卫星问题分析.doc

1、第 - 1 - 页 共 29 页卫星问题分析一、难点形成原因：卫星问题是高中物理内容中的牛顿运动定律、运动学基本规律、能量守恒定律、万有引力定律甚至还有电磁学规律的综合应用。其之所以成为高中物理教学难点之一，不外乎有以下几个方面的原因。1、不能正确建立卫星的物理模型而导致认知负迁移由于高中学生认知心理的局限性以及由牛顿运动定律研究地面物体运动到由天体运动规律研究卫星问题的跨度，使其对卫星、飞船、空间站、航天飞机等天体物体绕地球运转以及对地球表面物体随地球自转的运动学特点、受力情形的动力学特点分辩不清，无法建立卫星或天体的匀速圆周运动的物理学模型（包括过程模型和状态模型） ，解题时自然不自然界的

2、受制于旧有的运动学思路方法，导致认知的负迁移，出现分析与判断的失误。2、不能正确区分卫星种类导致理解混淆 人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中高轨道卫星、地球同步轨道卫星、地球静止卫星、太阳同步轨道卫星、大椭圆轨道卫星和极轨道卫星；按科学用途可分为气象卫星、通讯卫星、侦察卫星、科学卫星、应用卫星和技术试验卫星。 。 。 。 。 。由于不同称谓的卫星对应不同的规律与状态，而学生对这些分类名称与所学教材中的卫星知识又不能吻合对应，因而导致理解与应用上的错 误。3、不能正确理解物理意义导致概念错误卫星问题中有诸多的名词与概念，如，卫星、双星、行星、恒星、黑洞；月球、地球、土星、火星、太阳；卫星的轨

3、道半径、卫星的自身半径；卫星的公转周期、卫星的自转周期；卫星的向心加速度、卫星所在轨道的重力加速度、地球表面上的重力加速度；卫星的追赶、对接、变轨、喷气、同步、发射、环绕等问题。 。 。 。 。 。因为不清楚卫星问题涉及到的诸多概念的含义，时常导致读题、审题、求解过程中概念错乱的错误。4、不 能正确分析受力导致规律应用错乱由于高一时期所学物体受力分析的知识欠缺不全和 疏于深化理解 ，牛顿运动定律、圆周运动规律、曲线运动知识的不熟悉甚至于淡忘，以至于不能将这些知识迁移并应用于卫星运行原理的分析，无法建立正确的分析思路，导致 公式、规律的胡乱套用，其解题错误也就在所难免。5、不能全面把握卫星问题的

4、知识体系，以致于无法正确区分类近知识点的不同。如，开普勒行星运动规律与万有引力定律的不同；赤道物体随地球自转的向心加速度与同步卫星环绕地球运行的向心加速度的不同；月球绕地球运动的向心加速度与月球轨道上的重力加速度的不同；卫星绕地球运动的向心加速度与切向加速度的不同；卫星的运行速度与发第 - 2 - 页 共 29 页射速度的不同；由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同；天体的自身半径与卫星的轨道半径的不同；两个天体之间的距离与某一天体的运行轨道半径的不同。 。 。 。 。只有明确的把握这些类近而相关的知识点的异同时才能正确的分析求解卫星问题。二、难点突破策略：（一）明确卫星的概念与适

5、用的规律： 1、卫星的概念：由人类制作并发射到太空中、能环绕地球在空间轨道上运行（至少一圈）、用于科研应用的无人或载人航天器，简称人造卫星。高中物理的学习过程中要将其抽象为一个能环绕地球做圆周运动的物体。2、适用的规律：牛顿运动定律、万有引力定律、开普勒天体运动定律、能量守恒定律以及圆周运动、曲线运动的规律、电磁感应规律。均适应于卫星问题。但必须注意到“天上”运行的卫星与“地上”运动物体的受力情况的根本区别。（二）认清卫星的分类：高中物理的学习过程中，无须知道各种卫星及其轨道形状的具体分类，只要认清地球同步卫星（与地球相对静止）与一般卫星（绕地球运转）的特点与区别即可。（1） 、地球同步卫星：

6、、同步卫星的概念：所谓地球同步卫星，是指相对于地球静止、处在特定高度的轨道上、具有特定速度且与地球具有相同周期、相同角速度的卫星的一种。、同步卫星的特性：不快不慢-具有特定的运行线速度（V=3100m/s） 、特定的角速度（=7.26x10 -5 ra d/s ）和特定的周期（T=24 小时） 。不高不低-具有特定的位置高度和轨道半径，高度 H=3.58 x107m, 轨道半径r=4.22 x107m.不偏不倚-同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，轨道中心与地心重合，只能静止在赤道上方的特定的点上。证明如下：如图 4-1 所示，假设卫星在轨道 A 上跟着地球的自转同步地匀速圆周运动，

7、卫星运动的向心力来自地球对它的引力 引 ， 引 中除用来作向心力的 1 外，还有另一分力第 - 3 - 页 共 29 页 2，由于 2 的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。由 得RmMG2232GMh=R-R 地 是一个定值。(h 是同步卫星距离地面的高度)因此，同步卫星一定具有特定的位置高度和轨道半径。、同步卫星的科学应用：同步卫星一般应用于通讯与气象预报，高中物理中出现的通讯卫星与气象卫星一般是指同步卫星。（2） 、一般卫星：、定义：一般卫星指的是，能围绕地球做圆周运动，其轨道半径、轨道平面、运行速度、运行周期各不相同的一些卫星。、 、卫星绕行速

8、度与半径的关系：由 得： 即 (r 越大 v 越小)rvmMG22rGMrv1、 、卫星绕行角速度与半径的关系：由 得： 即 ；（r 越大 越小）2233、 、卫星绕行周期与半径的关系：由 得： 即 （r 越大越大） ，22TmrGGr243T（3）双星问题两颗靠得很近的、质量可以相比的、相互绕着两者连线上某点做匀速圆周运的星体，叫做双星双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供由于引力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比（三

9、）运用力学规律研究卫星问题的思维基础： 光年，是长度单位，1 光年= 9.4610 12 千米认为星球质量分布均匀，密度 ，球体体积 ，表面积MV34R24SR地球公转周期是一年（约 365 天，折合 8760 小时） ，自转周期是一天（约 24 小时） 。月球绕地球运行周期是一个月（约 28 天，折合 672 小时；实际是 27.3 天）图 4-1第 - 4 - 页 共 29 页围绕地球运行飞船内的物体，受重力，但处于完全失重状态。发射卫星时，火箭要克服地球引力做功。由于地球周围存在稀薄的大气，卫星在运行过程中要受到空气阻力，动能要变小，速率要变小，轨道要降低，即半径变小。视天体的运动近似看

10、成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即 vmTrrvmarMGgm 2222 4向应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。天体质量、密度 的估算：测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径 r 和周期，由 得： ， （当卫星绕天体表面rTr22234GT32RTrVM运动时，=3/GT 2）发射同步通讯卫星一般都要采用变轨道发射的方法：点火，卫星进入停泊轨道（圆形轨道，高度 200300km） ，当卫星穿过赤道平面时，点火，卫星进入转移轨道（椭圆轨道） ，当卫星达到远地点时，点火，进入静止轨道（同步轨道） 。如图 4-2 所示。明确三个宇宙速度：第一宇宙速度（环绕速度）：v=7.9 千米

11、秒；（地球卫星的最小发射速度）第二宇宙速度（脱离速度）：v=11.2 千米秒；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）第三宇宙速度（逃逸速度）：v=16.7 千米秒。 （卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）人造卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的，但是发射高度大的卫星克服地球的引力做功多，所以将卫星发射到离地球远的轨道，在地面上的发射速度就越大。三、运用力学规律研究卫星问题的基本要点1、必须区别开普勒行星运动定律与万有引力定律的不同（1） 开普勒行星运动定律开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道均是椭圆，太阳处在这些椭圆轨道的一个公共焦点上。开普勒第二定律（面积定律）：太阳和运动着的行星

12、之间的联线，在相等的时间内扫过的面积总相等。开普勒第三定律（周期定律）：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。若用 r 表示椭圆轨道的半长轴，用 T 表示行星的公转周期，则有 k=r3/T2 是一个与行星无关的常量。开普勒总结了第谷对天体精确观测的记录，经过辛勤地整理和计算，归纳出行星绕太阳运行的三条基本规律。开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容。开普勒定律为万有引力定律的提出奠定了理论基础，此三定律也是星球之间万有引力作用的必然结果。（）万有引力定律B同步轨道地球 A图 4-2第 - 5 - 页 共 29 页万有引力定律的内容是：宇宙间一切物体都是相互吸引的，

13、两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们间的距离的平方成反比。万有引力定律的公式是：F= ， （=6.67 11 牛顿米 2千克 2，叫作万有引力恒量） 。21rmG万有引力定律的适用条件是：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时公式也近似适用，但此时它们间距离 r 应为两物体质心间距离。（3）开普勒行星运动定律与万有引力定律的关系：万有引力定律是牛顿根据行星绕太阳（或恒星）运动的宇宙现象推知行星所需要的向心力必然是由太阳对行星的万有引力提供，进而运用开普勒行星运动定律推导发现了万有引力定律. 开普勒行星运动定律是万有引力定律的理论基础。开

14、普勒行星运动定律从轨道形状、运动速度、转动周期、轨道半径等方面描述、揭示了行星绕太阳（或恒星）运动的宇宙现象，表明了天体运动运动学特征和规律。万有引力定律是从行星转动所需要的向心力来源与本质上揭示了行星与太阳（或恒星）以及宇宙万物间的引力关系，描述的是行星运动的动力学特征与规律。例 1：世界上第一颗人造地球卫星环绕地球运行轨道的长轴比第二颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴短 8000km, 第一颗人造地球卫星环绕地球运转的周期是 96.2min,求第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴和第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期（已知地球质量.X10 24kg）.【审题】本题中第一颗人造地球卫星环绕地球

15、轨道的长轴与第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期均是待求量，仅由开普勒行星运动定律难以求解。因此可以假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出引卫星的 R3/T2，又由开普勒第三定律知，所有绕地球运行的卫星的 r3/T2 值均相等，只要把假想卫星的R3/T2 题中的二卫星的 r3/T2 值相比较即可求得结论。【解析】假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由于万有引力提供向心力，则GMm/R2=m4 2 R /T2 解之得 K= R3/T2=GM/4 2，再设第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴为 a, 第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期为 T，由开普勒第三定律得 K =（a/2

16、） 3/T12 =（a/2+4000） 3/T22由以上二式得，a=1.4710 7m. T2=96.3 min.【总结】由于此题中有两个待求物理量，单纯地运用万有引定律或开普勒行星运动定律难以求解，故而联立两个定律合并求解。同时，再假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出卫星的 R3/T2，由开普勒第三定律得知所有绕地球运行的卫星的 r3/T2 值均相等，找出等量关系即可求解。这种虚拟卫星的思路十分重要，也是此题求解的切入口。例 2：如图 4-3 所示，在均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2 的球形空穴后，对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距 d 的质点 m

17、的引力是多大？图 4-3第 - 6 - 页 共 29 页【解析】 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解完整的均质球体对球外质点 m 的引力此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1与半径为 R/2 的小球对近质点的引力 F2之和，即 F=F1+F2。因为半径为 R/2 的小球质量 M= ；则MR81)2(34，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力222 )/(8)/(RdMGRdm为:【总结】如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解这是不正确的万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间

18、，但计算万有引力的简单公式 却只能适应于两个质点或均匀21rmGF的球体。挖去空穴后的剩余部分已不再是均质球了，故不能直接使用上述公式计算引力。2、必须区别开普勒第三行星定律中的常量 K 与万有引力定律中常量 G 的不同（1）开普勒第三定律中的常量 K：开普勒第三定律中的常量 K= r3/T2，对于行星与太阳的天体系统而言，常量 K 仅与太阳的质量有关而与行星的质量无关。此规律对于其它的由中心天体与环绕天体组成的天体系统同样适用。常量 K 仅由中心天体的质量决定而与环绕天体的质量无关。中心天体相同的天体系统中的常量 K 相同，中心天体不同的天体系统的常量 K 也不同。“K= r3/T2=常量”

19、的伟大意义在于启发牛顿总结、发现了万有引力定律。（2）万有引力定律中的常量 G：万有引力定律中的常量 G 是由万有引力定律 F= 变形求出的，G=F 21rmr2/m1m2，数值是 G=6。6710 -11Nm2/Kg2.是卡文迪许扭秤实验测出的，适用于宇宙间的所有物体。万有引力定律中的常量 G 的测定不仅证明了万有引力的存在，更体现了万有引力定律在天文研究中的巨大价值。（3）常量 K 与常量 G 的关系：常量 K 与常量 G 有如下关系，K= GM/4 2，或者 G=4 2/GM。K 的值由中心天体的质量而定，而常量 G 则是一个与任何因素无关的普适常量。例 3：行星绕太阳运转的轨道是椭圆，

20、这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道，试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星，绕太阳公转轨道半径的立方与运转周期的平方的比值为常量。论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适用于地球与月球的系统？ 第 - 7 - 页 共 29 页【审题】 本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时，只要运用万有引力定律和向心力公式即可证明得出结论。【解析】 因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供，设太阳质量为 M，行星的质量为 m，行星绕太阳运转轨道的半径为 r，运行周期为 T，则，GMm/r2=m4 2r/T2,故，r 3/T2=GM/4 2，即，K= GM/4 2。显然

21、，由于太阳质量一定，K 的数值仅由太阳质量 M 决定，与其它因素无关。这一结论适用于地球与月球系统，也适用于其它中心天体与环绕天体组成的天体系统。【总结】开普勒第三定律中的常量 K 与万有引力定律中的常量 G 的这种关系（K= GM/4 2，或者 G=4 2/GM）可以用来方便的求解卫星类的问题，作为一种解题的切入口应在解题过程中予以重视。3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同（1）地球对地面物体的万有引力：地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的公式 F= 决定，其方向总是指向地心。21rmG（2）地面物体所受的重力： 处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，

22、其大小为 mg，方向竖直向下（绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心” ） 。地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大-这种现象不是超重 ，应该与超重现象严格区别开来。以地球赤道上的物体为例，如图 4-4 所示，质量为 m 的物体受到的引力为 F=GMm/R2 ，因此物体与地球一起转动，即以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为 F 向 =m R2 =mR4 2/T2.因地球自转周期较大，F 向 必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极 M 或 N 上时其重力等

23、于受到的万有引力。一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小，有时可以近似认为重力等于万有引力，即 mg= 。21rG在任何星体表面上的物体所受的重力均是 mg= ，而物体在距星体表面高度为21mh 处的重力为 mg=Gm1m2/(r+h)2（3）地面物体随地球自转所需的向心力：由于地球的自转，处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，大小是 F 向 =m 2r=mr4 2/T2( 是地球自转角速度， r 是物体与地轴间的距离，T 是地球的自转周期)，其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体，这一向心力在赤道时最大，F 大=m 2R（R 是地球半

24、径） ；在两极时最小， F 小=0。图 4-4第 - 8 - 页 共 29 页因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图 4-5所示实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图 4-5 所示这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力在赤道上时这些力在一条直线上当在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿

25、第二定 律可得其动力学关系为 ，式中222 4TmRaRNMmG向R、M、 、T 分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即 N=0，这时物体做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转天体也是同样适用的。（4）万有引力、重力、向心力三者间的关系：地面物体随地球自转所需向心力 F 向 =m 2r=mr4 2/T 由万有引力 F 引=GMm/R 2提供，F 向 是 F 引的一个分力，引力 F 引的另一个分力才是物体的重力 mg，

26、引力 F 引是向心力 F 向 和重力 mg 的合力，三者符合力的平行四边形定则，大小关系是 F 引mgF 向 。例 4：已知地球半径 R=6.37106m.地球质量 M=5.981024Kg,万有引力常量 G=66710 -11 Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量 m=1Kg 的物体对弹簧秤的拉力多大？【审题】对物体受力分析如图 4-6 所示，弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力。【解析】在赤道附近处的质量 m=1Kg 的物体所受地球的万有引力为F=GMm/R2=6.6710-115.9810241/ (6.3

27、7106)2 N=9.830N此物体在赤道所需向心力为 F 向 =m 2R=mR4 2/T2=1（ ） 26.37106 N=0.0337 N。6041.3X此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为 F 拉=F-F 向 =（9.830-0.0337）N=9.796N。由牛顿第三定律可知，物体对弹簧秤的拉力为 F 拉=9.796N。亦即物体所受到的重力也是 9.796N。【总结】由计算可知，引力 F=9.830N 远大于向心力 F 向 =0.0337 N，而物体所受重力9.796N 与物体所受的万有引力 F=9.830N 相差很小，因而一般情况下可认为重力的大小等于万有引力的大小。但应该切记两点：重力一

28、般不等于万有引力，仅在地球的两极时才可有大小相等、方向相同，但重力与万有引力仍是不同的两个概念。不能因为物体随地球自转所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别。例 5：地球赤道上的物体重力加速度为 g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为 a,要使图 4-5图 4-6第 - 9 - 页 共 29 页赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) 倍A. B. C. D. gaaagag【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律，以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质为切入口,即可求出地球转动的角速度。【解析】设地球原来自转的角速度为 ，用 F 表示地球对赤道上的物体的万

29、有引力 , N1表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得 maRN21由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有 gG当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为，有 22mRF联立、三式可得 ，所以正确答案为 B 选项。12ag【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可。 例 6：假设火星和地球都是球体，火星的质量 火 和地球质量 地 之比 火 地 =p，火星的半径 火 和地球半径 地 之比 火 地 =q，那么离火

30、星表面 火 高处的重力加速度和离地球表面 地 高处的重力加速度之比等于多少？【审题】解题时要明确以下二点：一、因为已知火星的质量 火 和地球质量 地 之比 火 地 =p 以及火星的半径 火 和地球半径 地 之比 火 地 =q，故可以运用比例法进行求解。二、所求的是离火星表面 火 高处的重力加速度和离地球表面 地 高处的重力加速度之比，而不是火星表面与地球表面的重力加速度之比。【解析】 物体的重力来自万有引力，所以离火星表面 火 高处：m =G 火 m/(火g火 )2= 。离地对表面 地 高处：m =G 地 m/( 地 )2， =火g24/火火 RGM地g 地24/地地 RGM / = P/q

31、2火 地地火 /2/火地 R【总结】 由于引力定律公式中只有乘法与除法，故可以运用比例法进行求解。对星球表面上空某处的重力加速度公式 ，也可以这样理解：g和ghRGMg22星球质量成正比和该处到球心距离的平方成反比。第 - 10 - 页 共 29 页4、必须区别天体系统中中心天体与环绕天体的不同对于天体质量的测量，常常是运用万有引力定律并通过观测天体的运行周期 T 和轨道半径 r（必须明确天体的运行周期 T 和轨道半径 r 是研究卫星问题中的两个关键物理量），把天体或卫星的椭圆轨道运动近似视为匀速圆周运动，然后求解。但是必须区别天体系统中中心天体与环绕天体的不同。所谓中心天体是指位于圆周轨道中

32、心的天体，一般是质量相对较大的天体；如，恒星、行星等等。所谓环绕天体是指绕着中心天体做圆周运动的天体或者卫星以及人造卫星，一般是质量相对较小的天体或卫星。此种方法只能用来测定中心天体的质量，而无法用来测定环绕天体的质量。这是解题时必须注意的。（1）根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量，其公式推证过程是：由 mg=G 得 .（式中 M、g、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力2RMmG2加速度和天体的半径 ）（2）根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供

33、，利用牛顿第二定律得 2222 4TmrrvMmG若已知卫星的轨道半径 r 和卫星的运行周期 T、角速度 或线速度 v，可求得中心天体的质量为 Gv3232例 7：已知引力常量 G 和以下各组数据，能够计算出地球质量的是：A 地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离B 月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离C 人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期D 若不考虑地球的自转，已知地球的半径与地面的重力加速度【审题】此题中的目的是求解地球的质量，其关键在于题中所给四个情景中“地球”是否是一个 中心天体若地球是一个中心天体，则可在题中所给的四个情景中找到以地球为 中心天体、以月球或卫星为运环绕天体

34、的系统，再运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律联合求解。此外，还要注意到每一个选项中给定的两个物理量能否用得上，只有做好这样的分析判断之后，解题才能事半功倍。解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径【解析】 对 A 选项。此选项之中“地球绕太阳运转”，给定的条件是”地球绕太阳的运转周期”和”地球与太阳之间的距离” 。显然此处的”中心天体” 是太阳而非地球，地球是一个”环绕天体”， 而 已知的是地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，因此无法计算出地球的质量。故 A 选项错误.对 B 选项。在此选项中，月球绕地球运转，月球是“环绕天体” ，

35、而地球是“中心天体” ，且已知月球绕地球的运转周期 T 和月球与地球之间的距离 r，由万有引力定律与匀速第 - 11 - 页 共 29 页圆周运动的规律可得 ，故有地球质量为 M= ，显然，式中的各rTmrGM224234GTr量均为已知量，即地球质量由此式可计算出来。故 B 选项正确。对 C 选项。在此项中人造地球卫星是“ 环绕天体“，而地球则是中心天体，又已知人造地球卫星的运行速度 v 和运动周期 T，由万有引力定律与匀速圆周运动规律可得 和 ，又因为此人造地球卫星是” 近地“卫星，则hRm22)( 224)(h1） 。为了解:1:N释 T 与 T0之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在

36、宇宙中可能存在着一种用望远镜观测不到的“暗物质” ，作为一种简化的模型，我们假定认为在这两个星体的边线为直径的球体内部分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物质的密度。【审题】 “双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型，求解“双星”问题时必须注意到双星之间的距离 L 与两球体各自作匀速圆周运动的轨道半径 r 的本质区别与内在关系，并建立双星的空间运动模型，然后依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求解即可。【解析】 （1）由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力，且因二者的质量相等，故各自的运动半径均为

37、，设各自的运行速度为 v，由万有引力定律得2L= ，即得 V= .2LGm/2VGm周期得公式可得，双星得运动周期为 = =0TVL2/.Gm（2）此“双星”各在半径为 的圆形轨道上运动，由实际得天文观测知，其实际运行的周期为 ， （N1） ，即实际运动周期 T1） ，则 = = ，把 V= 和 =T:01:NT01NVLGm2V代入此式可得暗物质得总质量为 M= 。LmMG2)4( m4又设所求暗物质的密度为 ，则“暗物质”质量 M= = ，所以，3)2/(L41= 。N32)1(【总结】 此题中出现的“双星” “暗物质”均式很新颖的名词，是天文学的一种模型。求解“双星”问题必须把握几个要点

38、：运用等效抽象的思维建立“双星”运行的空间物理情景；运用逻辑思维的方法，依据万有引力定律和匀速圆周运动的规律以及密度公式进行求解。11必须区别人造地球卫星的圆周轨道与椭圆轨道的运行规律的不同此处首先要明确人造地球卫星的发射速度和环绕速度，环绕速度是指卫星在某一圆周轨道上做匀速圆周运动的运行速度，环绕速度并不仅指 7。9km/s要使人造地球卫星最终进入预定轨道而稳定运行，要经过火箭推动加速进入停泊轨道（圆周运动）再次点火变轨进入转移轨道（椭圆轨道）开启行星载动力进入预定轨道(圆周轨道)等过程。卫星的预定运行轨道均是圆周轨道，卫星在此轨道上做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力，卫星处于无动力稳定

39、运行（其漂移运动此处暂略）的状态。当发射速度大于 7。9km/s 而小于 11。2km/s 时，卫星则做椭圆运动逐渐远离地球，由于地球引力的作用，到达远地点 P 后，又会沿椭圆轨道面到近地点 Q，如图 4-9 所示。在椭圆轨道的某一位置上，卫星所受地球的万有引力 可以分解为切向分力 （产生卫星引F切F的切向加速度）和沿法线方向的分力即向心力 （产生卫星的向心加速度） 。卫星在由近向地点 Q 向远地点 P 运动的过程中做加速度和线速度都逐渐减小的减速运动；而由远地点 P向近地点 Q 运行的过程则是加速度和线速度逐渐增大的加速运动，椭圆轨道是将卫星发射图第 - 25 - 页 共 29 页到预定轨道

40、之间的一个过渡轨道。例 16：（1998 年上海高考）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道 1，然后经点火使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道 3。轨道 1、2 相切于 P点如图所示，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）A.卫星在轨道 3 上的运行速率大于轨道 1 上的速率B.卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 3 上的角速度C.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2上经过 Q 点时的加速度D.卫星在椭圆轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度【审题】此题是一个“高起点、低落点

41、”的题目,涉及到了人造地球卫星的发射和运动中的线速度、角速度、向心加速度的基本知识.这是一个把卫星发射到预定轨道上去的情景模型.求解此题需要运用牛顿定律、万有引力定律和匀速圆周运动的规律,必须明确以下几点:只有在圆周轨上才会有万有引力定律完全提供向心力;卫星的轨道半径与卫星到地心的距离是不同的;在比较卫星在不同轨道上的角速度、线速度、加速度时要注意选用不同的公式.【解析】对 A 选项.此选项比较的是卫星的线速度.由于万有引力提供卫星的向心力,则有 GMm/r2 =m v2/r,所以 v = ；因轨道 1 的圆半径小于轨道 3 的圆半径,故此卫rGM星在轨道 1 上的速度大于卫星在轨道 3 上的

42、速度.故 A 选项错误.对 B 选项.此选项求的是卫星的角速度,由于万有引力提供卫星的向心力,则有 GMm/r2 =m 2r ,所以 = ,因轨道 1 的圆半径小于轨道 3 上的圆半径,故此卫星在轨道 13r上的角速度大于在轨道 3 上的角速度.故 B 选项正确. 对 C 选项.Q 点是圆周轨道 1 与椭圆轨道 2 的相切点,Q 点即在圆周轨道 1 上又在椭圆轨道 2 上,Q 点到地心的距离 r 一定.由于万有引力提供向心力,则有 GMm/r2m ,所以向aGM/r 2.显然,卫星在圆周轨道 1 上的 Q 点和在椭圆轨道 2 上的上的 Q 点时具有的向向a心加速度均是 GM/r 2.故 C 选

43、项错误.向对 D 选项.由上面的讨论可知,因为圆周轨道 3 上的 P 点与椭圆轨道 2 上的 P 点是同一点,P 点到地心的距离是一定的,由 GM/r 2 得,其在 P 点得向心加速度是相同的.故 D 选向a项正确.【总结】此题是人造地球卫星的发射与运行的题目.解答此题时,明确此卫星在各个轨道上的速度大小十分重要.设此卫星在轨道 1 上的 Q 点速度为 、在轨道 2 上的 Q 点速度为QV1、在轨道 2 上的 P 点速度为 、在轨道 3 上的 P 点速度为 ，因轨道 1 为近似圆形QV2 PV2 P3图第 - 26 - 页 共 29 页轨道，其速度 =7。9km/s,因轨道 2 为椭圆轨道,故

44、 7、9km/s(但 .综合以上分析可得此四个速度的大小关系是 。P2 Q21P32在这里,明确把卫星发射到预定轨道的过程能够加深对此题意的理解.同步卫星的发射有两种方法,一种是“垂直发射” ，是用火箭把卫星垂直发射到36000km 的赤道上空,然后使之做 的旋转飞行,使卫星进入同步轨道.另一种方法是“变09轨发射”,即先把卫星发射到高度为 200km 至 300km 高处的圆形轨道上(也叫“停泊轨道”)。当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使火箭进入一个大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空的 36000km 处。此轨道叫做“转移轨道”.当卫星达到远地点时,启动卫星的发动机使之再加速进入同

45、步轨道(即稳定运行的预定的圆形轨道).第一种方法在全过程种,火箭推动卫星处于“强动力”的飞行状态，必须消耗大量燃料，且要求在赤道上修建发射场，很不科学。第二种方法，运载火箭的耗能较少，发射场地设置受限较小，但技术要求很高。目前人类发射同步卫星均用第二种方法。12必须区别地面物体的受阻减速与人造地球卫星的受阻变轨的不同对于地面上做直线运动的物体而言,由运动学规律和牛顿第二定律可知,如果受到阻力的作用,必然产生与运动速度方向相反的加速度而做减速运动,直到最后停止运动.对于处在轨道上正常运行的人造地球卫星,由于是万有引力完全提供向心力,其速度由GMm/r2 =m v2/r 得 v = , rGM其加

46、速度由 GMm/r2m 得 GM/r 2.显然,卫星的线速度 v 和加速度 a 均与轨向a向道半径 r 存在特定的关系.当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时，由运动学的原理可知，此时卫星的速度就会瞬时减小。然而，此处最易出现的错误就是：既然卫星由于阻力的作用其速度必然减小，则由 v = 可知，其轨道半径 r 变大，运行周rG期也将变大，显然这是错误的. 导致这种错误的根本原因是,仅仅片面考虑了阻力的作用而遗忘了还有万有引力的存在.这里要特别注意的是,决定人造地球卫星运动状态的主要因素是万有引力而不是所受的阻力.正确的分析思路是:由于阻力的作用,卫星的速度 v 必然减少,假定此时卫星

47、的轨道半径r 还未来得及变化,即有万有引力 =GMm/r2 也未变化；而向心力 = m v2/r 则会变小.引F向F因此,卫星正常运行时“ = ”的关系则会变为“ ”，故而在万有引力作用下卫引 向 引 向星必做近地向心运动,从而使轨道半径 r 变小;又由公式 v = 可知,卫星的运行速度rGM必然增大.究其实质,此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功,重力势能减少)为条件的.第 - 27 - 页 共 29 页例 17： (2000 年全国高考)某人造地球卫星因受高空稀薄气体的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变.某次测量中卫星的轨道半径为 ,后来变为 且 。以 、 分别1r

48、2r121KE2表示卫星在这两个轨道的动能. 、 分别表示卫星在这两个轨道绕地球运动的周期,则有 1T2( )A. TC. E【审题】:求解此题必须明确以下几点:卫星动能的大小能代表速率的大小,其关系是动能 = ,因而可以通过分析KE21mV速率的大小来分析动能的大小.决定卫星运动状态的主要因素是地球的万有引力而不是空气的阻力.就卫星的瞬时状态的变化而言,阻力的作用必然会使卫星的速度减小;但从一般变化的过程来看,卫星的速度是增大的,这种“增大”是以其轨道高度的变小为条件的。依据万有引力等于向心力的关系式 GMm/r2 =m v2/r =m4 2 r/T2，可得到 v =和 T=2 ，从而进行分析讨论即可。rGMr3【解析】 当卫星受到空气阻力的作用时，其速度必然会瞬时减小，假设此时卫星的轨道半径 r 还未变化，则由公式 = m v2/r 可知卫星所需要的向心力必然减小；而由于卫向F星的轨道半径 r 还未来得及变化,由公式 =GMm/r2 得,卫星所受地