1、 习题 2 (1-5 题)1. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：(1) ；0cosx(2) ；3(3) ；inxe(4) 。02解：(1) (A)cosx， ,f)( 0sin1)(xf ),(,0s 01cos)co方程(A) 有唯一根 ,*(2) (B) cos3x, , 时f)(0sin3)(xf ),(，10s0 01cos31)(f方程(B) 有唯一根 ,*(3) (C)sinxe, xfsi)(1xef)(2方程(C) 有无穷个正根，无负根在 内有一根 ，且2,k)(1kx02lim)(1kx在 内有一根 ，且, )(2)(li)k(示图如下 ) 3,210)(2
2、xf1234x(4) (D) 02xe y2 )(1xf1 ,)(21xfxf)( 2方程(D) 有唯一根 1 1,0*x当 时 (D)与方程0x(E) 2xe2xey同解 2当 时 (E)无根 10x2. 给定方程 ； 122x(1)试用二分法求其正根，使误差不超过 0.05；(2)若在 0 , 2上用二分法求根，要使精确度达到 6 位有效数，需二分几次？解： 012x1) , ,)(f 1)(f 025.).(f 1)(f, 25.1*x618034.25*x1.75(+) 2(+) )(.1.625(+) 1.75(+)511.5625(+) 1.625(+) )(.1.625(+) 6
3、2)(9375.1020.15.( 6.937.*x2 位有效近似值为 1.6 2) ， 0a20b)(21kkckabx1*， 5021k5060.12ln1只要 2 等分 18 次3. 为求 的正根，试构造 3 种简单迭代格式，判断它们是3x否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有 3 位有效数的近似根。解： )5(5)(23xf32x当 时， ; 当 时 35x0)(xf350)(xf1)( f， 03513f 03)(f， )4(2)9)5y2 3 35x由草图可知唯一正根 )3,2(*x(1) ， ， ,35x51)3(51x构造迭代格式 (I) )3(1kkx21当 , 迭代格式(
4、I)发散32x52)2) , , 构造迭代格式53x， (II)1kk，325)(x3222 )5(1)5(3) xx当 时 ,132516935)2(135)(2 x当 时,218,5)(,)( 33322 x迭代格式(II) 对任意 均收敛,0x3) ， x52x构造迭代格式 (III)531kkx， 53)(x 5312)(2)213 xxx当 时,215832135231)(23 xx当 时 ,2x ,.6,)(,)(3 迭代格式(III) 对任意 均收敛320x4) 01453.695)(ma232x53,2min23in1)(2 x068.9,5.64i取格式(III) 31kkx
5、， ， ， 5.20x489.4905.249086.23x49.2*x4. 用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有 3 位有效02.3x数。解： .)1(2.0)(3xf 31当 时， ，3x0)(xf*1y*32x1 2 3x当 时 1x0)(xf 02.32.3)( f2.0，0.3)1(f 2.)1(f 8.5208)(f， 2.0f .3.04( f， ，31,*1x,21*x2,*3x1) .0迭代格式 ，.031kx, 2.)(3x)(2当 时， ，0,21x43)(x0,21.,081,)( 任取 迭代格式收敛于 0,21x*2x取 得 , ,5.156.x105.2096
6、4.3x9644x09*22) , .033.迭代格式 1kkx, 32.0)(x322).0(1).0(3)x当 时 ,1,.,1,( 31)2.03)(x任意 迭代格式收敛于 ,1*3x取 计算得 ， ，5.0x1948.x1695.2，0630, 7.5.x91*3x3) x2.01.迭代格式 (III)kkxx2.012.01)(xxxx 2.01).().(2)( 221当 时 31,x 32.01,.)(),( 1,84.,9.0, xxg2.1)(221).0().(.0 xx.12).1(x21).0(3.2().04(.0 xx当 时，31,xxg2.0)(g当 时31,x3
7、71.02.1)3(.0)gx迭代格式(III)对任意 均收敛于 ，取 ，3,0x*x8.0计算得 , , 8625.1x87691.761.3, 744*1x5. 已知 在区间 内有且只有一个根，而当 时，)(baaxb1kx(1)试问如何将 化为适用于迭代的形式？)(x(2)将 化为适用于迭代的形式，并求 (弧度) 附近的根。tan5.4x解：(1) 由 dyx1将 改写为 , 则 )()(1xdx)(1)(当 时， ，这时迭代格式为,bax)(1kdx，1k,20是局部收敛的。(2) 由图可知 xtan在 附近有一根，但 5.4x tgxtgx50.2).(cos1|)(tan.将 改写为 xt27123.4xxarctn)(21x当 时 3, xyarctn且 2,)(x2t1)(23迭代格式 ，kkxxarctn1,210对任意 均收敛23,0取 得 ， ，5.4x97.14932.2x49310.x具有 5 位有效数的根为 *
