1、1二面角求法之面面观二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼” ，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点， “求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源” ，万变不离其宗， “树高千尺，叶落归根” ，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.例
2、1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD-C1 的正切值为 .分析与略解：“小题”不必“大做” ，由图 1 知所求二面角为二面角 C-BD-C1 的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知COC 1是二面角 C-BD-C1 的平面角，且 tanCOC1= 。2将题目略作变化，二面角 A1-BD-C1 的余弦值为 .在图 1 中，A 1OC1 是二面角 A1-BD-C1 的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cosA1OC1= 3例 2(2006 年江苏试题)如
3、图 2(1)，在正三角形 ABC中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图 2(2)，将AEF 折起到A 1EF 的位置，使二面角 A1-EF-B 成直二面角，连接 A1B、A 1P.()与( )略；()求二面角 B-A1P-F 的余弦值。分析与略解：在例 1 中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取 BP 的中点 Q，连接 EQ，则在正三角形 ABC 中，很容易证得BEQPEQPEFAEF，那么在图 2(2)中，有 A1Q=A1F.作 FMA 1P 于 M，连接 QH、QF，则易得
4、A1QP A1FP，QMPFMP，所以PMQ= PMF=90o， QMF 为二面角 B-A1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为 3，依次可求得 A1P= ，QM=FM= ，在552QMF 中，由余弦定理得 cosQMF= 。87练习：2011 广东高考理 18.(本小题满分 13 分)如图 5.在锥体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的菱形，DB1图 1AOA1CBD1 C1O1MAFA1QP B CECB PEF图 2(2)图 2(1)Q2且DAB=60 ， 2PAD,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点.(1) 证明：AD 平面 DEF; (
5、2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值.解：(2) 由（1）知 为二面角 的平面角，GBPAB在 中， ；在 中，Rt217()4RtGA；223()4BG在 中， .P221cos 7PBG2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.此法最基本的一个模型为：如图 3，设锐二面角 ，过面l内一点 P 作 PA 于 A，作 ABl 于 B，连接 PB，由三垂线定理得 PBl，则PBA 为二面角 的平面角，故称此法为三垂线法 .最重要的是在“变形(形状改变 )”和“变位(位置变化) ”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图
6、3 中的 RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例 3(2006 年陕西试题)如图 4，平面 平面 ， =l，A ，B ，点 A 在直线 l 上的射影为 A1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2，AA 1=1，BB 1= ，求：2()略；() 二面角 A1ABB 1 的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为 AB，不像图 3 的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作 A1EAB 1 于 AB1 于 E，则可证 A1E平面 AB1B.过 E 作 EFAB 交 AB 于 F，连接 A1F，则得 A1FAB，
7、A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB1=B1B= ，A 1B= ，A 1E= ，A 1F= ，则在 RtA 1EF 中，2 323sinA 1FE= = .A1EA1F 63与图 3 中的 RtPAB 比较，这里的 RtA 1EF 就发生了“变形”和“变位” ，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3 垂面法事实上，图 1 中的平面 COC1、图 2(2)中的平面 QMF、图 3 中的平面 PAB、图 4 中的平面 A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.A图 3PBl图 4B1A A
8、1BlEFP图 5lC BAPABCDFG E3例 4 空间的点 P 到二面角 的面 、 及棱 l 的距离分别l为 4、3、 ，求二面角 的大小.92l分析与略解：如图 5，分别作 PA 于 A，PB 于 B，则易知l平面 PAB，设 l平面 PAB=C，连接 PC，则 lPC.分别在 RtPAC、RtPBC 中，PC= ，PA=4 ，PB=3，则 AC= ，BC= .392325因为 P、A、C、B 四点共圆，且 PC 为直径，设 PC=2R，二面角 的大小为 .l分别在PAB 、 ABC 中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos =PA2+PB2-2PAPBcos( )，则
9、可解得 cos = ， =120o，二面角 的大小为 120o.1l4 面积法如图 1，设二面角 C-BD-C1 的大小为 ，则在 RtCOC 1 中，cos，在某些情况下用此法特别方便.BDCSOC1112例 5 如图 6，平面 外的A 1B1C1 在 内的射影是边长为 1 的正三角形 ABC，且AA1=2， BB1=3，CC 1=4，求A 1B1C1 所在的平面与平面 所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在 BB1、CC 1 取 BD=CE=AA1，则A 1B1C1 A1DE，可求得 A1B= ，A 1C1= ，B 1C1=25，所以等腰A 1B1C1 的
10、面积为 ，又正ABC 的面积为 .24543设所求二面角的大小为 ，则 cos = .5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化， “源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5.1 “无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的， “无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例 5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.D A M图 6ECBC1A1B1 HG4在例 5 中，延长 C1B1 和 C1A1 分别交 CB 和 CA 的延长线于 G、H，连 GH.作 C
11、MGH 于 M，连 C1M，C 1MGH，则CMC 1 是所求二面角的平面角.由平几知识得 CG=4，CH=2 ，则 CGH 的面积为 ，又CGH 的面积为 CHCM.3221又由余弦定理得 GH= ，所以 CM=2，则在 RtCMC 1 中，cos = .32 5在原图中，面 A1B1C1 与 的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例 5 的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以
12、决不要忽视找棱法.5.2 有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.例 6 二面角 -l- 的大小是变量 ，点 B、C 在 l)20(上，A、D 分别在面 、 内，且 ADBC，AD 与面 成 角，若6ABC 的面积为定值 S，求BCD 面积 Q 的最大值.分析与略解：如图 9，作 AEBC 于 E，连 DE，则由 ADBC 得BC平面 ADE，则 DEBC，AED= ，ADE= .6在AED 中，由正弦定理得 ，所以 ，sin)(AD )6sin(2,6sin)(SQS则当 时，有 Qmax=2S.3BCD 和ABC 有公共的底边 BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.图 7E DCBAl
