1、3.5 两个随机变量的函数的分布,一、二维离散型随机变量函数的分布,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为,X,Y,1 2,1 2 3,求Z=X+Y的分布律.,解: Z=X+Y的全部可能取值为(2,3,4,5),其分布律为,一般地,设二维离散型随机变量（X，Y），(X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,或,设 X 和 Y 的联合密度为 f (x,y), 求 Z = X + Y 的密度,1.Z=X+Y 的分布,方法： 分布函数法,二、二维连续型随机变量函数的分布,FZ(z)=P(Zz)=,P(X+Y z),D =
2、(x, y): x+y z ,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,交换积分次序,Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式。,例2 若X和Y 独立,具有共同的概率密度,求 Z=X+Y的概率密度 。,解: 由卷积公式,!,解法1：,解法2：,P77例1结论：,若X和Y 独立,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布N(
3、0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,2.Z1=max X,Y , Z2=min X,Y 的分布,设 X,Y 独立，概率密度函数分别为 fX(x)， fY(y),特别地，若X1 , X2 , Xn相互独立，且 分布函数相同，则,一般地， 若X1 , X2 , Xn相互独立,Z1=max X1 , X2 , Xn , Z2=min X1 , X2 , Xn 。则,例3（P82）设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成，联接的方式分别为： 1.串联， 2. 并联， 3. 备用。 如图所示：,!,设L1,L2
4、的寿命分别为X，Y，已知它们的概率密度分别为：,解： （i）串联,L1，L2中有一个损坏，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为：,X，Y的分布函数分别为：,故得Z= min (X , Y ) 的分布函数为：,于是Z=min (X , Y ) 的分布函数为：,于是Z=min (X , Y ) 的概率密度为：,（ii）并联,当且仅当L1，L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为：,Z= max ( X , Y ) 的分布函数为：,Z = max (X , Y ) 的概率密度为：,（iii）备用,当系统L1损坏时系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z为 L1，L2两者寿命之和，即：,z0,
