1、2 0 1 5 年 1 1 月 （ 下 ）4 4 科 教 导 刊行 列 式 的 计 算 方 法 小 结孙 黎 明 许 秋 滨（ 南 京 审 计 学 院 理 学 院 江 苏 南 京 2 1 1 8 1 5 ）摘 要 文 章 从 行 列 式 的 定 义 出 发 ，通 过 实 例 来 介 绍 常 用 的 行 列 式 求 解 的 方 法 如 定 义 法 、三 角 行 法 、归 一 法 、降 阶 法 ，加边 法 、数 学 归 纳 法 等 。关 键 词 行 列 式 计 算 数 学 归 纳 法中 图 分 类 号 ： O 1 7 文 献 标 识 码 ： A D O I : 1 0 . 1 6 4 0 0 /
2、j . c n k i . k j d k x . 2 0 1 5 . 1 1 . 0 2 2C a l c u l a t i o n M e t h o d S u m m a r y o f D e t e r m i n a n tS U N L i m i n g , X U Q i u b i n(C o l l e g e o f S c i e n c e , N a n j i n g A u d i t U n i v e r s i t y , N a n j i n g , J i a n g s u 2 1 1 8 1 5)A b s t r a c t S t a
3、r t i n g f r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e t e r m i n a n t , t o i n t r o d u c e c o m m o n m e t h o d s f o r s o l v i n g t h e d e t e r m i n a n t a s d e -f i n e d i n l a w , t r i a n g l e l i n e m e t h o d b y w a y o f e x a m p l e , n o r m a l i z a t i o n , r
4、 e d u c t i o n m e t h o d , p l u s s i d e m e t h o d , m a t h e m a t i c a l i n -d u c t i o n , e t c .K e y w o r d s d e t e r m i n a n t ; c a l c u l a t i o n ; m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n行 列 式 的 计 算 是 线 性 代 数 的 一 个 重 点 内 容 ，也 是 学 习 的 难点 内 容 。 行 列 式 的 计 算 有 一 定 的 规 律 和
5、技 巧 可 寻 。 本 文 通 过一 些 实 例 来 对 常 用 的 计 算 行 列 式 的 方 法 进 行 总 结 ，通 过 分 析 行列 式 的 结 构 特 点 来 找 到 解 决 它 们 的 方 法 。计 算 行 列 式 的 总 体 思 想 。 行 列 式 总 体 来 分 有 两 种 类 型 ：（ 1 ） 低 价 的 行 列 式 ；（ 2 ） 高 阶 的 行 列 式 。对 低 价 的 处 理 方 式 ， 直 接 应 用 行 列 式 的 定 义 或 性 质 来 进行 计 算 。 高 阶 的 处 理 方 式 形 式 多 样 ， 我 们 重 点 来 看 这 部 分内 容 。在 计 算 行 列
6、式 中 ， 通 过 适 当 的 方 法 ， 使 行 列 式 里 面 含 有尽 可 能 多 的 零 ， 越 多 越 好 。 下 面 来 具 体 讨 论 下 行 列 式 的 计 算方 法 。1 定 义 法按 某 行 （ 列 ） 展 开 的 定 义 。= 1 1 + 2 2 + + = 1例 1 设 ，求解 ：分 析 ：定 义 法 比 较 明 了 ，直 接 应 用 定 义 来 操 作 。2 化 三 角 形 的 方 法利 用 行 列 式 的 定 义 和 性 质 把 行 列 式 转 化 成 上 三 角 形 式 或下 三 角 形 式 ， 形 式 如 下 ：（ 1 ） （ 2 ）例 2解 ：3 归 一 法元
7、 素 排 列 有 规 则 的 阶 行 列 式 ，每 行 （ 列 ） 元 素 之 和 相 等 ，把 所 有 的 列 （ 行 ） 都 加 到 第 一 列 （ 行 ） ，然 后 利 用 定 义 和 性 质 进 行计 算 。例 3 计 算 解 行 列 式解 ：学 科 探 索网络出版时间：2015-12-29 13:52:36网络出版地址：http:/ 52 0 1 5 年 1 1 月 （ 下 ）科 教 导 刊例 4解 ：4 降 阶 法运 用 行 列 式 的 定 义 和 相 关 理 论 把 高 阶 行 列 式 转 化 为 低 价行 列 式 来 进 行 计 算 。例 5 计 算 阶 行 列 式解 ：根 据
8、 行 列 式 的 定 义 ， 将 按 第 一 列 展 开 ，则5 加 边 法在 原 行 列 式 的 基 础 上 ，增 加 一 行 一 列 且 保 持 行 列 式 的 值 不变 ，增 加 的 元 素 一 般 为 0 和 1 构 成 ，称 为 加 边 法 。例 6 计 算 阶 行 列 式解 ：从 第 二 行 开 始 ，每 一 行 都 减 去 第 一 行 得若 划 去 第 一 行 和 第 一 列 得 到 是 一 个 对 角 行 列 式 ，如 果 能 把第 一 列 的 - 1 消 去 ，那 么 行 列 式 就 得 到 求 解 。从 第 二 列 开 始 ，将 各 列 的1（ = 1 , 2 , , ）
9、倍 加 到 第 一 列6 递 推 法把 行 列 式 通 过 适 当 的 变 换 化 为 同 样 形 式 和 比 其 阶 数 更 低的 行 列 式 ，从 而 建 立 递 推 公 式 ，求 出 原 行 列 式 的 值 。例 7 计 算 阶 行 列 式解 ：将 按 第 一 行 展 开 得 = 2 1 2推 得 1 = 1 2 = = 2 1 = 1从 而 = 1 + 1 = 2 + 2 = = 1 + 1 = + 17 拆 行 （ 列 ） 法将 行 列 式 的 某 行 （ 列 ） 写 成 两 个 （ 列 ） 或 多 个 元 素 之 和 ，从 而将 行 列 式 分 成 两 个 行 或 多 个 行 列
10、式 进 行 计 算 的 方 法 ，称 为 拆 行（ 列 ） 法 。例 8 计 算 阶 行 列 式解 （ 1 ） 若 = ， = （ + （ 1 ） ）（ ）1（ 2 ） 若 ，把 分 成 两 个 行 列 式 之 和学 科 探 索2 0 1 5 年 1 1 月 （ 下 ）4 6 科 教 导 刊（ 1 ）（ 2 ）（ 1 ） （ ） （ 2 ）（ ） 得 =（ ） （ ）8 数 学 归 纳 法利 用 自 然 数 有 关 的 数 学 归 纳 法 来 进 行 计 算 ，常 用 于 行 列式 值 的 证 明 。例 9 证 明 ：证 明 ：当 = 1 时 ， 1 = ，左 边 等 于 右 边 ， 结 论
11、成 立 。当 = 2 时 ， ， 结 论 成立 。假 设 对 阶 数 小 于 的 行 列 式 ，结 论 都 成 立 ，即 = 。对 阶 数 为 的 行 列 式 ， 按 最 后 一 列 展 开 有= 2 1 2= 2 （ 1 ） （ 2 ）= 2 （ 1 ） （ 1 ） = （ 1 ） （ 1 ）=故 对 一 切 结 论 都 成 立 。9 范 德 蒙 行 列 式 法利 用 范 德 蒙 行 列 式 计 算 行 列 式 的 值 。例 1 0 计 算 阶 行 列 式解 ： 引 入 变 量 使 之 变 成 范 德 蒙 行 列 式 的 形 式（ ） 是 关 于 的 次 多 项 式 ，1的 系 数 为 （
12、1 ）+ + 1与 （ ）中1系 数 比 较 得 。1 0 析 因 子 法行 列 式 中 含 有 变 量 ， 那 么 此 时 行 列 式 为 一 个 关 于 的 多项 式 （ ） ， 对 行 列 式 进 行 适 当 的 变 换 ， 求 出 多 项 式 的 互 素 的 一次 因 式 ， 使 得 （ ） 与 因 式 乘 积 （ ） 下 列 关 系 成 立 （ ） = （ ） ，从 而 求 得 = （ ） 。例 1 1 计 算 行 列 式解 ： 4为 关 于 的 多 项 式 （ ） 当 = 1 时当 = 2 时 （ 2 ） = 0 。从 而 多 项 式 （ ） 的 因 式 为 1 , + 1 , 2
13、 , + 2 。 从 行 列 式 中可 知 多 项 式 为 4 次 多 项 式 ，故 = （ 1 ）（ + 1 ）（ 2 ）（ + 2 ） 。令 = 0 , = 1 2 ， 求 得 = 3 ，故 = 3（ 1 ）（ + 1 ）（ 2 ）（ + 2 ） 。行 列 式 的 形 式 多 种 多 样 ， 方 法 比 较 多 ， 但 是 只 要 掌 握 计 算行 列 式 的 总 体 思 想 ， 根 据 具 体 问 题 具 体 对 待 ， 仔 细 观 察 行 列 式构 造 的 特 点 ， 做 适 当 的 变 形 或 几 种 方 法 的 总 合 来 进 行 计 算 ， 造出 更 多 的 零 ，转 化 成 已 知 的 方 法 ， 从 而 进 行 求 解 。参 考 文 献 1 北 京 大 学 数 学 系 .高 等 代 数 (第 三 版 ) M .北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2 0 0 3 . 2 王 品 超 .高 等 代 数 新 方 法 M .徐 州 :中 国 矿 业 大 学 出 版 社 , 2 0 0 3 . 3 卢 刚 .线 性 代 数 M .北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2 0 0 7 .学 科 探 索
