1、误差与实验数据处理 大学物理实验,教师：李芬,基本概念,误差公理： 一切测量都存在误差。 真 值： 被测量的真实量值。在排除系统误差和粗大误差的前提下，当测量次数无限大时测量结果的算术平均值接近于真值，视它为被测量的真值。 约定真值： 国际公认的,最高水平所复现的单位基准。如:米原器和千克原器等。 相对真值： 也称实际值，在满足规定准确度的情况下，用来代替真值的值。1、有限次测量的算术平均值；2、具有更高一级准确度等级的测量器具所测得的值作为较低一级准确度等级测量器具所测得值的相对真值。,等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。 标称值：测量器具上标注的量值。如：砝码上标出1kg，仪表上的
2、刻度0、2 mA等。 示 值: 测量器具所指示出来的被测量的数值，也称测量值。 不确定度：表示测量结果不确定的程度。用U表示。,置 信 度：由置信区间和置信概率表示。表征测量结果可信赖程度的一个参数。可解释为：测量结果附近一个置信区间内出现数学希望的置信概率有多大。置信区间即不确定度，用标准差的K倍来表示 U=K。K称为置信因子，表示对应的置信概率。 直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量，再根据该被测量与直接测量量之间的数学关系算出被测量量值的测量。,测量误差,1、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差：,式中： 为绝对误差； 为测
3、量值；R为被测量的真值,真值包括：,(1)理论真值 例如：三角形的三个内角之和180o；,(2)约定真值 米原器等；,(3)相对真值 有限多次测量值的算术平均值；,高一级准确度等级的标准测量器具所测得的值；,2、相对误差: 绝对误差与真值之比，为相对误差。用百分数表示：,式中： E为相对误差；,测量误差的分类,1、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。,2、随机误差：在同一条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小、符号均无规律地变化。,3、粗大误差：在相同条件下，多次测量同一量时，明显歪曲测量结果的误差。,测量结果的表达,如果系统误差为零，或
4、采用修正方法消除了系统误差，且去除了粗大误差，则测量结果表示为：,1、多次重复等精度测量：,用上述形式给出测量结果时，应该指明相应的置信概率p。,于是，测量结果应表示为:,同时给出：,测取的数据个数n由置信概率P决定。如，P=0.95，测取数据个数n为22 25个；P=0.997，测取数据个数为n=370或大于370个；P=0.68,测取数据个数n为小于22个。,对于没有标出准确度等级又可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分度值的一半作为仪器的最大误差,对于没有标出准确度等级的而又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分度值作为仪器的最大误差,对于已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 由
5、误差公式计算。,2、单次直接测量 ：,式中： 为测量仪器的最大误差；,设仪器准确度等级为a ：,有效数字,有效数字：把仪器上读出的数字包括最后一位存疑数字，记录下来，为有效数字。,例1 ：用米尺测一物体长度为4.26cm、4.27cm或4.28cm，前二位 4.2cm可从米尺上直接读出，是确切数字，而第三位数是测量者估读出来的（是有疑问的，叫存疑数字）那么这物体长度测量值包含三位有效数字。,例2 ：物体重量为0.802000千克，第一个0不表示有效数字，而 802.000 克后面的 0 都是有效数字。,数字表达标准形式为：8.02000101 kg或 8.02000102 g,数据舍入规则,1
6、、 若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。 例如：将下列数据舍入到小数点第二位：,1.23481.23（因为0.00480.005） 5.624995.62（因为0.004990.005）,2、若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位加1。,1.235211.24（因为0.005210.005） 5.625015.63（因为0.005010.005）,3、若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即末位为偶数时不变，末位为奇数时加1。,1.23501.24（因为0.0050=0.005，且3为奇数） 5.625005.62（因为0.00500=0.
7、005，且2为偶数） 5.605005.60（0认为是偶数）,测量结果中， 或 保留数字位数应与不确定度一致。,最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 取两位有效数字。在计算过程中多取一位，在误差处理中， 和 都采用进位的方法。,标准偏差 和 都应取成 。,例如 ：,则应取成,则应取成,如：,系统误差,系统误差：是恒定不变的或按一定规律变化的误差。在多次重复测量同一量值时，不具有抵偿性。,具有3个特点：,(1)确定性 ； (2)重现性 ； (3)可修正性 ；,系统误差分为以下四种：,不变的系统误差； 线性变化的系统误差； 周期性变化的系统误差； 复杂规律变化的系统误差；,系统误差的判别,
8、1、实验对比法；,2、残余误差观察法：,3、马利科夫判据: n 较多时,4、阿卑赫梅特判据,则可以认为存在周期性系统误差。利用该判据能有效发现周期性系统误差。,系统误差的消除举例,（1）代替法（置换法）,（2）交换法,例如利用等臂天平称量时，如果天平两臂 L1 和 L2 存在长度误差，测量时先将被称物 放于左边，而砝码 P 放在天平右边，两边平衡后则有：,将 ，P交换位置后，则有：,得到：,取等距的时间间隔tt2t1t3t2，而相应的电流变化量为e。在t1，t2，t3时刻，按Ux，UN，Ux的顺序进行测量： 在t1时刻测得Rx上的压降为：U1Ux = iRx 在t2时刻测得RN上的压降为：U2
9、UN = i2RN =(i-e)RN 在t3时刻测得Rx上的压降为：U3Ux = i3Rx =(i-2e)Rx 解此方程组可得：,（3）线性系统误差消除法,标准电阻R，附加电阻RN均为已知，待测量电阻为Rx。 若工作电流i恒定，只要测出Rx和RN上的电压降就可得Rx值：,随机误差,设测量列为m1，m2，mi，则用绝对误差表示的随机误差列i为：imiR （i1，2，3，n）,将上式两边求和得：,由正态分布的抵偿特性有：,有,当n为有限值时，测量值序列的算术平均值为:,随机误差的方差和标准差,1、测量值的标准差,对于等精度无限测量列 m1，m2，mi，i=n , 测量值的方差和标准差分别为：,按上
10、式计算标准差需要已知真值，测量次数n需足够大，只能是理论计算公式。,1、求测量值的标准差（贝塞尔公式）,实际测量中，测量次数 n 是有限的，根据贝塞尔(Bessel)法则，用算术平均值作为被测量的真值的最佳值，采用剩余误差代替绝对误差，则测量值的标准差的方差和标准差分别为：,测量结果：,同时给出：,2、测量列算术平均值的标准差,在相同条件下，对被测量重复做 n 次测量， m1，m2，mn ，由于随机误差的存在,且 n 不是足够大，围绕测量值的算术平均值的标准差，由下式求出：,测量结果：,同时给出:,粗大误差的剔除,拉依达准则：,格拉布斯准测：凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误差被认为是粗大误差，
11、应予以舍弃。,式中g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及显著性水平(一般取0.05或0.01)有关，判别系数见下表,（ n 10 ）,等精度直接测量列测量结果的数据处理实例,例：对某一轴的直径进行等精度测量9次，得到下表数据，求测量结果。,1、求算数平均值,2、求残余误差,3、判断系统误差根据残余误差观察法，由表可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规律，可判断该测量列无系统误差。,4、求测量值的标准差,5、判别粗大误差本实例测量轴径的次数较少，因而不采用莱以特 准则判别粗大误差，采用格拉布斯准则，,故可判别测量列中存在粗大误差。将r4去掉后，重新计算。,6、再一次求算数平
12、均值、残余误差、标准差、判别粗大误差 等,7、最后的测量结果,间接测量,设N为间接测得量，x、y、z为各独立的直接测得量，,N = f(x、y、z),N的误差是由x、y、z各量在直接测量中误差引起的，间接测量N的标准误差为:,N的相对误差为,分压比间接测量误差的分析为例,b.坐标的分度值不一定从零开始，坐标轴焦点用低于最低值且与最低值相近的某一整数。,测量数据的表示方法,c.数据过大或过小，分度应以 或 表示。坐标轴不标数据点。,d.描点采用 、 、 、之一。测量点数少时用 直线直接连接；点数足 够多时用曲线板对四连二的办法顺次连接作出一条光滑的曲线。若画 的是一条直线，该直线必须通过 点。,
13、f.图线大约在 或 位值。,1、列表法：表名、已知条件列在表的右上方,行、列标清标题（名称、符号、单位）单位写在符号后并括起来.也可注在表格的右上方。,2、作图法:（铅笔绘制）,a.水平轴为自变量（符号和单位），纵轴为因 变量；,e.图的下方须注明图号、图名。,3、实验数据的直线拟合（一元线性回归）:给测量值配上一个最佳的直线方程的过程。,对于每一个 xi 值，它所对应的测量值为yi，由经验公式计算出的xi值对应的y值存在差值vi,r的绝对值越近于1，说明用线性函数拟合是合理的。 r等于零或趋近于零，说明 x 、y 两物理量根本不存在线性关系。,一、测该物质的旋光率 a,二、测未知浓度 Cx,（给出置信概率 p 、相对误差 E）,如何写实验报告,实验名称,实验目的,实验原理,实验内容,实验步骤,实验仪器,实验数据处理,实验数据记录,回答思考题,绘制实验数据曲线,实验课前做好预习,作业：提交一份误差处理方法总结及误差处理的例子,参考书目,大学物理实验 吉林科学技术出版社 穆松梅 赵书华 张家生 现代检测技术 北京邮电大学出版社 金伟 齐世清 王建国 误差理论与数据处理 哈尔滨工业大学出版社 丁振良 误差理论与实验数据处理 北京航空航天大学出版社 周秀银,
