1、Algorithms,贪心算法之图算法,刘 伟 (Sunny) weiliu_,内容,最小生成树 单源最短路径,思考,若要将n个城市之间原有的公路改造为高速公路，这些城市之间原有公路网如右图所示。如何以最低的成本来构建高速公路网，使得任意两个城市之间都有高速公路相连？,最小生成树,最小生成树,最小生成树,Minimal Spanning Trees (MST) 任何只由G的边构成，并包含G的所有顶点的树称为G的生成树(G连通)。加权无向图G的生成树的代价是该生成树的所有边的代价（权）的和，最小代价生成树是其所有生成树中代价最小的生成树。,最小生成树,Prim算法：时间复杂度O(|V|2+|E|
2、)，O(|E|log|V|) Kruskal算法：时间复杂度O(|E|log|E|) 算法的选择： 从图的稀疏程度考虑（稠密图Prim，稀疏图Kruskal或Prim + Heap）,最小生成树,Prim算法 (1) 任意选定一点s，设集合S=s (2) 从不在集合S的点中选出一个点j使得其与S内的某点i的距离最短，则(i，j)就是生成树上的一条边，同时将j点加入S (3) 转到(2)继续进行，直至所有点都己加入S集合,最小生成树,Prim算法,5,0,4,6,1,3,2,10,25,14,24,22,16,18,5,0,4,6,1,2,10,25,14,22,16,12,3,12,28,最小
3、生成树,Prim算法 练习：公路造价 现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？,最小生成树,Prim算法 练习：公路造价 【输入格式】 第一行两个数v(v=200)和e分别代表城市数和边数，以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w1000)。 【输出格式】 v-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条公路，再加该公路的造价。,最小生成树,Prim算法 练习：公路造价 【输入样例】【输出样例】,3 3 1 2 10 1 3
4、 15 2 3 50,1 2 10 1 3 15,最小生成树,Prim算法 练习：公路造价,最小生成树,思考 在某个城市里住着n个人，现在给定关于这n个人的m条信息（即某2个人认识）。 假设所有认识的人一定属于同一个单位，请计算该城市最多有多少单位？,最小生成树,并查集 Union-Find Set 一种树型数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题 在使用中常常以森林来表示 可以把图中每个连通分量看成一个集合，该集合包含了连通分量中的所有点，图的所有连通分量可以用若干个不相交的集合来表示,最小生成树,并查集 将编号分别为1N的N个对象划分为不相交集合，在每
5、个集合中，选择其中某个元素代表所在集合 常见操作： 合并两个集合 查找某元素属于哪个集合 判断两个元素是否属于同一个集合,最小生成树,并查集 三个基本操作 make_set(x)：把每一个元素初始化为一个集合 find_set(x)：查找一个元素所在的集合。在执行查找操作时，要沿着父结点指针一直找下去，直到找到树根为止 判断两个元素是否属于同一集合，只要判断它们所在集合的祖先是否相同即可 合并两个集合，也是将一个集合的祖先作为另一个集合的祖先 union_set(x, y)：利用find_set()找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先,最小生成树,并查集 通过使用两种启
6、发式策略（按秩合并和路径压缩）可以达到渐进意义上最快的不相交集合数据结构 秩(Rank)：表示结点高度的一个上界，树根的秩为0 union_set(x,y)时按秩合并，合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小，即每个元素的秩相对较小 find_set(x)时路径压缩，当经过“递推“找到祖先结点后，“回溯“的时候顺便将它的子孙结点都直接指向祖先，这样以后再次find_set(x)时复杂度就变成O(1)了,最小生成树,并查集 标准代码,#include const int MAXN = 100; /*结点数目上线*/ int paMAXN; /*px表示x的父结
7、点*/ int rankMAXN; /*rankx是x的高度的一个上界*/*创建一个单元集*/ void make_set(int x) pax = x;rankx = 0; /*带路径压缩的查找*/ int find_set(int x) if(x != pax)pax = find_set(px); /将所有结点的父结点回溯为根结点return pax; ,/*按秩合并x，y所在的集合*/ void union_set(int x, int y) x = find_set(x); /返回x的根结点y = find_set(y); /返回y的根结点if(rankx ranky)/*让rank
8、比较高的作为父结点*/pay = x;else pax = y;if(rankx = ranky)ranky+; ,最小生成树,并查集 练习：无所不在的宗教 世界上宗教何其多。假设你对自己学校的学生总共有多少种宗教信仰很感兴趣。学校有n个学生，但是你不能直接问学生的信仰，不然他会感到很不舒服的。有另外一个方法是问m对同学，是否信仰同一宗教。根据这些数据，相信聪明的你是能够计算学校最多有多少种宗教信仰的。,最小生成树,并查集 练习：无所不在的宗教 【输入格式】 可以输入多个测试用例(Case)，每一个用例的第一行包含整数n和m，n表示学生编号(1-n)，在接下来的m行中，每一行包含两个整数，对应
9、信仰同一宗教的两名学生的编号，输入结束行为n = m =0。 【输出格式】 输出每一个测试用例中包含的学生信仰的最大宗教数量。,最小生成树,并查集 练习：无所不在的宗教 【输入样例】 【输出样例】,10 9 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 10 4 2 3 4 5 4 8 5 8 0 0,Case 1: 1 Case 2: 7,最小生成树,并查集 练习：无所不在的宗教,最小生成树,Kruskal算法 (1) 将边按权值从小到大排序后逐个判断，如果当前的边加入以后不会产生环，那么就把当前边作为生成树的一条边 (2) 最终得到的结果就是最小生成树 并查集,
10、最小生成树,Kruskal算法,5,0,4,6,1,3,2,10,25,14,24,16,18,12,5,0,4,6,1,3,2,10,25,14,12,22,22,28,16,最小生成树,Kruskal算法 练习：最优布局问题 学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们之间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。 当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。 现在由你
11、负责连接这些计算机，使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。,最小生成树,Kruskal算法 练习：最优布局问题 【输入格式】 输入文件wire.in，第一行为整数n（2=n=100），表示计算机的数目。此后的n行，每行n个整数。第x+1行y列的整数表示直接连接第x台计算机和第y台计算机的费用。 【输出格式】 输出文件wire.out，一个整数，表示最小的连接费用。,最小生成树,Kruskal算法 练习：最优布局问题 【输入样例】【输出样例】,3 0 1 2 1 0 1 2 1 0,2 （注：表示连接1和2，2和3，费用为2）,最小生成树,Kruskal算法 练习： Jungle Ro
12、ads链接：Jungle Roads,最小生成树,Kruskal算法 练习： Jungle Roads,思考,某地区道路网如右图所示，两点之间的数字表示骑车所需时间，快递员需要用最短的时间从A将物品送到O点，如何选择路线？,单源最短路径,最短路径,单源最短路径,最短路径类型 单源最短路径问题（Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法） 单终点最短路径问题 单对顶点最短路径问题 每对顶点间最短路径问题（Floyd-Warshall算法）,单源最短路径,最短路径定义 在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径 在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最
13、小的路径,AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3,AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70,单源最短路径,单源最短路径 问题描述：给定带权有向图G(V, E)和源点vV，求从v到G中其余各顶点的最短路径。 迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法Dijkstra算法。,获取方法： 1）直接从源点到该点(只含一条边) 2）从源点经过已求得最短路径的顶点，再到达该顶点。,单源最短路径,Dijkstra算法 基本思想：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这
14、个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。 最优性原理：如果u到v的最短路径经过w，则这条路径： u到w是最短路径，且w到v是最短路径。,u,w,v,单源最短路径,Dijkstra算法 有向图和无向图都可以使用本算法，无向图中的每条边可以看成相反的两条边 用来求最短路径的图中不能存在负权边 引入了松弛(Relaxation)操作：先让源点s到顶点i的距离di取一个很大的值，然后不断减小di，当所有的di不能再减小时，就求出了s到所有点的最短路径。松弛操作的目的是减小di的值，如果从s到达i有更优的路径则更新di,Relaxation: if dk + gki di then di =
15、 dk + gki,单源最短路径,Dijkstra算法,s为源，wu,v为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist中(1) 初始化：源的距离dists设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点的状态都设置为没有扩展过。 (2) 循环n-1次： (2.1) 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。 (2.2) 对于每个与u相邻的点v，执行relax(u,v)，也就是说，如果distu+wu,vdistv，那么把distv更新成更短的距离distu+wu,v。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。 (3) 结束：此时对于任意的u，distu就是s到u的距离。,单源最短
16、路径,Dijkstra算法,单源最短路径,Dijkstra算法 算法演示,S=A AB:(A, B)10 AC:(A, C) AD: (A, D)30 AE: (A, E)100,单源最短路径,Dijkstra算法 算法演示,10,50,30,10,100,20,60,S=A, B AB:(A, B)10 AC:(A, B, C)60 AD: (A, D)30 AE: (A, E)100,单源最短路径,Dijkstra算法 算法演示,10,50,30,10,100,20,60,S=A, B, D AB:(A, B)10 AC:(A, D, C)50 AD: (A, D)30 AE: (A, D
17、, E)90,单源最短路径,Dijkstra算法 算法演示,10,50,30,10,100,20,60,S=A, B, D, C AB:(A, B)10 AC:(A, D, C)50 AD: (A, D)30 AE: (A, D, C, E)60,单源最短路径,Dijkstra算法 算法演示,S=A, B, D, C, E AB:(A, B)10 AC:(A, D, C)50 AD: (A, D)30 AE: (A, D, C, E)60,单源最短路径,Dijkstra算法 核心代码,/* 求1到N的最短路,disi表示第i个点到第一个点的最短路 */ void Dijkstra()for(i
18、nt i=1;i disj )tmin = disj;k = j; usedk = 1;for(int j=1;j=n;j+)/对找出的点的相邻边进行松弛操作if( disk + mapkj disj) disj = disk + mapkj; ,单源最短路径,Dijkstra算法 时间复杂度：O(|V|2)，如果用二叉堆(Binary Heap)优化可以达到O(|E|+|V|)log|V|)，用斐波那契堆(Fibonacci Heap)可以优化到O(|V|log|V|+|E|),单源最短路径,Dijkstra算法 练习： 编写一个程序实现Dijkstra算法。 【输入样例】【输出样例】,5 7 1 2 10 1 4 30 1 5 100 2 3 50 3 5 10 4 3 20 4 5 60,0 10 50 30 60,10,50,30,10,100,20,60,单源最短路径,Dijkstra算法 练习： 编写一个程序实现Dijkstra算法。,END,Thanks!,
