1、第二章 集 合 第二章 集 合 2.1 集合论的基本概念 2.2 集合上的运算 2.3 归纳法和自然数 (自学 ) 2.4 语言上的运算 （自学） 2.5 集合的笛卡儿乘积 第二章 集 合 2.1 集合论的基本概念 2.1.1 集合的概念 集合在某些场合又称为 类 、 族 或 搜集 , 它是数学中最基本 的概念之一 , 但 不可精确定义 , 现描如下 : 一个 集合 是能作为整体论述的事物的集体。 第二章 集 合 组成集合的每个事物叫做这个集合的 元素 或 成员 。 通常用大写字母 A, B, C, 代表集合 ; 用小写字母 a, b, c, 代表元素 。 如果 a是集合 A的一个元素 , 则
2、记为 a A 读做 “ a属于 A” , 或说 “ a在 A中 ” 。 ; 如果 a不是集合 A的一个元素 , 则记为 a A 读做 “ a不属于 A” , 或说 “ a不在 A中 ” 。 ; 任一元素 , 对某一集合而言 , 或属于该集合 , 或不属于该集合 , 二者必居其一 , 不可兼得。 第二章 集 合 仅含有一个元素的集合称为 单元素集合 。 应把单元素集合与这个元素区别开来。例如 A与 A不同 , A表示仅以 A为元素的集合 , 而 A对 A而言仅是一个元素 , 当然这个元素也可以是一个集合 , 如 A=1,2。 称含有有限个元素的集合为 有限集合 。称不是有限集合的集合为 无限集合
3、 或 无穷集 。有限集合的元素个数称为该集合的 基数或 势。 第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈述。集合 A的基数记为 |A|, 例如 若 A=a, b, 则 |A|=2, 又 |A|=1 第二章 集 合 外延公理 两个集合 A和 B相等 , 即 A=B, 当且仅当它们有相同的成员 (也就是 , A的每一元素是 B的一个元素而 B的每一元素也是A的一个元素 )。 ; 用逻辑符号表达是 : )( BxAxxBA 第二章 集 合 外延公理断言 : 如果两个集合有相同的元素 , 那么不管集合是如何表示的 , 它们都相等 。 因此 , (1) 列举法中 , 元素的次序是无关紧要的 。
4、例如 x,y,z与 z,x,y相等 。 (2) 元素的重复出现无足轻重 。 例如 , x,y,x、 x,y、 x,x,x,y是相同的集合 。 (3) 集合的表示不是唯一的 。 例如 , x|x 2 -3x+2=0、 x|x I 1x2 和 1, 2均表示同一集合 。 第二章 集 合 2.1.2 罗素悖论 1901年罗素 (Bertrand Russell)提出以下悖论 : 设论述域是所有集合的集合 , 并定义 S为下述集合 | AAAS 这样 , S是不以自身为元素的全体集合的集合 , 我们现在问 “ S是不是它自己的元素 ?” ; 假设 S不是它自己的元素 , 那么 S满足谓词 A A, 而
5、该谓词定义了集合 S, 所以 S S。 另一方面 , 如果 S S, 那么 S必须满足定义S的谓词 , 所以 S S。 第二章 集 合 这样 , 我们导致了一个类似于谎言悖论的矛盾 : 既非 S S也非S S是真 。 一个 “ 集合 ” , 诸如 S, 它能导致矛盾的称为 非良定的 。 罗素悖论起因于不受限制的定义集合的方法 , 特别 , 集合可以是自己的元素的概念值得怀疑 。 康脱以后创立的许多公理化集合论都直接地或间接地限制集合成为它自己的元素 , 因而避免了罗素悖论 。 公理化集合论用某个方法避免了罗素悖论 , 但怎能确信没有其它悖论潜伏在这些形式结构中呢 ? 回答是悲观的 , 业已证明
6、 , 应用现今有效的数学技术 , 没有方法能证明新的悖论不会产生 。 第二章 集 合 2.1.3 集合间的包含关系 定义 2.1-1 设 A和 B是集合 , 如果 A的每一元素是 B的一个元素 , 那么 A是 B的 子集合 , 记为 A B, 读做 “ B包含 A” 或 “ A包含于 B中 。 用逻辑符表示为 : BxAxxBA BA 有时也记作 , 称 B是 A的 扩集 。 AB 第二章 集 合 定义 2.1-2 如果 A B且 AB, 那么称 A是 B的 真子集 ,记作 AB , 读作 “ B真包含 A” 。 ; 第二章 集 合 推论 2.1-2 对任何集合 A, 恒有 A A。 第二章
7、集 合 定义 2.1-3 没有元素的集合叫空集或零集 , 记为 定理 2.1-4 对任意集合 A 。 A第二章 集 合 定理 2.1-5 空集是唯一的 。 证 都是空集 , 由定理 2.1-4 , 根据定理 2.1-2得 。 不同 , 后者是以空集为元素的一个集合 , 前者没有元素 。 能用空集构造不同集合的无限序列 。 在序列 中 , 每一集合除第一个外都确实有一元素 , 即序列中前面的集合 。 在序列 中 , 如果我们从 0开始计算 , 则第 i项有 i个元素 。 这一序列的每一集合 , 以序列中在它之前的所有集合作为它的元素 。 , , , 第二章 集 合 2.2 集合上的运算 2.2.
8、1 并、 交和差运算 ; 定义 2.2-1 设 A和 B是集合。 (a) A和 B的并记为 A B, 是集合。 A B=x|x A x B (b) A和 B的交记为 AB, 是集合。 AB=x|x A x B (c) A和 B的差 , 或 B关于 A的相对补 , 记为 A-B, 是集合。 A-B=x|x A x B 第二章 集 合 例 1 设 A=a,b,c,d)和 B=b,c,e, 那么 A B=a, b, c, d, e AB=b, c ; A-B=a, d ; B-A=e 第二章 集 合 定理 2.2-2 对任意集合 A、 B和 C有 : ; (a) A (BC)=(A B)(A C)
9、; (b) A(B C)=(AB) (AC) = 即集合运算 和 , 在 上可分配 , 在 上可分配 。 ; 证 设 x是任意元素 , 那么 x A (BC) x A x (BC) 的定义 x A (x B x C) 的定义 (x A x B) (x A x C) 在 上可分配 (x A B) (x A C) 的定义 x (A B)(A C) 的定义 因此 , A (BC)=(A B)(A C)。 第二章 集 合 定理 2.2-3 设 A、 B、 C和 D是论述域 U的任意子集合 , 那么下列断言是真 : (a) A A=A ; (b) AA=A ; (c) A =A ; (d) A = ;
10、(e) A- =A ; (f) A-B A ; (g) 如果 A B和 C D, 那么 , (A C) (B D) ; (h) 如果 A B和 C D, 那么 , (AC) (BD) ; (i) A A B ; (j) AB A ; (k) 如果 A B, 那么 , A B=B ; (l) 如果 A B, 那么 , AB=A 第二章 集 合 定理 2.2-6 设 A是 U的任意子集 , 那么 。 也就是说 , A的补的补是 A。 AA第二章 集 合 定理 2.2-7 (德 摩根定律 )设 A和 B是 U的任意子集 , 那么 BABAbBABAa_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
11、)()(第二章 集 合 图 2.2-1 第二章 集 合 另外 , 根据并 、 交 、 补等定义 , 亦知命题演算中的 、 、 、 、 T、 F等分别与集合论中的 、 、 -、 、 U、 等有对应关系 , 因此 , 有关它们的公式也有相似性 。 例如命题演算中有公式 (P Q) P Q, P T P, 集合论中有对应公式 ,_ _ _ _ _ _ _ AUABABA 又如命题演算中有范式等概念 P Q R (P Q R) (P Q R) ( P Q R) 如果需要 , 在集合论中也可引入范式等概念 , 使 AB C=(A B C)(A B C)(A B C) 第二章 集 合 2.2.4 环和与环
12、积 定义 2.2-5 A、 B两集合的 环和 A B, 是集合 |)()(AxBxBxAxxABBABA 参看图 2.2-2。环和又叫对称差 (Symmetric Difference)。 第二章 集 合 定理 2.2-9 )()()()(BABABABABA证 因为 )()()()(BABAABABBAABBABA但 )()()()()(_ _ _ _ _ _ _BABABABABABA所以 , )()()()( BABABABABA 第二章 集 合 推论 2.2-9 AAcABBAbBABAa )(,)(,)(定理 2.2-10 )()( CBACBA 定理 2.2-11 )()()( B
13、CACBAC 第二章 集 合 以上两个定理留给读者自证 。 但注意并在环和上不可分配 , 环和在交上不可分配 。 即 , 通常 )()()()()()(CABACBACABACBA第二章 集 合 定义 2.2-6 A、 B两集合的环积 A B, 是集合 |)()()()(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _BxAxBxAxxBABAABBAABBABABA图 2.2 - 2 第二章 集 合 定理 2.2-12 UAAcABBAbBABAa )(,)(,)(定理 2.2-13 )( )( CBACBA 证 )()()()()()()(
14、)()()(ABABBAABBABABABAABBABA所以 , BABABA 第二章 集 合 根据定理 2.2-10 得 )()( CBACBA 两边取补 , 即得 )()( CBACBA 定理 2.2-14 )()()( CABACBA 请读者自证 第二章 集 合 2.2.5 幂集合 定义 2.2-7 设 A是一集合 , A的 幂集 (A), 是 A的所有子集的集合 , 即 |)( ABBA 一个给定集合的幂集是唯一的 , 因此求一个集合的幂集是以集合为运算对象的一元运算 。 第二章 集 合 2.5 集合的笛卡儿乘积 定义 2.5-1 (1) 两个元素 a1、 a2组成的序列记作 a1,a2 , 称为二重组或序偶 。 a1和 a2分别称为二重组 a1,a2 的第一和第二个分量 。 (2) 两个二重组 a,b 和 c,d 相等当且仅当 a=c并且 b=d。 (3) 设 a1,a2,an是 n个元素 , 定义 a1,a2,an = a1,a2,an-1 ,an 为 n重组 , 这里 n 2。
