1、1,第十章 群与环,主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域,2,半群、独异点与群的定义 半群、独异点、群的实例 群中的术语 群的基本性质,10.1 群的定义与性质,3,半群、独异点与群的定义,定义10.1 (1) 设V=是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群. (2) 设V=是半群，若eS是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=. (3) 设V=是独异点，eS关于运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.,4,实例,例1 (1) ,都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除外都是独异点 (
2、2) 设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) 为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) 为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n1，为模n加法 (5) 为半群，也是独异点，其中为函数的复合运算 (6) 为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义如下：x, yR*, xy=y,5,例2 设G= e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为Klein 四元群 ,实例,特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素,6,有关群的术语,定义10.2 (1) 若群G是
3、有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝 尔 (Abel) 群.,实例： 和是无限群，是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. 是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.,7,定义10.3 设G是群，aG，nZ，则a 的 n次幂. ,群中元素的幂,群中元素可以定义负整数次幂. 在中有 23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在中有(2)3 = 23 = 2+2+2 =
4、6,8,元素的阶,定义10.4 设G是群，aG，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.,例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元. 在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.,9,群的性质：幂运算规则,定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) aG，(a1)1=a (2) a,bG，(ab)1=b1a1 (3) aG，anam = an+m，n, mZ (4) aG，(an)m = anm，n, mZ (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anb
5、n.,证 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根据逆元唯一 性，等式得证. (2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e， 故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证.,10,群的性质：方程存在惟一解,定理10.2G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且 仅有惟一解.,例3 设群G=，其中为对称差. 解下列群方程： aX=，Ya,b=b 解 X=a1=a=a，Y=ba,b1=ba,b=a,证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b 所以a1b 是该方程的解.
6、下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解.,11,群的性质：消去律,定理10.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c. 证明略,例4 设G = a1, a2, , an是n阶群，令aiG = aiaj | j=1,2,n 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| n. 必有aj,akG使得 aiaj = aiak （j
7、 k） 由消去律得 aj = ak, 与 |G| = n矛盾.,12,群的性质：元素的阶,证 (1) 充分性. 由于r|k，必存在整数m使得k = mr，所以有 ak = amr = (ar)m = em = e. 必要性. 根据除法，存在整数 m 和 i 使得 k = mr+i, 0ir1 从而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai 因为|a| = r，必有i = 0. 这就证明了r | k. (2) 由 (a1)r = (ar)1 = e1 = e 可知 a1 的阶存在. 令|a1| = t，根据上面的证明有t | r. a又是 a1的逆元，所以 r |
8、 t. 从而证明了r = t，即|a1| = |a|,定理10.4 G为群，aG且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e当且仅当r | k (2 )|a1| = |a|,13,实例,例 5 设G是群，a,bG是有限阶元. 证明 (1) |b1ab| = |a| (2) |ab| = |ba|,证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有 从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.,14,实例,(2) 设 |ab| = r，|ba| = t，则有 由消去律得 (ab)t = e，从而
9、可知，r | t. 同理可证 t | r. 因此 |ab| = |ba|.,15,10.2 子群与群的陪集分解,定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作HG. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作HG.,例如 nZ (n是自然数) 是整数加群 的子群. 当n1时, nZ是Z的真子群. 对任何群G都存在子群. G和e都是G的子群，称为G的平凡 子群.,16,子群判定定理1,定理10.5（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当 (1) a,bH有abH (2) aH有a1H.,证 必要性是
10、显然的. 为证明充分性，只需证明eH. 因为H非空，存在aH. 由条件(2) 知a1H，根据条件(1) aa1H，即eH.,17,子群判定定理2,定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,bH 有ab1H.,证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在aH. 根据给定条件得aa1H，即eH. 任取aH, 由e,aH 得 ea1H，即a1H. 任取a,bH，知b1H. 再利用给定条件得a(b1) 1H，即 abH. 综合上述，可知H是G的子群.,18,子群判定定理3,定理10.7 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅
11、当 a,bH有abH.,证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 aH有a1H. 任取aH, 若a = e, 则a1 = eH. 若ae，令S=a,a2,，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1H.,19,典型子群的实例:生成子群,定义10.6 设G为群，aG，令H=ak| kZ， 则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作.,证 首先由a知道. 任取am,al，则 am(al)1 = amal = aml 根据判定定理二可知G. 实例： 例如整数加群，由2生成的子群是 =2k | kZ=2Z
12、 中，由2生成的子群=0,2,4 Klein四元群 G = e,a,b,c的所有生成子群是：=e, =e,a, =e,b, =e,c.,20,典型子群的实例:中心C,定义10.7 设G为群,令C=a| aGxG(ax=xa)， 则C是G的子群，称为G的中心.,证 eC. C是G的非空子集. 任取a,bC，只需证明ab1与G 中所有的元素都可交换. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知CG. 对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的
13、中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是e.,21,典型子群的实例:子群的交,例6 设G是群，H,K是G的子群. 证明 (1) HK也是G的子群 (2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH,证 (1) 由 eHK 知 HK 非空. 任取a, bHK，则aH, aK, bH, bK. 必有ab1H 和 ab1K，从而ab1HK. 因此HKG. (2) 充分性显然，只证必要性. 用反证法. 假设 HK 且KH，那么存在 h 和 k 使得 hHhK, kKkH 推出 hk H. 否则由h1H 得 k=h1(hk)H，与假设矛盾. 同理可证 hk K. 从而得到 hk HK. 与HK是子
14、群矛盾.,22,图1,定义10.8 设G为群, 令L(G) = H | H是G的子群 则偏序集称为G的子群格,子群格,实例： Klein四元群的子群格如下：,23,陪集定义与实例,定义10.9 设H是G的子群，aG.令 Ha=ha | hH 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.,例7 (1) 设G=e,a,b,c是Klein四元群，H=是G的子群. H所有的右陪集是： He=e,a=H, Ha=a,e=H, Hb=b,c, Hc=c,b 不同的右陪集只有两个，即H和b,c.,24,实例,(2) 设A=1,2,3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中f1=,， f2
15、=,f3=,， f4=,f5=,， f6=, 令 G = f1, f2, , f6，则G 关于函数的复合运算构成群. 考虑 G 的子群H=f1, f2. 做出 H 的全体右陪集如下：Hf1=f1f1, f2f1=H , Hf2=f1f2, f2f2=H Hf3=f1f3, f2f3=f3, f5, Hf5=f1f5, f2f5=f5, f3Hf4=f1f4, f2f4=f4, f6, Hf6=f1f6, f2f6=f6, f4 结论： Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6. ,25,陪集的基本性质,定理10.8 设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) aG 有aHa 证
16、(1) He = he | hH = h | hH = H (2) 任取 aG，由a = ea 和 eaHa 得 aHa,26,定理10.9 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb,陪集的基本性质,证 先证aHb ab1HaHb h(hHa=hb) h(hHab1=h) ab1H 再证 aHb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由aHa 可知必有 aHb. 必要性. 由 aHb 可知存在 hH 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1aHa，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)bHb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1bHb，则有 h1b = h1(
17、h1a) = (h1h1)aHa 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.,27,定理10.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG, R ab1H 则 R是G上的等价关系，且aR = Ha.,陪集的基本性质,证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG，aa1 = eH R 对称性. 任取a,bG，则 Rab1H(ab1)1Hba1HR 传递性. 任取a,b,cG，则 RR ab1Hbc1H ac1H R 下面证明：aG，aR = Ha. 任取bG， baR R ab1H Ha=Hb bHa,28,推论,推论 设H是群G的子群, 则 (1) a,bG，Ha = H
18、b 或 HaHb = (2) Ha | aG = G 证明：由等价类性质可得.,定理10.11 设H是群G的子群，则 aG，H Ha 证明 略,29,左陪集的定义与性质,设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即 aH = ah | hH，aG 关于左陪集有下述性质： (1) eH = H (2) aG，aaH (3) a,bG，abH b1aH aH=bH (4) 若在G上定义二元关系R， a,bG，R b1aH 则R是G上的等价关系，且aR = aH. (5) aG，H aH ,30,Lagrange定理,定理10.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H|
19、G:H 其中G:H 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在 G 中的指数.,证 设G:H = r，a1,a2,ar分别是H 的r个右陪集的代表元素， G = Ha1Ha2Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1,2,r, 得 |G| = |H|r = |H|G:H,31,Lagrange定理的推论,推论1 设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且有an = e. 证 任取aG，是G的子群，的阶是n的因子. 是由a生成的子群，若|a| = r，则 = a0=e,a1,a2,ar1 即的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因
20、子. 从而an = e.,推论2 对阶为素数的群G，必存在aG使得G = . 证 设|G| = p，p是素数. 由p2知G中必存在非单位元. 任取aG，a e，则是G的子群. 根据拉格朗日定理， 的阶是p的因子，即的阶是 p或1. 显然的阶不是1， 这就推出G = .,32,Lagrange定理的应用,命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.,例8 证明 6 阶群中必含有 3 阶元.,证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, yG，则xy = (xy)1 = y1x1 = yx， 因此G是Abel群.,证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶或
21、6阶. 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G 中只含1阶和2阶元，即aG，有a2=e，由命题知G是Abel 群. 取G中2阶元 a 和 b，a b，令 H = e, a, b, ab，则H 是 G的子群，但 |H| = 4，|G| = 6，与拉格朗日定理矛盾.,33,例9 证明阶小于6 的群都是Abel群.,Lagrange定理的应用,证 1 阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群，都是 Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=，由上 述分析可知G是A
22、bel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2 阶元，由命题可知G也是Abel群.,34,10.3 循环群与置换群,定义10.10 设G是群，若存在aG使得 G=ak| kZ 则称G是循环群，记作G=，称 a 为G 的生成元.,循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G = a0=e, a1, a2, , an1 那么|G| = n，称 G 为 n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = a0=e, a1, a2, 称 G 为无限循环群.,35,循环群的生成元,定理10.13 设G=是循环群. (1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1.
23、(2) 若G是 n 阶循环群，则G含有(n)个生成元. 对于任何小于n且与 n 互质的数r0,1,n-1, ar是G的生成元.(n)成为欧拉函数，例如 n=12，小于或等于12且与12互素的 正整数有4个：1, 5, 7, 11， 所以(12)=4.,36,证明,证 (1) 显然G. akG，ak=(a1)k ， 因此G，a1是G的生成元. 再证明G只有a和a1这两个生成元. 假设 b 也是G 的生成元， 则 G=. 由aG 可知存在整数 t 使得a = bt. 由bG = 知存在整数 m 使得 b = am. 从而得到a = bt = (am)t = amt 由G中的消去律得amt1 = e
24、 因为G是无限群，必有mt1 = 0. 从而证明了m = t = 1或 m = t = 1，即 b = a 或 b = a1,37,(2) 只须证明：对任何正整数 r ( rn)，ar是G的生成元 n与r互质. 充分性. 设r与n互质，且rn，那么存在整数 u 和 v 使得 ur + vn = 1 从而 a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u 这就推出akG，ak = (ar)uk，即G. 另一方面，显然有G. 从而G = . 必要性. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n
25、/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.,证明,38,实例,例10(1) 设G=e, a, , a11是12阶循环群，则(12)=4. 小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理10.13可知 a, a5, a7 和 a11是G的生成元. (2) 设G=是模9的整数加群，则(9)=6. 小于9且与9互素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理10.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8. (3) 设G=3Z=3z | zZ, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3和3.,39,循环群的子群,定理10.14 设G=是循环群. (1)
26、设G=是循环群，则G的子群仍是循环群. (2) 若G=是无限循环群，则G的子群除e以外都是无限 循环群. (3) 若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.,40,证明,证 (1) 设H是G=的子群，若H=e，显然H是循环群，否 则取H中的最小正方幂元am，下面证明H=. 易见 H. 下面证明H. 为此，只需证明H中任何元素都可表成 am的整数次幂. 任取alH，由除法可知存在整数 q 和 r，使得 l = qm+r， 其中 0rm1ar = alqm = al(am)q 由al, amH 且 H 是G 的子群可知arH. 因为am是H中最小正方幂元，必有r = 0.
27、 这就推出 al = (am)q,41,证明,(2) 设G=是无限循环群，H是G 的子群. 若He可知H = ，其中am为H中最小正方幂元. 假若 |H|=t，则 |am|=t， 从而得到amt = e. 这与a为无限阶元矛盾.,(3) 设G=是 n 阶循环群，则 G = a0=e, a1, , an1 下面证明对于n的每个正因子d都存在一个d阶子群. 易见 是G的d 阶子群. 假设H1=也是G的d 阶子 群，其中 am 为 H1中的最小正方幂元. 则由 (am)d = e 可知 n 整 除md，即 n/d 整除 m. 令m = (n/d)l，l是整数，则有 这就推出H1H. 又由于 |H1|
28、 = |H| = d，得H1 = H.,42,实例,例11 (1) G=是无限循环群，其生成元为1和1. 对于自然数mN，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，mN. 即 = 0 = 0Z = mz | zZ= mZ， m0 (2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群: 1阶子群=0 2阶子群=0,6 3阶子群 =0,4,8 4阶子群 =0,3,6,9 6阶子群=0,2,4,6,8,10 12阶子群 =Z12 ,43,n 元置换及乘法,定义10.11 设 S = 1, 2, , n, S上的任何双射函数 :SS 称为S上的n元置换. 例如 S=1, 2,
29、 3, 4, 5, 下述为5元置换,定义10.12 设,是n元置换, 和的复合 也是n元置换, 称为与 的乘积, 记作 . 例如,44,n元置换的轮换表示,设 S = 1, 2, , n，对于任何S上的 n 元置换 , 存在着一个 有限序列 i1, i2, , ik, k1, (可以取i1=1) 使得 (i1) = i2, (i2) = i3, , (ik1) = ik, (ik) = i1 令 1 = (i1 i2 ik), 是 分解的第一个轮换. 将 写作 1,继续对 分解. 由于S 只有n 个元素, 经过有限步得到 = 1 2 t,轮换分解式的特征 轮换的不交性 分解的惟一性: 若 =
30、12 t 和 = 12 s 是的两个轮换表示式，则有 1, 2, , t = 1, 2, ,s ,45,例12 设S = 1, 2, , 8, ,则 轮换分解式为： = (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7) ,实例,46,置换的对换分解,设S = 1,2,n， = (i1 i2 ik) 是S上的 k 阶轮换， 可以 进一步表成对换之积，即 (i1 i2 ik) = (i1 i2) (i1 i3) (i1 ik) 任何n元置换表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积. 例如 8 元置换 = (1 5 2 3
31、 6) (7 8) = (1 5) (1 2) (1 3) (1 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7) = (1 8) (1 3) (1 4) (1 2) (5 6) (5 7),47,对换分解的特征,对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一. 例如4元置换可以有下面不同的对换表示： = (1 2) (1 3)， = (1 4) (2 4) (3 4) (1 4) 表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的. 如果n元置换 可以表示成奇数个对换之积，则称为奇置换，否则称为偶置换，不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个.,48,n元置换群,所有的 n元置换构成的集合Sn关于置
32、换乘法构成群， 称为n 元对称群. n元对称群的子群称为n元置换群. 例13 设 S = 1, 2, 3， 3元对称群 S3= (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) ,49,Sn的子群,n元交错群An是Sn的子群， An是所有的n元偶置换的集合. 证 恒等置换(1) 是偶置换，所以An非空. 根据判定定理三，只需证明封闭性： 任取, An， , 都可以表成偶数个对换之积，那么 也可以表成偶数个对换之积，所以 An.,实例：S3的子群格 S3=(1), (12), (13), (23), (123), (132), A3=(1), (123), (
33、132),(1),(1), (12), (1), (13), (1), (23).,50,Polya定理,定理10.15 设N=1,2,n是被着色物体的集合, G=1, 2, , g是N上的置换群. 用m种颜色对N中的元素进行着色， 则在G的作用下不同的着色方案数是其中c(k)是置换k的轮换表示中包含1-轮换在内的轮换个数. Polya定理主要用于等价类的计数.,51,Polya定理在组合计数中的应用,例14 用两种颜色着色方格图形，允许方格绕中心转动. 求不同的方案数.,群G中的所有置换是：1=(1)，2=(1234)， 3=(13)(24)，4=(1432) 代入Polya定理得,52,1
34、0.4 环与域,定义10.12 设是代数系统，+和是二元运算. 如果满足 以下条件: (1) 构成交换群 (2) 构成半群 (3) 运算关于+运算适合分配律 则称是一个环. 通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.,53,环的实例,例15 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和 乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C. (2) n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为
35、 n 阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环. (4) 设Zn0,1, . , n1，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模 n的整数环.,54,定理10.16 设是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0 (2) a,bR，(a)b = a(b) = ab (3) a,b,cR，a(bc) = abac， (bc)a = baca (4) a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR (n,m2) ,环的运算性质,证 (1) aR有 a0 = a(0+0) = a0+a0 由环中加法的消去律得a0=0. 同理可证0a=0. (2) a,bR，有
36、(a)b+ab =(a+a)b = 0b = 0 ab+(a)b =(a+(a)b = 0b = 0 (a)b是ab的负元. 由负元惟一性(a)b= ab，同理a(b)= ab,55,同理可证, b1, b2, ., bm有 ,(4) 证明思路：用归纳法证明 a1, a2, . , an 有,于是,证明(4),56,实例,例16 在环中计算(a+b)3, (ab)2,解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2,57,特殊的
37、环,定义10.13 设是环 (1) 若环中乘法 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,bR，ab=0 a=0b=0，则称R是无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环 (5) 设R是整环，且R中至少含有两个元素. 若aR*，其中R*=R0，都有a1R，则称R是域.,58,例17 (1) 整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换 环,含幺环,无零因子环和整环. 除了整数环以外都是域. (2) 令2Z=2z | zZ，则构成交换环和无零因子环. 但不是含幺环和整环. (3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合M
38、n(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环. (4) 构成环，它是交换环, 含幺环, 但不是无零因子环和整环. 23=32=0，2和3是零因子. 注意：对于一般的n, Zn是整环当且仅当n是素数.,实例,59,实例,例18 设 p为素数，证明Zp是域.,证 p为素数，所以 |Zp|2. 易见Zp可交换，单位元是1 对于任意的 i, jZp, i 0有 i j = 0 p 整除 ij p| j j = 0 所以 Zp 中无零因子，Zp为整环. 下面证明每个非零元素都有逆元. 任取 iZp，i 0，令 i Zp = i j | jZp 则 i Zp = Zp
39、，否则 j, kZp，使得 i j = i k，由消去律 得 j = k. 由1Zp，存在 jZp，使得 i j = 1. 由于交换性可知 j 就是 i 的逆元.,60,第十章 习题课,主要内容 半群、独异点与群的定义 群的基本性质 子群的判别定理 陪集的定义及其性质 拉格朗日定理及其应用 循环群的生成元和子群 置换群与Polya定理 环的定义与性质 特殊的环,61,基本要求,判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群 熟悉群的基本性质 能够证明G的子集构成G的子群 熟悉陪集的定义和性质 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习简单应用 会用Polya定理进行计数 会求循环群的生成元及其子群 熟悉
40、n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群 能判断给定代数系统是否为环和域,62,练习1,1. 判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群. (1) a 是正整数，G = an | nZ, 运算是普通乘法. (2) Q+是正有理数集，运算为普通加法. (3) 一元实系数多项式的集合关于多项式加法.,解 (1) 是半群、独异点和群 (2) 是半群但不是独异点和群 (3) 是半群、独异点和群方法：根据定义验证，注意运算的封闭性,63,2. 设V1= , V2 = ,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= 2k | kZ
41、(2) S= 2k+1 | kZ (3) S= 1, 0, 1,解 (1) S关于V1构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子半群 (2) S关于V1不构成子半群也不构成子独异点，S关于V2构成子半群和子独异点 (3) S关于V1不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群 和子独异点,练习2,64,3. 设Z18 为模18整数加群, 求所有元素的阶.,解： |0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |1
42、3| = |17| =18,练习3,说明： 群中元素的阶可能存在，也可能不存在. 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子. 对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）.,65,4证明偶数阶群必含2阶元.,由 x2 = e |x| = 1 或2. 换句话说, 对于G中元素x，如果 |x| 2, 必有x1 x. 由于 |x| = |x1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个. 那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个. 1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了G中必有 2 阶元.,练习4,66,有关群性
43、质的证明方法,有关群的简单证明题的主要类型 证明群中的元素某些运算结果相等 证明群中的子集相等 证明与元素的阶相关的命题. 证明群的其它性质，如交换性等. 常用的证明手段或工具是 算律：结合律、消去律 和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等 幂运算规则 和元素的阶相关的性质. 特别地，a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1= a.,67,证明方法,证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简. 证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含 证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等. 证明两个元素的阶r 和 s 相等或证明某个
44、元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除. 在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质. 特别地，可能用到a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1 = a.,68,练习5,5设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群.,证 令H= x | xG xa = ax, 下面证明H是G的子群. 首先e属于H，H是G的非空子集. 任取x, y H，有(xy1) a = x(y1a ) = x(a1y)1 = x(ay)1 = x(ya)1 = xa1y1 = xay1 = axy1 = a(xy1) 因此 xy1属于H. 由判定定理命题得证.,分析： 证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二. 证明的步骤是： 验证 H 非空 任取 x, yH，证明xy1H,69,6. (1) 设G为模12加群, 求 在G中所有的左陪集 (2) 设 X= x | xR, x 0,1, 在X上如下定义6个函数：f1(x) = x， f2(x) =1/x, f3(x) = 1x, f4(x) = 1/(1x), f5(x) = (x1)/x, f6(x) = x/(x1), 则G = f1, f2, f3, f4, f5, f6关于函数合成运算构成群. 求子群 H=f1, f2 的所有的右陪集.,
