1、第六章,鞅和鞅表示,鞅理论根据时间序列的趋势对时间序列进行分类。如果随机轨道没有明显的趋势或周期，那么这个随机过程具有鞅的行为。 平均而言，具有递增趋势的过程，被称为下鞅；具有递减趋势的过程被称为上鞅。,记号,假设我们能观察到以时间t为指标的一簇随机变量，时间连续，用St,t0,表示能观察到的过程。用It,t0,表示决策者能连续获得的一簇信息集合。当stT时，满足： Is It IT 称It,t0,为滤子。,定义选择序列ti，使得 0=t0t1tk-1tk=T 表示连续时间区间0,T上的各个时期。符号t0表示初始时刻，tk是T的一种新表示。当k时， (ti-ti-1)0,区间可以分成更细的部分
2、。 考虑有限时间区间0,T上的随机价格过程。在某个特殊时刻ti，价格过程的取值为 。如果对每一个t0,St的取值都包含在It中，那么称St,t0,和It,t0,相适应。,连续时间鞅,使用不同的信息集合可以得到过程St不同的预测值，可以用条件期望来表示这些预测值。特别的， EtST=EtST|IT,tT 是St将来值的预测结果的正规表示。所用的信息集合是截止到t时刻的信息。,定义,如果对于所有的 t0, 如下条件成立： 1. 在It给定时，St是已知的（称St是It适应的） 无条件预测是一个有限数：E|St| 3. P(EtST=St)=1 即是说无法观察到的未来值的最优预测值是St最近的观察值
3、。那么我们称过程St,t0,是相对于信息集合簇It和概率P的鞅。,根据这个定义，鞅是一个随机过程，在当前信息集合给定的条件下，它在未来的变化完全无法预测。 例如，假设St是鞅，考虑St在长度为u0的时间区间上变化的预测值： EtSt+u-St=EtSt+u-EtSt 如果St是鞅，那么EtSt+u也等于St 。 也就是说EtSt+u-St=0,鞅在资产定价中的使用,对于鞅来说，未来的变化完全无法预测。但是在金融市场上，贴现债券的价格，以及股票的价格，平均而言都是递增的。如果Bt表示T时刻到期的贴现债券价格， BtEtBu, tuT 显然，贴现债券的价格不会像鞅那样移动。,对于风险股票而言，一般
4、来说，St有正的预期收益，但不是鞅。对小区间来说，有： EtSt+u-St 是正的预期收益率。 期货和期权也有类似的情况。例如期权有时间价值，随着时间的流逝，欧式期权的价格下跌，这样的过程是上鞅。,虽然大多数金融资产不是鞅，但我们可以将其转化为鞅。 第一种方法是，从e-rtSt或e-rtBt中减去预期趋势，这就使得趋势附近的偏差完全没办法预测。因而转换后的变量为鞅。 这种Doob-Meyer分解意味着在某些通常条件下，任何连续时间过程都可以分解为一个鞅和一个递增（或递减）过程。,因为Xt是鞅。所以: Xt|It = 0 这个等式意味着：无论有多小，鞅的增量都是无法预测的。这种不规则的轨道可能有
5、两种方式： 连续型鞅： 当0时，P( Xt)0 (对所有的) 2. 跳跃型，即右连续。在过程中伴随着偶发性跳跃。,假设一个连续型鞅Xt，对所有的Xt,对所有t0,Xt有有限的二阶矩。E 2 这种过程有有限变差，也就是连续平方可积鞅。连续平方可积鞅和布朗运动非常相似。,第二种方法复杂一些，却也更有用。 这种方法不是直接对上下鞅进行转换，而是对概率进行转换。也就是说，如果： e-ruSt+u St , 那么我们可以找到一个概率 ，使得新的期望满足： t e-ruSt+u = St 这样一来，就转化为了鞅。,鞅在随机建模中的重要性,如果套利机会不存在，就意味着能找到一个人造概率分布 ，使得所有正确贴
6、现后的资产价格都是鞅： t e-ruSt+u | It=St , u0 因此，鞅在资产定价实践中具有非常重要的作用。,接下来讨论鞅的连续性问题。 Xt表示资产价格，相对于滤子It和概率 而言，Xt是鞅： Xt+|It=Xt 其中0表示一个小的时间区间。 定义鞅差分Xt：Xt = Xt+- Xt,因为Xt是鞅，因此 Xt|It=0 这个等式意味着，无论时间区间有多小，鞅的增量都完全无法预测。这种不规则的轨道可以有两种方式： 连续型鞅。对于0，有： P(Xt) 0 (对于所有0都成立) 2. 跳跃型鞅，也就是所谓的右连续鞅。在轨道中伴随着偶发性跳跃。在跳跃时刻，鞅是右连续的。,假设一个连续型鞅Xt
7、 , 对所有t0,Xt有有限的二阶矩： E( 2 ) 这种过程具有有限变差，也就是所谓的连续平方可积鞅。连续平方可积鞅与布朗运动非常类似。,鞅轨道的性质,假设Xt代表的是连续平方可积鞅的轨道。 选择时间区间0,T并考虑时间ti:t0=0t1t2tn-1tn=T 我们定义轨道的变差： V1= =1 | 1 | V1可以解释成Xt在区间0,T上的轨道长度。,平方变差为： V2= =1 | 1 | 2 显然，V1和V2是Xt的两种不同的度量。V1代表子区间ti-1,ti上所能观察到的Xt的绝对变化之和。而V2则表示变化平方的和。 对于V3，V4依然可以类推。,由于Xt连续且方差非零。当 0,T的分割
8、越来越细时，有titi-1.对任意0 有： P(| 1 |)0P( =1 | 1 | 20)=1 虽然随着更细的划分，每一项越来越小，趋近于零。但是相应的，项的数量n会增加。,将V1变形得：=1 | 1 | 2 max| 1 | =1 | 1 | 也就是： V2max| 1 | V1,当titi-1 ，鞅的连续性说明： max| 1 | 0 那么在这里，V2max| 1 | V1 可以看出，如果V1不趋于无穷的话，由于 max| 1 | 0 那么可以肯定V20 这和连续平方可积鞅的假设矛盾。所谓为了要使V2 不为0，必然有V1,而对更高阶来说，推理方法类似。比如 V4max| 1 |2 V2
9、由于max| 1 |2 0,而V2收敛于某个有限值。 可以推出V4 0。 而更高阶也是同理，都趋近于零。,鞅例：布朗运动,假设Xt是一个连续时间过程，其增量服从正态分布。我们称这种过程为（广义的）的布朗运动。 我们能在每一个t处观察到Xt的值。Xt在每一个瞬时时刻的无穷小变化用dXt表示。假设Xt的增量变化是独立的。,如果是一个很小的时间区间， 上的增量Xt服从均值为方差为2的正态分布。也就是：XtN(, 2) 增量不相关意味着： E（ Xt- )(Xt- )=0 其中，ut 现在考虑Xt是不是鞅。,过程Xt是无穷小增量的积累，也就是说： Xt+T=X0+ 0 + 对于上列积分，假设t时刻的信
10、息是给定的： EtXt+T=EtXt+ + 但在t时刻，Xt+T在将来的值是可以预测的。因为其在小区间上所有变化的期望值等于。,也就是说：Et + = T 因此， EtXt+T=Xt +T显然，Xt 不是鞅。但最后的等式也给了我们提示，如何把其化作鞅。,考虑一个过程： Zt=Xt-T EtZt+T= EtXt+T-(t+T)=EXt+(Xt+T-Xt)- (t+T)=Xt+E Xt+T-Xt- (t+T)=Xt-t=Zt 因此Zt是鞅。,鞅例2：平方过程,考虑时间在时间区间上增量不相关的过程St： StN(0,2) 初始点为：S0=0 定义一个新的随机变量： Zt= 2 Zt是St的平方，是一
11、个非负随机变量。,考虑Zt是否是鞅。 因为Zt增量的平方可预测，基于一个小的时间区间来考虑中Zt增量的数学期望。 Et 2 + - 2 =EtSt-(St-St+)2- 2 =EtSt+-St2 这意味着：EZt=2 因此，Zt的增量可预测，Zt不是鞅。,使用上例中的方法，可以消去趋势项，使之成为鞅。 可以证明： EtZt+T-2(T+t)=Zt-2t 因此，在Zt中减去一个2t， 就转化为了鞅。,鞅例3：指数过程,假设Xt的定义与布朗运动例相同，考虑变换： St= 2 2 其中a是任意一个实数，假设Xt的均值为0. St可以证明是鞅。具体讲在以后的章节中讨论。,鞅例4：右连续鞅,考虑泊松计数
12、过程Nt。显然Nt是时间序列的递增函数，它不是鞅，具有明显的递增趋势。然而经过变换： =Nt - t 就得到了一个右连续鞅。其增量不可预测，且方差是有限数。,最简单的鞅,在复杂的利率衍生品定价中，我们会反复使用一个简单的鞅。 考虑随机变量YT，概率分布为P。我们在将来的T时刻能观察到YT。用It表示信息集合，随着时间流逝，有： It It+1 IT-1 IT,考虑YT在不同时刻的“连续”预测，用Mt表示，概率用P表示： Mt=EPYT|It 可以证明，预测序列Mt是鞅。也就是说，对s0而言， EPMt+s|It=Mt 这个结果源于条件期望的递归性质。,对于任意随机变量而言，有： EPEPZ|I
13、t+s|It=EPZ|It , s0 也就是说对未来预测值的最佳预测，就是基于现在的预测。应用到Mt+s，就得到： EPMt+s|It=EPEPYT|It+s|It 本身也是一个预测结果。对上式再变换得： EPEPYT|It+s|It=EPYT 即，Mt是鞅。,应用,考虑衍生品在到期日T的偿付是随机的，在到期前没有支付。令到期日偿付依赖于资产价格ST， GT=f(ST). 考虑1美元投资，常年连续复利利率为rs,这笔投资在T时刻到期： BT= 这是T时刻的偿付总和，rs是随机的。,考虑价格比率GT/BT,这个比率是T时刻可以确定的随机变量。随着信息的预测可以对其求期望。假设用Mt表示。 Mt=
14、EP It 这些连续计算的条件期望就构成了一个鞅： Mt=EPMt+s|It, s0,Mt=EP It 是到期偿付的贴现值在概率P下的条件期望。是针对P的鞅。 令无套利价格为B(t,T),根据前面的章节，一般来说B(t,T)Mt 但是我们可以选择一个人造概率 ， 使得B(t,T)= Mt= It,鞅表示,考虑下面的例子：t0t1tk-1tk=T 假设交易者在ti时刻能观察到金融资产St的价格。如果ti-1和ti 之间的时间区间很小，那么资产价格在其区间中只可能出现上升或者下降两种情况。即在ti 时刻， 的变化只有两种可能：, = 1 概率为 1 概率为(1) 假设这些变化相互独立。此外，如果p
15、=0.5, 那么 的期望值等于0，否则价格变化的均值非零。 我们能在k个时点观察到 的值，p,(1-p)是 发生变化的概率。,接下来讨论各种“轨道”伴随的概率。 首先构造一个集合，集合是所有可能路径的组成集合。这个空间也被称作样本空间，其元素是+1或者-1.例如： 1 =-1 =+1 因为k是有限的，在初始点给定的条件下，将增量变化相加，就可以确定资产价格变化的轨道。,考虑从+1开始的交替变化的序列，k为偶数。 其发生的概率为： P(S)= 2 (1) 2 在这里的重要假设是k的有限性和连续变化之间的独立性。,我们可以根据初始价格和后续变化来得到资产的水平价格： = 0 + =1 ( 1 )
16、可以看出典型的是由 之和构成的。 如果所观察到的k个增量的变化中，有m个+1，有k-m个-1（mk）的取值为： = 0 +m-(k-m),其伴随的概率为：P( = 0 +2m-k)=Ck pm(1-p) k-m 当k时，分布收敛于正态分布。 下面要考虑的问题是, 是鞅吗？,k-m,考虑数学期望：EP | 0 , 0 , 1 , k1 = 1 +(+1)p+(-1)(1-p) 其中，(+1)p+(-1)(1-p)是 的期望值。 显然，如果p=0.5，那么这一项等于0， 有EP | 0 , 0 , 1 , k1 = 1 即意味着，St为相对于“历史价格变化”这一信息集的鞅。,如果p0.5,那么St
17、就不是相对于 的鞅。 然而经过如下变换的中心化过程： = + (1-2p)(k+1) 就转化为了相对于 的鞅。,Doob-Meyer分解,考虑一种特殊情形，在任何时刻ti ，资产价格上升的概率都比下降的概率大一些，有：1p0.5 EP | 0 , 0 , 1 , k1 = k1 - (1-2p) 这意味着： EP | 0 , 0 , 1 , k1 k1 是下鞅,我们可以经由以下变换： = + (1-2p)(k+1) 将其转化为鞅。 (1-2p)(k+1)是一个递增的确定性变化。 是一个鞅，在t0处取值为 0 +(1-2p) 这就是Doob-Meyer分解的一种简单形式。,一般情形,上面讨论的是
18、有限个观察点的过程。下面讨论连续观察的过程。 首先引述Doob-Meyer定理。 定理：如果Xt（0t）是相对于It的右连续下鞅，且E(Xt)(对所有的t)，那么Xt具有如下分解: Xt=Mt+A 其中Mt是相对于P的右连续鞅，A是It的可测的递增过程。,这个定理说明，即使观察的资产价格偶有跳跃，同时也存在某种趋势，那么减去一个t时刻就能观察到的过程后，我们就可以将这个过程转化为鞅。 如果原来的连续时间过程不会发生跳跃但是连续的，那么所导出的鞅也是连续的。,Doob-Meyer分解的用途,考虑金融资产定价中的一个简单例子。 假设时间t0,T是连续的。以St为标的资产的看涨期权的价值Ct可以表示
19、成如下函数： CT=maxST-K,0 期权的到期日为T。,因此，如果标的资产价格高于执行价格K，期权有价值，反之价格为0. 更早时刻t,期权价值CT未知，但是根据t时刻的信息集It，能计算出它的预测值： EPCT|It=EPmaxST-K,0|It 那么就这个预测值而言，公平市场价格Ct是否等于的贴现值呢？,假设贴现利率为r，我们有： Ct= () EPmaxST-K,0|It 这是公平市场价格吗？ 答案取决于 Ct是否是相对于(It,P)的鞅。如果是，则有： EP CT|Ct= Ct , tT 两边同乘以 得 EP () CT|Ct=Ct,然而对于风险资产来说，上式的鞅一般不成立。对于典型
20、的风险资产： EP () ST|ItSt 也就是说 是 St下鞅。 但是经过Doob-Meyer分解，可以得到： St =At+Zt 其中是一个At递增的It可测变量，Zt是对于It的鞅。,随机积分的第一个例子,使用到目前的结果，可以定义一个新的积分 ： 令 1 是与 1 相适应的随机变量。Zt是对于It和概率分布P的鞅，于是对于如下过程： = 0 + =1 - 1 ,因为Zt是鞅，其增量无法预测。 1 是与 1 相适应的随机变量，也就是在 1 下为常数。 0 = 0 + 0 =1 1 ( - 1 ) ( - 1 )ti-1在时刻是不可预测的。有： 1 ( - 1 )=0,因而： 0 = 0
21、这说明Mt具有鞅的性质。 当supiti-ti-10,有：Mt=M0+ 0 其中是t时刻信息给定条件下均值为0的无穷小随机增量。,鞅方法与定价,对于任意下鞅，我们可以将其分解成两个部分，如上节表述。这个结论与如下表示等价： CT=Ct+ + () dMs 其中在信息集Is给定条件下是已知的。()是Cs的无法预期的函数，Ms是相对信息集合Is和概率P的鞅。,假设我们希望对衍生证券定价，衍生证券价格用Ct表示，它在到期时支付为CT。对Ct进行正规化后，使用鞅测度可以得到定价方程： = 这个方程可以由刚才的等式得出。将 用Bt正规化后对两边同时用期望算子 。,有： sds=0 ( ) sdMs=0
22、这就给出了确定定价方程的一种方法。对衍生证券Ct而言，如果我们能写出它的鞅表示，那么在风险中性测度下就能找到一个满足上述两式的正规化表示。,定价方法,上面的等式可以用离散等价表示：CT=Ct+ =1 + =1 ( ) 其中 = +1 - 0 t1tn=T,首先为Ct构造一个人工的“套期保值组合”。令Bt是以短期利率r进行的无风险借贷资产。 是ti时刻所能观察到的证券价格： = + 和 是确保复制组合资产等于 的权重。,我们考虑 在时期t,T中的变化。CT=Ct+ =0 = Ct+ =0 + = Ct+ =0 + =0 另由下面的“乘法规则”d(u,v)=duv+dvu 将其应用到上式得：,=0
23、 = =0 （ ） +1 + =0 =0 = =0 （ ） +1 +=0 CT=Ct+ =0 （ ） +1 + =0 + =0 （ ） +1 + =0 ,CT=Ct+ =0 （ ） +1 +（ ） +1 + =0 + =0 对于上式第一个括弧项，在 +1 时刻，是已知的，相当于趋势项。 对于第二个括弧项，在信息集It时，含有未知的项，但因为这些项的变化一般是可以预期的，所以不是鞅。,对于上述情况，有两种方法解决。 第一种，我们可以像以前一样，通过正规化，也就是除以相应的一个无套利价格，使得其转化为鞅。 第二种方法，我们可以对概率分布进行转换。 也就是，人造出一个风险中性概率。这在以后的章节中将会讨论。,第六章 完,
