1、,2.2 对偶线性规划问题的性质,互为对偶的线性规划问题（LP）与（DLP）之间除了结构上的关系之外，它们的解之间有着更特殊的关系，可以通过对偶线性规划问题的性质来体现。本节通过几个重要定理来揭示这些性质。,定理2.2.1告诉我们，最大化问题的任意一个可行解对应的目标函数值都是其对偶最小化问题目标函数的下界；而最小化问题的任意一个可行解对应的目标函数值都是其对偶最大化问题目标函数的上界。,推论1 若线性规划问题（LP）与（DLP）同时有可行解，则它们一定都有最优解。,推论2 若线性规划问题（LP）有可行解但目标函数无上界，则其对偶线性规划问题（DLP）必无可行解。,推论3,定理2.2.2（强对
2、偶定理）设线性规划问题（LP）与其对偶线性规划问题（DLP）有一个有最优解，则另一个也必存在最优解，且两个问题最优解的目标函数值相等。,若B是（2.2.5）式的最优基，所对应的单纯形表的矩阵形式为,满足,所以，对偶问题（DLP）存在最优解，且两个问题最优解的目标函数值 相等由对称性定理也容易得到，若对偶问题（DLP）有最优解，则原问题也 有最优解，且两个问题的最优目标函数值相等。,定理2.2.3（互补松弛定理）,推论2 对于对称形式的线性规划问题（2.1.5），若有最优解，则在 其最优基所对应的单纯形表中，松弛变量的检验数的相反数即为对偶问 题(2.1.6)的一个最优解。,例2.2.1 已知线性规划问题,（2.2.10）,解 先写出（2.2.10）式的对偶线性规划问题,定理2.2.4（变量对应关系）线性规划问题的原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基本解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对 偶问题的松弛变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在其对偶问题的解中是非基变量；将这对互补的基本解代入原问题和对偶问题的目标函数有z=W 。,有,
