第三节 Jordan标准型,一、可对角化矩阵,定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对角化矩阵（或称单纯矩阵）,注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵，其对角线的元就是它的特征值.注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价于T在某基下的矩阵为对角阵.,二、-矩阵理论简介,定义：A()中不等于零的子式的最高阶数r为A的秩，记为rank A() = r.,定义： -矩阵初等变换指一下三类变换：1）任两行(列)互换； 2）用数k (不为零)乘某行 (列); 用 的多项式乘某行 (列)并加到另一行 (列)上去.分别记为P(i,j), P(i (k), P(i(),j). 行变换则左乘初等矩阵，列变换则右乘初等矩阵. 易见三种初等阵的行列式均为非零常数，故满秩，所以它们左(右)乘不改变-矩阵的秩.,定义：若A()经过有限次初等变换化成B() ，则称A() 与B()等价，记为A() B() .注： -矩阵等价则秩相同，反之不然，这与数字矩阵有区别. 如：,何时等价？,不变因子：,初等因子：,事实上，我们一般先将A ()变换成对角阵，不一定是标准型，再分解因式求出初等因子，进而求得不变因子及标准型. 这依赖于下面的结论：,例6，例7,三、Jordan标准型,Jordan标准型定理 A J,推论2 A可对角化当且仅当I-A 的初等因子为一次的.,
