1、ARMA 模型时间序列分析法ARMA 模型时间序列分析法简称为时序分析法，是一种利用参数模型对有序随机振动响应数据进行处理，从而进行模态参数识别的方法。参数模型包括 AR自回归模型、MA 滑动平均模型和 ARMA 自回归滑动平均模型。1969 年 Akaike H首次利用自回归滑动平均 ARMA 模型进行了白噪声激励下的模态参数识别。N 个自由度的线性系统激励与响应之间的关系可用高阶微分方程来描述，在离散时间域内，该微分方程变成由一系列不同时刻的时间序列表示的差分方程，即 ARMA 时序模型方程：(1)ktNktkfbxa2020式(1)表示响应数据序列 与历史值 的关系，其中等式的左边称为自
2、回txktx归差分多项式，即 AR 模型，右边称为滑动平均差分多项式，即 MA 模型。2N 为自回归模型和滑动均值模型的阶次， 、 分别表示待识别的自回归系数和滑kab动均值系数， 表示白噪声激励。当 k0 时，设 。tf 10ba由于 ARMA 过程 具有唯一的平稳解为tx(2)ititfhx0式中： 为脉冲响应函数。的相关函数为t(3)0ktikikit fEhxER是白噪声，故tf(4)oterifkti2式中： 为白噪声方差。2将此结果代人式(3)，即可得(5)iihR02因为线性系统的脉冲响应函数 ，是脉冲信号 ，激励该系统时的输出响ih应，故由 ARMA 过程定义的表达式为(6)t
3、ktNktkNbha2020利用式(5)和式(6)，可以得出：(7)liiklikiiklk bhaR 022020 对于一个 ARMA 过程，当是大于其阶次 2N 时，参数 0。故当 l2N 时，k式(7)恒等于零，于是有 (8)NlaklNki 2,20或写成(9)NlRaiklNk 2,20设相关函数的长度为 L，并令 M2N。对应不同的 l 值，由代人以上公式可得一组方程：(10) LMLLMRaRa21 221121将式(10)方程组写成矩阵形式，则有(11) LMMLLMRaRR 2121211或缩写为(12)1)(1)( Ma式(12)为推广的 Yule-walker 方程。一般
4、情况下，由于 L 比 2N 大得多，采用伪逆法可求得方程组的最小二乘解，即(13)()(1RRTT由此求得自回归系数 。2,Nka滑动平均模型系数 可通过以下非线性方程组来求解：b(14)Mcb0110220 其中(15)NkCacjikjiNjik 2,10,20 式中： 为响应序列 的自协方差函数。tx滑动平均模型 MA 系数 的估算方法很多，主要的有基于 Newton-Raphsonkb算法的迭代最优化方法和基于最小二乘原理的次最优化方法。当求得自回归系数 和滑动均值系数 后，可以通过 ARMA 模型传递函数kakb的表达式计算系统的模态参数，ARMA 模型的传递函数为(16)kNkza
5、bzH20)(用高次代数方程求解方法计算分母多项式方程的根： (17)012220 NkNk zazaz或表示成以下形式的方程：(18)212122NN求解得到的根为传递函数的极点，它们与系统的模态频率 ，和阻尼比 的关kk系为(19) )1exp()e( 2tjtsz kkkkk 并且由式(19)可求得模态频率 ，和阻尼比 ，即(20)2)Re(/(Im1|lnkkkkrktsz为计算模态振型，需要先求出留数。设 q 点处激励 p 点响应的传递函数的第是阶留数为 ，可用下式计算留数：)(sHpq kpqA(21)kk zkNkpqzkpq zabzA)()(li20振型向量可以通过对一系列响应测点求出的留数处理得到。对于一个有 n个响应测点的结构，首先需要从 n 个对应同一阶模态的留数中找出绝对值最大的测点，假设该点是测点 m，对应第 k 阶模态的归一化复振型向量可由下式求出：(22)kmqTknqqkk AA/21
