1、公安三中 2010 年高考总复习第二轮专题复习讲义数学（内部使用、不得翻印）（第二版）公安三中 2010 年高三数学组二 010 年三月2目 录第一部分：方法篇专题 1：例说数学选择题的解法3第二部分：知识篇专题 2：平面向量与三角11专题 3：函数的概念、性质与导数15专题 4：解析几何21专题 5：立体几何25专题 6：概率与统计30专题 7：数列与不等式35专题 8：数学应用题393专题 1 例说数学选择题的解法一专题综述高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为 全卷得分的关键。选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法
2、，即从题干出发，逐步推出完整结果，再对照选项进行选择的方法（多数选择题都是这样做的，理论上所有的选择题都可以这样做），这类选择题 通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，一般适用于 题号在前 1-6 的题目。二是间接法，即从 选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项 ，又无 须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果， 这就是间接法。 这类选择题 通常用来考核考生的思 维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解
3、题时间的重要手段。然而，有相当一部分考生对于用间 接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠 ”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的， 认为这样做“不道德” ，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。间接法解选择题有很多具体手段，常 见的有：数形结合法 、特例（值）法、代入检验法、部分特征法、逻辑排除法、直觉判断、 趋势判断、估计判断、退化判断等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类， 经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面就选择题的解法分别举例说明之，并配 备足够的对应练习题 。二例
4、题与题组1直解对照法【例 1】已知以 为焦点的椭圆与直线1(2,0)F有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ 34xy）A、 B、 C、 D、26274【解析】设长轴长为 ，则椭圆方程 为：a，与直 线方程联立消去 得：214xyax，由条件知222()83()6(4)0a，即：0，得222191（舍）， （舍），a7 ，选 C 。7【注】像本题这样，直接根据 题干推出完整的 结论，再 对照选项选择的方法叫直解对照法。一般来讲，高考卷的前 5、6 道选择题本身就属于容易题，用直解 对 照法求解往往容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你 别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，
5、那么就必须果断地用直解对照法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，用直解 对照法也要尽可能的优化你的思路，力争小 题不大作。【练习 1】函数 的部分)0,)(sin)(Axf图象如右，则 =（ ）29fA、0 B、2+ C、 D、2-2【练习 2】正方体 中，E 为棱 AB的中点，则二面角 C-1-B的正切值为（ ）1AEA、 B、 52C、 D、23【练习 3】设 是椭圆 的两12,F)0(12bayx个焦点，以 为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，若直线 与圆 相切，则该椭圆的离心率是（ 21）A、 B、 3C、 D、2第一部分：方法篇42特征分析法【例 5】 （07 浙江文 8
6、）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局 2胜” ，即以先赢 2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为 0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648【解析】先看“标准 ”解法甲获胜 分两种情况：甲：乙=2：0，其概率为 0.60.6=0.36，甲：乙=2：1，其概率 为，所以甲获胜的概率为12.64.028C0.36+0.288=0.648，选 D。另解：因为这种比赛没有平局， 2 人 获胜的概率之和为1，而甲获胜 的概率比乙大，应该超过 0.5，只有选 D。 ）【注】与直解对照法一样，从题干入手，分析或探求结论的特征（部分
7、），再依据这 些特征，排除与特征不合的选项，直至只剩下最后一个，这种解法称 为部分特征法。该法与直解对照法起点一致，但不像直解对照法推出完整的 结论（只得结论的部分特征），当然就节 省了解题时间，所以，此法是解选择题的一种很好的方法，用得比较普遍。 对结论的特征探求，除了由题 干经过严格的推理得出外，有时还要考直觉和灵感。【练习 1】 （01 广东）对于抛物线 上任意一点 Q，24yx点 P（a，0）都满足 ，则 的取值范围是（ ）QaA、 B、 ,(,C、 D、202)【练习 2】当 时， 恒成立，4,x413ax则 的一个可能的值是（ ）aA、5 B、 C、 D、35【练习 4】 （06
8、重庆理 9）如图，单位圆中 AB的弧长为 ，x表示弧 AB与弦 AB所围成的弓形的面面积的 2倍，则()fx函数 的图象是（ ）yfA BC D【练习 3】 （06 江西理 12）某地一年内的气温 Q（t） （）与时间 t（月份）之间的关系如右图，已知该年的平均气温为 10。令 C（t）表示时间段0，t的平均气温，C（t）与 t之间的函数关系如下图，则正确的应该是（ ）A BC D【练习 5】 （05 辽宁 12）一给定函数 的图象在下()yfx列图中，并且对任意 ，由关系式10,a得到的数列满足 ，则1()nnaf*1Nnan该函数的图象是（ ）A、 B、 C、 D、【练习 6】 、设四面体
9、四个面的面积分别 Si(i=1、2、3、4)且它们中的最大值为 S，记 ，则 一定满足（ ）41iA、 B、 23C、 D、5.4. 5.【练习 2】当 时，,0x恒成立，则 的一个可能的213aa值是（ ）2x22225A、5 B、 C、 D、353特例（值）法【例 3】在各项均为正数的等比数列 中，若 ，na569则 （ ）3132310logllogaA、12 B、10 C、8 D、 32l【解析】思路一（小题大做）：由条件有：从而：91541659qaa，1052320321 3)(原式= ，选 B。101203log()log思路二（小题小做）：由 56473829109aaa原式=
10、 ；503log()log思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个 满足条件的特殊数列 即可。56,1aq【注】选取符合题意的特殊图形、特殊式子、特殊数值、特殊位置得出结论，再比照 选项来确定答案。这种方法叫特例（值）法，是一种使用频率高、效果好的方法。【练习 1】 （07 江西文 8）若 ，则下列命题中正20x确的是（ ）A、 x B、 x2sinsinC、 x D、 x33【练习 2】设 ，则471010()2()nf N（ ）()fnA、 B、 28171(8)7nC、 D、3()n24【练习 3】设平面向量 a1、a 2、a 3的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量 b1、b 2、
11、b 3满足|b i|=2|ai|，且 ai顺时针旋转 以后与 bi同向，其中 i=1、2、3 则（ ）A、-b 1+b2+b3=0 B、b 1-b2+b3=0 C、b 1+b2-b3=0 D、b 1+b2+b3=0【练习 4】若函数 是偶函数，则()yfx的对称轴是（ ）(2)yfxA、 B、 C、 D、012xx【练习 5】已知数列a n的通项公式为 ，其前 n1na和为 Sn，那么 Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn=（ ）A、2 n-3n B、3 n -2n C、5 n -2n D、3 n -4n4代入检验法【例 4】 、双曲线方程为 ，则 的取值范围21xykk是（ ）A、 B、
12、5k52kC、 D、2或【解析】观察选项，0 是差别点， k=0 代入方程中使方程是双曲线，排除 A、B；对 C、D 而言，6 是差别点，6 代入方程，合题干，排除 C，选 D【注】观察选项，将选项的差别点代入 题干，不合 题干，则可以排除相应的选项，直至只剩一个 选项 ，这种方法就是代入检验法。该 法适用于 选项 是数值（特别是区 间）的选择题。【练习 1】 （06 湖南理 8）设函数 ，集合()1xaf， ，若 ，则0)(|xfM0|/xPMP实数 的取值范围是（ ）aA、 B、 ,1(,)C、 D、()【练习 2】若圆 上至少有三2410xy个不同的点到直线 的距离为 ，则直线:lab2
13、的倾斜角 的取值范围是（ ）lA、 B、 ,1245,1C、 D、6302【练习 3】不等式 的解集是（ ）xA、 B、 (1,0)(,1)(,6C、 D、(1,0)(,1)(,【练习 4】设 ，且 sin3 + cos3 0，cosint 则 的取值范围是（ ）tA、- ，0） B、 22,C、 （-1，0） D、 （- ，0）,1(3),(【练习 5】若函数 （ ）在)sin2xf上单调递增，则 的取值范围是（ ）3,4A、 B、 C、 D、203,0,2,5数形结合法【例 2】 （07 江苏 6）设函数 定义在实数集上，它的图()fx象关于直线 对称，且当 时， ，1x1()31xf则有
14、（ ） 。A. )32()3(fffB. 12C. )2()(fffD 323【解析】当 时， ， 的图象关于直线1x()1xf()f对称，则图 象如图所示。事 实 上，就观察出符合要求的选项是 B，【注】像这样画出图形或者图象再利用图形（象）提供的信息观察得出结论的方法叫数性结合法。这样做可大大降低思维难度，是解决数学问题 的有力策略，这种方法使用得非常之多。【练习 1】若 P（2，-1）为圆 的弦 AB2(1)5xy的中点，则直线 AB的方程是（ ）A、 B、 30xy30C、 D、【练习 2】 （07 辽宁）已知变量 、 满足约束条件xy， 则 的取值范围是（ ）2017xyyxA、 B
15、、 9,659,6,5C、 D、3,3【练习 3】曲线 与直线214(,)yx有两个公共点时， 的取值范围是（ ）(2)ykxkA、 B、 50,11(,)43C、 D、()225【练习 4】函数 在区间 A上是增函数，则区)(|xy间 A是（ ）A、 B、 0,21,0C、 D、 , ,【练习 5】曲线 与直线 有两个13|2|yxmx交点，则 的取值范围是（ ）mA、 B、4或 4C、 D、或 36趋势判断法【例 6】 （1）在正 n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ）A、 B、 2(,)1(,)C、 D、02n（2）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5根
16、细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断） ，能够得到的三角形的最大面积为多少？A、8 cm2 B、6 cm2 510C、3 cm2 D、20 cm 2【解析】（1）进行极限分析，当 顶点无限 趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧 面所成二面角 ，且 ；当锥体7且底面正多边形相对固定不变时，正 n 棱锥形状趋h近于正 n 棱柱， 且 ，故选 A2,（2）此三角形的周长是定值 20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“ 饱满” 时也就是形状接近于正三角形 时面积最大，故三边长应该为 7、7、6，因此易知最大面 积为cm2，选 B。）61
17、0【注】根据对变化趋势（往往是极限状况）的分析来发现结果，这就是趋势判断法。其要 义是要求化静 为动，在运 动中寻找规律，因此是一种较 高层次的思维方法。【练习 1】 、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为，侧面与底面所成角为 ，则 的值是（ 2cos）A、1 B、 C、0 D、-1【练习 2】 、在ABC 中，角 A、B、C 所对边长分别为a、b、c，若 c-a等于 AC边上的高，那么的值是 （ ）2ossinACA、1 B、 C、 D、-113【练习 3】 、若 且 bacosincsi，则（ ）40A、 B、 babC、 D、12a三结束语以上就七类方法对如何快速正确解答选择题给予了
18、简要论述，凡所选用之例 习题和习题 ，基本上是近年高考真 题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读 者。需要 说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分 类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，考生要学会联合采用多种方法协同作战，以期收到最大实效。三专题训练1 是椭圆 的左、右焦点，点 P在椭圆2,F214xy上运动，则 的最大值是（ ）|21PFA、4 B、5 C、1 D、22 （07 浙江文 10）若非零向量 a，b 满足|a-b|=| b |，则（ ）A、|2b| | a-2b | B、|2b| | a
19、-2b |C、|2a| | 2a-b | D、|2a| | 2a-b |3方程 cosx=lgx的实根的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、44(07 天津理 7)在 R上定义的函数 是偶函数，且()fx，若 在区间1，2 上是减函数，()fxf则 （ ）A、在区间-2，-1上是增函数，在 3，4上是增函数B、在区间-2，-1上是增函数，在 3，4上是减函数C、在区间-2，-1上是减函数，在 3，4上是增函数D、在区间-2，-1上是减函数，在 3，4上是减函数5 （07 山东文 11改编）方程 的解 的取321()x0值区间是（ ）A、 （0，1） B、 （1，2）C、 （2，3） D、
20、（3，4）6 （06 辽宁理 10）直线 与曲线yk（ ）的公共点的个22918kxx0R且数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、47ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，则 的取值是（ ）()OHmA、-1 B、1 C、-2 D、28如图，若 D、E、F 分别是三棱锥 S-ABC的侧 棱 SA、SB、SC 上的点，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面 DEF截三棱锥 S-ABC所得的上下两部分的体积之比为（ ）A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：259 （07 全国卷理 12）函数 的一2cos)(2xxf个单调增区间是（ ）A、 B、 2,
21、3,68C、 D、0,3,610把 10个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）A、 B、 C、 D、3626392911方程 的正整数解的组数是（ 12341xx）A、24 B、 72 C、144 D、16512从 1，2，3，10 中每次取出 3个互不相邻的数，共有的取法数是（ ）A、35 B、56 C、84 D、12013 （理科）已知 ，则 = （ ）21lim3xabA、4 B、-5 C、-4 D、514某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长 7%，那么经过 季度增长到原来的 倍，xy则函数
22、的图象大致是（ ）()yfA、 B、 C D15已知对于任意 ，都有:Ryx,，()2()()2xyfff且 ，则 是（ ）0A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数16.已知 P为抛物线 上任一动点，记点 P到 轴的24yxy距离为 ，对于给定点 A（4，5） ，|PA|+d 的最小值是（ d）A、4 B、 C、 D、31734117 若椭圆 内有一点 P（1，-1） ，F 为右焦点，2xy椭圆上有一点 M，使|MP|+2|MF|最小，则点 M的坐标为（ ）A、 B、 2(6,1)33(,)2C、 D、 6118函数 的反函数 ，则()yfx1()3xf的图象（ ） 。
23、A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称C、关于直线 y=3对称 D、关于直线 x = -2对称19点 P是以 为焦点的椭圆12,F上的一点，过焦点 作的外角平分线的垂线，垂足为 M，则点 M的轨迹是（ ）A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线20在平面直角坐标系中，若方程 m（x 2+y2+2y+1）=（x-2y+3） 2表 示的是双曲线，则的取值范围是（ ）A、 （0，1） B、 （ 1， ） C、 （0，5） D、 （5， ）21已知一个边长为 x 正三角形内接于一个边长为 的正三a角形中，问 取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）A、 B、 C、 D、2a34a3
24、222测量某个零件直径的尺寸，得到 10 个数据：如果用 作为该零件直径的近似值，12310,x x则： 当222310()()()()x取什么值时最小？（ ）A、 ，因为第一次测量最可靠 1xB、 ，因为最后一次测量最可靠0C、 ，因为这两次测量最可靠 12D、 310xx23若 ，则：72701(1)aa9（ ）0127|aaA、-1 B、1 C、0 D、 7324已知 a、b 是不相等的两个正数，如果设， ，()p21()qab，那么数值最大的一个是（ ）2rA、 B、 C、 D、与 a、b 的值有关。25 （98 高考）向高为 H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量 V与水深 h的函数关
25、系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ） 。OA B C D26 （01 年高考）过点 A（1，-1） 、B（-1，1）且圆心在直线 上的圆的方程是（ ）20xyA、 2(3)()4B、 21xyC、 2()()D、 24xy27 （97 全国理科）函数 的最sin(2)cos3x小正周期是（ ）A、 B、 C、 D、2428不等式组 的解集是（ ）|2|30xA、 B、|x5.20|C、 D、60|x30|x29ABC 中，cosAcosBcosC 的最大值是（ ）A、 B、 C、1 D、388230双曲线 的左焦点为 F，点 P为左支下半支2xy异于顶点的任意一点，则直线 PF的斜率的变化范围
26、是（ ）A、 (,0)B、 1C、 (,)D、31已知 ，且 ， ，则1cxc1yc之间的大小关系是（ ）,xyA、 B、 C、 D、与 c的值有关32已知三棱锥 P-ABC的侧面与底面所成二面角都是 ，60底面三角形三边长分别是 7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）A、 B、 C、 D、1254651833 （07 全国理 12）设 F为抛物线 的焦点，24yxA、B、C 为该抛物线上的三点，若 ，0AB则 等于（ ）FA、9 B、6 C、4 D、334 （07 海南、宁夏理 11文 12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20次，三人测试成绩如下表:甲的成绩 乙的成绩 丙的成
27、绩环数 7 8 9 10 7 8 9 10 7 8 9 1010频数 5 5 5 5 6 4 4 6 4 6 6 4分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，123,S则有（ ）A、 B、 21312SC、 D、3S35 （07 福建理 12）如图，三行三列的方阵中有 9个数（i=1,2,3;j=1,2,3） ，从中ija任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A、 B、 374C、 D、136 （07 湖北理 9）连续投掷两次骰子的点数为 ，记向,mn量 b=（m，n）与向量 a=（1，-1）的夹角为 ，则的概率是（ ）0,2A、 B、 C、 D、51725637若 ，28 10
28、01()()()xaxax则 =（ ）1aA、-3 B、3 C、2 D、-238 （06 全国理 8）抛物线 上的点到直线2yx的距离的最小值是（ ）40xyA、 B、 C、 D、3375839 （广东 05理 10）已知数列 满足 ，nx12x， ，若 ，12()nnx3,4 limn则 =（ ）A、 B、3 C、4 D、540已知 ， 为(21)()nnabNnba、整数，则 的值（ ）nbA、必为奇数 B、必为偶数 C、与 的奇偶性相反 D、与 的奇偶性相同n41如果 的定义域为 R， ()fx且 ，21()fflg32，则 =（ ）()lg35208A、1 B、-1 C、 D、-lg3-lg5l42有编号为 1、2、3、4 的四个小球放入有同样编号的四个盒子中，每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有（ ）A、9 B、16 C、25 D、3643如图所示是某城市的网格状道路，中间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从城市的西南角的 A 处要到达东北角的 B 处，最短的路径有多少条？（据加拿大数学竞赛题改编）A、210 B、110 C、24 D、20612133a
