1、第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。,在射箭时,命中点的位置是由一对坐标( X, Y )来确定的。,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v ( X，Y，Z ）来确定的。,一般地，我们称n个随机变量的整体 X = (X1 , X2 , ，Xn ) 为n 维随机变量或随机向量。以下重点讨论二维随机变量。,请注意与一维情形的对照 。,设是随机试验E的样本空间, 若,定义,则称 ( X , Y )为二维随机向量或二维随机变量。,设( X , Y )是二维随机向量, 对于任
2、意实数 x , y 二元函数：,定义,称为二维随机变量( X , Y )的分布函数。,( x, y),( X , Y ),基本性质,F(x , y )是 x , y 的不减函数。,F( x , y ) 关于x , y 均右连续。,D,二维离散型随机变量,设二维离散型随机变量( X , Y )所有可能取到的值为：,分布律可用如下表格表示：,例 1 X 在 1, 2, 3, 4 中等可能取一个值，Y 在 1 X 中等可能取一个整数值，试求 ( X , Y ) 的分布律。,解： X=i , Y=j 中 i= 1, 2, 3, 4 j 取不大于 i 的整数。,列表如下：,1/4,二维连续型随机变量,对
3、于二维连续型随机变量( X , Y )的分布函数F( x, y ) 如果存在非负可积函数 f ( x, y ) ，对于任意 x , y 有：,则称 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量，f( x, y ) 称为二维随机变量( X , Y ) 的概率密度或随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。,( X, Y ),几何意义,z = f ( x, y ),基本性质,( X , Y ),若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处连续，则有：,以上关于二维随机变量的讨论，可以容易地推广到 n ( n 2 )维随机变量的情况。,例2 设二维连续型随机变量( X , Y )具有概率密度为：,
4、求常数 k ;,求 F( x , y ) ;,求 P X Y ,求常数 k ;,解：,求 F( x , y ) ;,求 P X Y ,x=y,x=0,3.2 边缘分布,( X ,Y ) 的分布 已知,X 的分布 FX ( x ) = ?,Y 的分布 FY ( y ) = ?,称 FX( x ) ，FY( y ) 为 ( X，Y ) 的边缘分布函数。,F( x , y ),F( x , y ) 已知,同理：,二维离散型随机变量,对 ( X , Y ) 已知:,问：对 X,对 Y,例 1 试求3.1例 1中 X , Y 的边缘分布律。,解：,二维连续型随机变量,对 ( X , Y ) 已知 f (
5、 x , y ),问：对 X fX( x ) = ?,对 Y fY( x ) = ?,例2 设 ( X,Y ) 的概率密度为：,求 (1) c的值；,（2）两个边缘密度。,解：(1),=5c/24=1,c =24 /5,解: ( 2 ),解: ( 2 ),下面我们介绍两个常见的二维分布。,注：在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分。 在计算积分时应特别注意积分限 。,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X , Y ）具有概率密度,则称（ X, Y ）在G上服从均匀分布.,二维均匀分布,若二维随机变量（ X,Y ）具有概率密度：,二维正态分布,记作（ X, Y ）N ( ),核心：,等高线 ：,二维正态分布的两个边缘密度仍是 正态分布（证明见教材）,
