提高,知能迁移2 （2009安徽）设ab时，y0,xb时，y0.故选C.,C,题型三 函数图象的应用 【例3】（13分）设a1,函数f(x)=ax+1-2.(1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)若f-1(x)在0,1上的最大值与最小值互为相反数,求a的值;(3)若f-1(x)的图象不经过第二象限,求a的取值范围.关键是(3)的充要条件,f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上.,思维启迪,解题示范 解 (1)因为ax+10, 所以f(x)的值域是y|y-2. 2分 设y=ax+1-2,解得x=l
8、oga(y+2)-1. 所以f(x)的反函数为 f-1(x)=loga(x+2)-1,x-2. 4分 (2)当a1时,函数f-1(x)=loga(x+2)-1是(-2,+)上 的增函数,所以f-1(0)+f-1(1)=0, 即(loga2-1)+(loga3-1)=0,解得a= . 8分 (3)当a1时,函数f-1(x)是(-2,+)上的增函数, 且经过定点(-1,-1).,所以f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是 f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上. 11分 令loga(x+2)-1=0,解得x=a-2, 由a-20,解得a2. 13分求反函数时必须先求原函数的值域,
9、 (3)的充要条件学生不易想到.,探究提高,知能迁移3 设函数 的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).（1）求g(x)的解析式；（2）若直线y=m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标.解 (1)设点P（x,y）是C2上的任意一点，则P（x,y）关于点A（2,1）对称的点为P(4-x,2-y)，代入 可得,消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0, =(m+6)2-4(4m+9), 直线y=m与C2只有一个交点， =0，解得m=0或m=4. 当m=0时，经检验合理，交点为（3，0）； 当m=4时，经检验合理，交点为（5，4）.,思想方法 感悟提高 方法
10、与技巧 1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状:(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性、凸凹性等等；（2）可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；（3）可通过方程的同解变形，如作函数 的图象.,2.合理处理识图题与用图题.（1）识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.（2）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视
11、数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况.,失误与防范 1.作图要准确、要抓住关键点. 2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用.,定时检测 一、选择题 1.（2008全国）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）,解析 汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽 车匀速行驶时,速度保持不变,体现在s与t的函数图 象上是一条直线.减速行驶时,速度变化越来越慢, 但路程仍是增加的,故选A. 答案 A,2.(2009北京)为了得到函数 的图象，只需把函
12、数y=lg x的图象上所有的点( )A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 将y=lg x的图象上的点向左平移3个单位长度得到y=lg(x+3)图象，再将y=lg(x+3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y=lg(x+3)-1的图象.,C,3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只
13、可能是( ),解析 由题意知液体是匀速漏入圆柱形桶中，随 时间增大，H的增速越来越快，故选B. 答案 B,4.在函数y=|x|(x-1,1)的图象上有一点P（t,|t|），此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 （ ）,解析 当t-1,0时，S增速越来越平缓，当 t0,1时，增速越来越快，故选B. 答案 B,5.函数y=2|x|的定义域为a,b,值域为1,16，当a变动时，函数b=g(a)的图象可以是 （ ）,解析 由图象知b=4, -4a0，故b=g(a), 即为b=4(-4a0)，图象为B. 答案 B,6.函数y=f(x)的图象如
14、下图所示，则函数 的图象大致是( ),解析 的图象在(0,1上 递增，在1,2)上递减（同增异减）.故选C. 答案 C,二、填空题 7.f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，则a= .解析 y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个不同的交点.如图所示，当a=4时满足条件.,4,8.已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)=x,且在-1,3内，关于x的方程f(x)=kx+k+1(kR,k-1)有四个根，则k的取值范围是 .解析 由题意作出f(x)在-1,3上的示意图如下：记y=k(x+1)+1,y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0)，
15、由图象知，方程有四个根，即函数y=f(x)与y=kx+k+1有四个交点，故kABk0.,9.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是 .解析 作出函数y=log2(-x)及y=x+1的图象.其中y=log2(-x)与y=log2x的图象关于y轴对称，观察图象知（如图所示），-1x0，即x(-1,0).也可把原不等式化为,（-1，0）,三、解答题 10.已知g(x)=x(2-x)(0x1)，g(1)=0，若函数y=f(x)(xR)是以2为周期的奇函数，且在0，1上f(x)=g(x)，作出函数y=f(x)(-2x2)的图象并求其表达式.解 x0,1)时，f(x)=g(x)=x(2-x);f(x
16、)为奇函数，当x=1时，f(1)=g(1)=0,f(-1)=0=f(1),若x(-1,0，则-x0,1),g(-x)=-x(2+x),又f(-x)=g(-x)且f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x(2+x),f(x)=x(2+x);,将x(-1,0上的图象右移2个单位得到(1,2 上的图象， f(x)=f(x-2)=x(x-2), 将x0,1)上的图象左移2个单位得到x-2,-1) 上的图象， f(x)=f(x+2)=-x(x+2),11.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3x3).（1）证明：f(x)是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个
17、单调区间上f(x)是增函数还是减函数；（4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.,（2）解 当x0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.,（3）解 函数f(x)的单调区间为-3，-1）， -1，0），0，1），1，3.f（x）在区 间-3，-1），0，1）上为减函数， 在-1，0），1，3上为增函数. （4）解 当x0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值 为-2,最大值为f(3)=2; 当x0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2, 最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为-2，2.,12.已知函数的反函数的图象如图所示，求a、b的值并写出f-1(x)的解析式.解 由图象知f-1(x)的图象过点（0，6）.所以f(x)的图象必过点（6，0），,解得a=6或a=0（舍去）.所以 又由图象知f-1(x)的值域为y|y-2. 即函数f(x)的定义域为x|x-2,返回,
