1、第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的 三角函数,+k360,kZ,射线,旋转,象限角,正角,负角,零角,1.角的有关概念,2.弧度的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_. 弧度记作rad.,1弧度的角,(2)公式：,r|,3.任意角的三角函数 (1)定义:设角终边与单位圆交于P(x,y),则_=y, _=x,tan=_.,sin,cos,如图所示，则正弦线为_，余弦线为_，正切线为_(用字 母表示).,(2)三角函数线：,MP,OM,AT,(3)诱导公式(一)： sin(+k2)=_，cos(+k2)=_， tan(+k2)=_(kZ). (4
2、)同角三角函数的基本关系： 平方关系:_, 商数关系:_.,sin ,cos ,tan ,sin2+cos2=1,判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”). (1)小于90的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ或2k+45，kZ.( ),(4)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.( ) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) (6)点P(tan ，cos )在第三象限，则角终边在第二象限.( ),【解析】(1)错误.负角小于90但它不是锐角. (2)错误.第一象限角不一定是锐角，如-350是第一
3、象限角，但它不是锐角. (3)错误.不能表示成2k+45，kZ，即角度和弧度不能混用.,(4)错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60. (5)正确.由诱导公式(一)可知或由三角函数的定义可得. (6)正确.由已知得tan 0，cos 0，所以为第二象限角. 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.终边落在第二象限的角可表示为( ) (A)|90+2k180+2k，kZ (B)| +2k+2k，kZ (C)|90+k180180+k180，kZ (D)| +k+k，kZ 【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时不成立，故选B.,2.已知sin 0，t
4、an 0，那么角是( ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 【解析】选C.由sin 0，则的终边在三、四象限，或y轴负半轴.由tan 0，则的终边在一、三象限，故是第三象限角.,3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) (A)2 (B)sin 2 (C) (D)2sin 1 【解析】选C.由r= l=|r=2r可得l=,4.已知角终边上一点A(2,2)，则tan =_. 【解析】tan = 答案:1,5.若tan =2，则 =_. 【解析】 又tan =2， 答案:,考向 1 三角函数的定义 【典例1】(1)若是第三象限的角，则
5、- 是( ) (A)第一或第二象限的角 (B)第一或第三象限的角 (C)第二或第三象限的角 (D)第二或第四象限的角,(2)(2013徐州模拟)若点P(m，n)是1 110角的终边上任意 一点，则 的值等于_. (3)已知角的终边上一点P( m)，m0,且sin = 求cos ,tan 的值.,【思路点拨】(1)由为第三象限角可得- 的范围，对 k取不同的值可解. (2)由P点在1 110角的终边上可得m，n的关系式，代入所求 式子可解. (3)先由sin = 结合三角函数的定义建立关于参数m的方 程，求出m的值，再根据定义求cos ，tan 的值.,【规范解答】(1)选B.由+2k kZ,当
6、k为偶数时在第一象限，当k取奇数时在第三象限，故选B.,(2)由1 110=3360+30,答案:,(3)由题设知 y=m， r2=|OP|2=( )2+m2,O为原点， 得,【互动探究】将本例题(3)中“sin = ”改为“tan ”，如何求sin ，cos ？ 【解析】由已知得，tan =,【拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解. (2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.,【变式备选】已知角的终边在直线3x+4y=0上，求
7、sin , cos ,tan 的值. 【解析】角的终边在直线3x+4y=0上， 在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0), 则x=4t,y=-3t,考向 2 弧度制的应用 【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角为120，半径r=6， 求 的长及扇形面积. (2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最 大面积，最大面积是多少？,【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式求解. (2)利用扇形周长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径r的二次函数求最值. 【规范解答】(1)=120= l=r= 6=4， S= lr= 46=12.,(2)由已知得l+2r=2
8、0， S= lr= (20-2r)r =10r-r2=-(r-5)2+25， 所以r=5时，Smax=25, 此时，l=10，= =2(rad).,【互动探究】本例题(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？ 【解析】由题(1)解析得S弓=S扇形-S=故弓形的面积为,【拓展提升】弧度制应用的关注点 (1)弧度制下l=|r，S= lr，此时为弧度.在角度制下， 弧长l= 扇形面积S= 此时n为角度，它们之间有着 必然的联系. (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所 在的三角形.,【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角的大小.
9、(2)求角所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 【解析】(1)由O的半径r=10=AB，知AOB是等边三角形， =AOB=60=,考向 3 同角三角函数关系式的应用 【典例3】(1)(2012辽宁高考改编)已知sin -cos = (0，)，则sin=( )(2)已知tan =2. 求： 4sin2-3sin cos -5cos2.,【思路点拨】(1)利用平方关系与已知条件联立方程组可解. (2)将所求式子“弦”化“切”，代入已知可求；也可由已知“切”化“弦”后代入所求式消元求解. 将所求式子分母看作“1”,利用平方关系“1”代换而后转化为“切”,代入已知求解.,【规范解答】(1)选C.
10、 得sin2+(sin - )2=1， 即2sin2-2 sin +1=0， 即( sin -1)2=0，sin =,方法二：由tan =2得，sin =2cos ，故4sin2-3sin cos -5cos2=1.,【拓展提升】求解关于sin ，cos 的齐次式问题的关注点 (1)如果三角函数式不是关于sin ，cos 的齐次式，可通过化简转化为齐次式. (2)因为cos 0,所以可用cosn(nN*)除之，这样可以将被求式化为关于tan 的表达式，可整体代入tan =m，从而完成被求式的求值运算. (3)注意1=sin2+cos2的应用.,【变式训练】已知 x0，sin x+cos x=
11、(1)求sin x-cos x的值. (2)求tan x的值.,【解析】(1)由sin x+cos x= 平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x= 即2sin xcos x= (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= 又 x0，sin x0，cos x0，sin x-cos x0，故sin x-cos x=,(2)由(1)得sin x-cos x=,【易错误区】 三角函数定义中忽略分类讨论致误 【典例】(2013天津模拟)已知角的终边上一点 P(3a，4a)(a0),则sin =_. 【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取
12、值情况，没有分类讨论，从而求出r=5a，导致结果错误.,【规范解答】x=3a,y=4a,r= =5|a|. (1)当a0时，r=5a，sin = (2)当a0时，r=-5a，sin = sin = 答案:,【思考点评】 1.任意角的三角函数的定义 对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边经 过点P(x，y)，|OP|=r= 则sin = cos = tan =,2.分类讨论思想的应用 对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.,1.(2013合肥模拟)已知点P(sin ，cos )在
13、第四象限，则角的终边在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选B.P(sin ，cos )在第四象限， ,2.(2013滨州模拟)sin 330等于( )【解析】选B.sin 330=sin(360-30)=-sin 30=,3.(2012江西高考改编)若 则sin cos =( )【解析】选D.sin cos =,4.(2013龙岩模拟)已知角的终边经过点P(x，-6)，且 tan =- ，则x的值为_. 【解析】根据题意 所以x=10. 答案：10,5.(2012洛阳模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_. 【解
14、析】设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 则 答案:2,1.设 则x的取值范围是( ),【解析】选B.由|sin x+cos x|=sin x+cos x，sin x+cos x0. 由三角函数线可知，当x0， 时显然成立， 故排除C，D，又当x 时sin x+cos x0，故排除A，故选B.,2.已知tan ， 是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个根, 且3 则sin +cos =_. 【解析】,3 sin 0，cos 0，k0，k=2， sin cos = 2sin cos =1, sin2+cos2+2sin cos =2, (sin +cos )2=2, 又sin +cos 0，sin +cos = 答案:,
