1、,第10节等价关系与集合分类,第4讲,一、集合的分类,例1 设整数集,可知，,是整数集,的一些子集，并具有,以下特征：,（1）,（2）,（3）,这三条性质说明，整数集恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。,例2,设,是,矩阵组成的集合，令,易知，,的这三个子集满足以下特征：,（1）,（2）,（3）,上一切二阶,说明：二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。,定义,（2）,（3）,的一些子集组成的集合，,（1）,使在同一类里的整数除以4之后余数都相同， 而分在不同类里的整数除以4后，得到的余
2、 数也必然不同.,之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分 在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同.,注意：可以看出，对每一个确定的分类,来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种 共同的性质，而分在不同类的元素所具有的 这种性质也必不同。,“同类元素都具有某种关系，不同类的元素 一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完 全由具体的集合、具体的分类所内定的，决不会 千篇一律地都是“差被4整除”这种关系，比如例2.,但不管上述谈到的“某种关系”具体怎样，一般 来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的 “某种关系”而得到的. 这就是下面要讨论的问题:,二、等价关系,定义 设,为集合，,对，错，那么,
3、判定是否符合这个关系.,关系（也称为二元关系）.,若,，就称,与,符合关系,若,，就称,与,不符合关系，记为,，记为,；,例3,“大于”关系,“整除”关系,“不互素”关系,例4,例5,设M是整数集，规定,不是整数集的关系.,上述的例子分析可知：不是用,一个二元关系都能给,确定一个分类；,是需要具有特殊性质才行.,的任何,也就是说，能够给集合确定分类的二元关系,为此，我们必须研究下列特殊的二元关系:,定义,如果具有以下三种性质：,2.对称律（对称性）：,3.推移律（传递性）：,时，习惯称,1.反射律（反身性）：,当,时必有,且,那么关系叫做,与,等价.,上的等价关系.并且当,定理1：集合A的每个
4、分类都决定了A的一个等价关系.,证明：设,是,的一个分类，用,规定,上一个二元关系：,显然是,的一个关系，须证是等价关系.,反身性：,2.对称性：,若,我们可以,在同一类里,3.传递性：,若,，由分类的特性知,综上，证得是等价关系.,定理2,集合A的任一个等价关系都可确定A的一个分类.,证明：,令,，如此确定的这些子集具有：,(1),（2）,当a与b不等价时：,，由的对称性和传递性知,，推出矛盾，所以,.,若,（3）,的一个分类.,注意：（1）,（2）若,定义,，并称,为,的关于等价关系的商集.,习惯上记,因为,，那么每个,一个代表,而每类的一个代表组成的集合叫做,叫做这个等价类的,叫做A的一
5、个等价类，而,A的一个全体代表团.,等价类与其代表元素的选取无关,一种重要的等价关系同余关系,任取,，可以在,中确定一种等价关系,则称,为模,的同余关系，并将,记为,由同余关系确定的分类中的类为模,的剩余类.,而由同余关系引导出来的商集,习惯上记为,.,（要求熟练掌握）,例6 设 试确定集合 上的全部等价关系.,解 由定理知，只要求出的 全部分类,也,即求出的 所有可能的子集划分即可,(1) 如果 分划为一个子集, 则有 ;,(2) 如果 分划为两个子集, 则有3种分法,(3) 如果 分划为三个子集, 则有,因此, 上共有五个不同的等价关系, 它们是,注 如果用 表示一个具有 个元素的集合上,的不同等价关系的个数, 则有下列的递推公式:,其中, 为二项式系数, 并,规定,Thanks a million,
