1、三角函数任意角的三角函数一、角的概念的推广1与角 终边相同的角的集合为 2与角 终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在 x 轴上的角的集合为 ，终边在 y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180 弧度，1 弧度，1 弧度 8弧长公式：l ；扇形面积公式：S .二、任意角的三角函数9定义：设 P(x, y)是角 终边上任意一点，且 |PO| r，则 sin ； cos ；tan
2、；知识网络任意角的三角函数三角 函 数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx , ycosx 的图象和性质y tanx 的图象和性质yAsin( x )的图象已知三角函数值求角10三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式 ysinx ycosx ytanx定义域值 域13三角函数线：在图中作出角 的正弦线、余弦线、正切线同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角公式：(1) 平方关系：sin 2cos 21，1tan
3、 2 ，1cot 2 (2) 商数关系：tan ，cot (3) 倒数关系：tan 1，sin 1，cot 12诱导公式： 2 2k sincos 223sincos规律：奇变偶不变，符号看象限 +cosx, sinx, tanx, xyO xyO xyOxyO基础过关3同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式4诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为 090 角的三角函数值例 1. 已知 f()= )sin()ta(ta2cosin;（1）化简 f( );（2）若 是第三象限角，且 cos
4、 5123，求 f()的值.例 2求值：(1) 已知 53)7cos(,2，求 )2cos(的值2) 已知 1tan，求下列各式的值 sins； 2cosini例 3. 已知 02x，sin x cos x 51 （1）求 sin xcos x 的值 （2）求xtan1sii的值1基本公式 sin()sin coscos sin cos() ; tan() .2公式的变式tantantan ( )(1tan tan) 1tan tan )tan(3常见的角的变换：2() () ； 2 () () ( 2)( ) ； )4()(x 2典型例题例 1求2sin50+sin10(1+ 3tan10)
5、 80sin2的值.变式训练 1：(1)已知 ( 2, )，sin = 5,则 tan( 4)等于（ ）A. 7 B.7 C. 71 D.7例 2. 已知 ( 4， 3)， (0， 4), cos( 4) 53，sin( 4) 135，求 sin()的值变式训练 2：设 cos（ 2）= 91，sin （ 2 ）= 3，且 2 ，0 2，求 cos（ +）.二倍角的正弦、余弦、正切1基本公式：sin2 ；cos2 ；tan2 .2公式的变用：1cos2 ；1cos2 例 1. 求值： 140coscs2)21(40in变式训练 1： )1i(o(cos 2sin ) （ ）A 23 B C 1
6、 D 23 典型例题典型例题基础过关例 2 已知 为锐角，且 21tan，求 2cosinis的例 3已知 xxxf cosisi3)(2；(1) 求 )65(f的值； (2) 设 2341)(,0f，求 sin 的值变式训练 3：已知 sin( 6) 31，求 cos( 23)的值三角函数的化简和求值例 1. （1）化简： 40cos17sin)tan3(540co （2）化简： x4466cossin1例 2. 已知 0cos2sini62， 2， ，求 sin（2 3）的值例 3. 已知 tan() 21， tan- 71，且 、（0， ） ，求 2 的值.三角函数的图象与性质例 1 已
7、知函数 y=3sin )421(x（1）说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.典型例题例 2：已知函数 23cossin3)( xxxf ),(Rx的最小正周期为 且图象关于6x对称；(1) 求 f(x)的解析式；(2) 若函数 y1f(x)的图象与直线 ya 在 2,0上中有一个交点，求实数 a 的范围例3：函数 y=Asin(x+)( 0,| | 2,xR) 的部分图象如图，则函数表达式为( )A. y=-4sin )48(x B. y=-4sin 48(xC. y=4sin D. y=4si
8、n )例 4设关于 x 的方程 cos2x 3sin2xk1 在0， 2内有两不同根 ，求 的值及 k 的取值范围变式训练 4.已知函数 f (x)sin(x )(0，0 )是 R 上的偶函数，其图象关于点 M(43， 0)对称，且在区间 0， 2上是单调函数，求 和 的值三角函数的性质1函数 ysinx 的对称性与周期性的关系 若相邻两条对称轴为 xa 和 xb，则 T 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则 T 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴 xb，则 T 注：该结论可以推广到其它任一函数例 1. 化简 f (x)cos( xk2316)cos( xk2316)2 3si
9、n( 2x)(xR，kZ)并求f (x)的值域和最小正周期变式训练 1：已知函数 )12(sin)62sin(3)( xxxf )(R；（1）求函数 f(x)的最小正周期；（2）求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 例 2 已知函数 f (x) x2cos1in 求 f (x)的定义域 用定义判断 f (x)的奇偶性 在，上作出函数 f (x)的图象 指出 f (x)的最小正周期及单调递增区间例 3 设函数 )10(cos3sin)( axaxf ， )10()6tan(mxg，已知 f(x)、g(x)的最小正周期相同，且 2(g)f(1)；（1）试确定 f(x)、g(x)的解的式；（2
10、）求函数 f(x)的单调递增区间变式训练 3：已知函数 f (x) 21log(sinxcosx) 求它的定义域和值域； 求它的单调区间；典型例题 判断它的奇偶性； 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期例 4.已知函数 yacosxb 的最大值为 1，最小值是3，试确定 )(xfb sin(ax 3)的单调性三角函数的最值一、求值问题例一 若 tan =3x，tan =3 x, 且 = ，求 x 的值。 6例二 已知锐角 , , 满足 sin +sin =sin , cos cos =cos , 求 的值。 二、关于最值问题例三 已知 tan ，tan 是关于 x 的方程 的两个
11、实根，求02372mxmtan( + )的取值范围。例四若 ，求 f (x)= sinx+cosx 的最大值和最小值，并求出此时的 x 值。2x3典型例题例五 已知 f (x)=-acos2x- asin2x+2a+b，其中 a0，x 0, 时，-5f (x)1，3 2设 g(t)=at2+bt-3，t -1,0，求 g(t)的最小值。例六 试求函数 的最大值和最小值，若cosin2cosinxxy呢？2,0x变式训练 2：求函数3()cos(incs),4fxxx的最大值和最小值小结：1求三角函数最值的方法有： 配方法；化为一个角的三角函数； 数形结合； 换元法； 基本不等式法2三角函数的最
12、值都是在给定区间上取得的因而特别要注意题设所给出的区间3求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性4含参数函数的最值，解题要注意参数的作用巩固练习1. 函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）sin2cos263yxxA B C D,1, 2,12,2. 若函数 ，则 是（ ）21sinfxxRfxA最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数 3. 已知集合 ，cosin,02,tansiEF那么 为区间（ ）FA B C D,23,43,235,44. 求函数 的最小正周期、最大值和最小值。2sincosincoxxf5. 求函数 的单调区间。2sin4yx6. （1）求函数 的定义域。 （2）求lg2sin12cosyxx的定义域。lsincoyx。7. 求下列函数的最小正周期。（1） ；（2） ；tancotyxsinsin,063ykxkx8. 已知函数 ，求 的定义域，判断它的奇偶性，并求426cos5in4xffx其值域。9. 已知向量 ， 定义函数2sin,co,3cos,2mxx
