1、要点梳理 1.对数的概念 （1）对数的定义如果ax=N(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中_叫做对数的底数,_叫做真数.,2.7 对数与对数函数,基础知识 自主学习,a,N,x=logaN,（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 =_;logaaN=_(a0且a1).,e,ln N,lg N,logaN,10,N,N,（2）对数的重要公式换底公式: (a,b均大于零且不等于1)； 推广logablogbclogcd=_.,logad,(3)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)=_; =_;logaMn= _(nR);,log
2、aM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,3.对数函数的图象与性质,R,(0,+),(1,0),y0,y0,y0,y0,1,0,增函数,减函数,4.反函数指数函数y=ax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,基础自测 1.（2009湖南）若log2a1,b0 B.a1,b0 D.0a1,b0解析 log2a0=log21,0a1. b0.,D,2.已知log7log3(log2x)=0，那么 等于 （ ）A. B. C. D. 解析 由条件知log3(log2x)=1,log2x=3,x=8,C,3.若a=0.32,b=log20.3,c=2
3、0.3,则a,b,c的大小关系是（ ）A.abc B.acb C.bca D.bac解析 a=0.32(0,1),b=log20.30,c=20.3(1,+),bac.,D,4.设a1，函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 则a等于 （ ）A. B.2 C. D.4解析 根据已知条件loga2a-logaa= 整理得：loga2 = 则 即a=4.,D,5.函数 的定义域是_.解析 要使 有意义需使 03x-21,即 x1, 的定义域为,题型一 对数的化简与求值 【例1】(1)化简: (2)化简: (3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.(1)、（
4、2）为化简题目，可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式来求a2m+n的值.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 (1)原式=(2)(3)方法一 loga2=m,am=2. loga3=n,an=3. 故a2m+n=(am)2an=43=12. 方法二 loga2=m,loga3=n,（1）在对数运算中,先利用幂的运算把 底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂 的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在 运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的 恒等变形是对数计算、化简、证明常用
5、的技巧.,探究提高,知能迁移1 (1)化简(log43+log83)(log32+log92)=_.解析,(2)已知3a=5b=A,且 则A的值是 （ ）A.15 B. C. D.225解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, =logA3+logA5=logA15=2,A2=15,A= 或A= （舍）.,B,题型二 比较大小 【例2】(2009全国)设a=log2,则 （ ）A.abc B.acb C.bac D.bca(1)引入中间量如“1”或“ ”比较.(2)利用对数函数的图象及单调性.解析 a=log21,ab,ac.bc,abc.,思维启迪,A,探究提高 比较对数式的大
6、小，或证明等式问题是 对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,当底 数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;若底 数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式） 或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底， 不同真数，则可利用中间量进行比较.,知能迁移2 比较下列各组数的大小.(1) (2)log1.10.7与log1.20.7;(3)已知 比较2b,2a,2c的大小关系.解 （1） log51=0,(2)方法一 0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函数，2b2a2c.,题型三 对数函数的性质 【例3】 已知函数f(x)=logax (
7、a0,a1)，如果对于任意x3，+)都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.当x3，+)时，必有|f(x)|1成立,可以理解为函数|f(x)|在区间3，+)上的最小值不小于1.解 当a1时，对于任意x3，+),都有f(x)0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+)上为增函数，对于任意x3，+),有f(x)loga3.,思维启迪,因此,要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立. 只要loga31=logaa即可，1a3. 当0a1时，对于x3，+),有f(x)0, |f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+)上为减函数， -f（x）在3，+)上为增函数.
8、 对于任意x3，+)都有 |f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立, 只要-loga31成立即可，,综上,使|f(x)|1对任意x3，+)都成立的a的 取值范围是(1，3 ，1). 本题属于函数恒成立问题，即在x 3，+)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成 立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值 问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的 底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.,探究提高,知能迁移3 (1)设f(x)= 是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是 （ ）A.(-1,0) B.(0,1)C.(-,0) D.(-,0)
9、(1,+)解析 f（x）为奇函数，f（0）=0.解之，得a=-1.f(x)= 令f(x)0，则x(-1，0).,A,(2)已知f(x)=loga(3-a)x-a是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是 （ ）A.(0,1) B.(1,3)C.(0,1)(1,3) D.(3,+)解析 记u=(3-a)x-a,当13时，y=logau在其定义域内为增函数，而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求.当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意.故选B.,B,题型四 对数函数的综合应用 【例4】 (12分)已知过原点O的一条直线与函数y=
10、log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明三点在同一条直线上只需证明kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2,代入解析式即可求解.,思维启迪,（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2, 由题设知x11,x21, 则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2. 因为A、B在过点O的直线上， 所以 点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于log2x1= =3log8x1,log2x2=3log8x2,
11、OC的斜率为k1=,解题示范,2分,4分,（2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2， 即得 代入x2log8x1=x1log8x2,得 由于x11,知log8x10,故 又因x11,解得x1= ,于是点A的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法,突 出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体 现了数形结合的思想.,探究提高,OD的斜率为k2= 由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.,6分,8分,12分,知能迁移4 已知函数 是奇函数(a0,a1）.(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明.解 （1）f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，1-m2x2=1-x2恒成立，m=-1或m=1（舍去），m=-1.,（2）由（1）得 (a0,a1),任取x1,x2(1,+).设x11,x21,x10,x2-10,x2-x10.,
