1、第三章 模糊关系,本章内容,1. 模糊关系的基本概念 2. 模糊矩阵 3. 模糊关系和模糊矩阵的合成 4. 模糊等价矩阵,同学集合 X=张三，李四，王五 外语选修课程集合 Y=英，法，德，日 R= (张三, 英), (张三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英),什么是关系,普通关系,定义1：集合A,B的直积AB=(a,b)|aA,bB的一个子集R称为A到B的一个二元关系，简称关系。 可见，关系也是个集合。,关系example1,设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的普通关系xy：,Y,X,Y=X,R:XY,0,模糊关系example1,其上的模糊关系R=“x远
2、远大于y”，怎么表示？当x=1000,y=100时，R(x,y)=0.999当x=20,y=10时，R(x,y)=0.5当x=20,y=18时，R(x,y)=0.0358,概念,定义3.1,称为从X,到Y的模糊关系.,(关联度)。,特别，从X到X的模糊关系称为 X上的模糊关系,1. 模糊关系的基本概念,模糊关系example2,例：设身高论域U=140，150，160，170，180，体重论域V=40，50，60，70，80，则身高与体重之间的模糊关系：,两点说明：,模糊关系example3,模糊关系的运算,模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积AB罢了模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运
3、算法则,运算,可推广,包含：,相等：,并：,交：,余：,以下是几个特定的模糊关系:,倒置,倒置,倒置,以下是几个特定的模糊关系:,以下是几个特定的模糊关系:,模糊关系的性质：,2.模糊关系的表示模糊矩阵,经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来表示。 若论域XY是有限集，模糊关系可以表示为模糊矩阵。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 若论域XY是连续或无限的，则该论域上的(模糊)关系不能用(模糊)矩阵来表示。,模糊矩阵的定义,如果对于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,则称矩阵R=(rij)mn为模糊矩阵。若rij0,1,则模糊矩阵变成Boole矩阵。 模糊矩阵可以表示模糊关系，
4、对于“A上的模糊关系”用模糊方阵来表示。,模糊矩阵Example,设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成的论域U，分别用x1,x2，,xn表示，它们的相似程度可以用模糊关系R来表示：,例1.,例2.,身高与体重之间的关系为：,模糊矩阵Example,模糊关系与模糊矩阵,如果给定X上的模糊关系I满足则称I为X的“恒等关系”，表示恒等关系I的矩阵为单位矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,若给定XY上的模糊关系O，满足则称O为XY的“零关系”，表示零关系O的矩阵为零矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定XY上的模糊关系E满足称E为XY的“全称关系”，表示全称关系E的矩阵为全称矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给
5、定XY上的模糊关系R，定义称RT为R的“倒置关系”,表示模糊关系RT的矩阵为R矩阵的转置矩阵。,模糊矩阵的关系,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 则(1)相等：A=B 对任意i, j 有 aij = bij(2)包含：A B 对任意i, j 有 aij bij,因此，对任何 总有：,模糊矩阵的运算,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 则(1)并：AB (aijbij)mn(2)交: AB (aijbij)mn(3)余: Ac (1-aij) mn,例：,求,模糊矩阵的运算性质,（1
6、）幂等律：AAA , AA=A; （2）交换律：AB=BA, AB=BA; （3）结合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC); （4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; （5）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC);,模糊矩阵的运算性质,（6）0-1律：AOA, AOO;EA=E,EA=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(AB)c= AcBc,(AB)c= AcBc.,排中律不成立！AcA E, AAc O,注意,模糊矩阵的包含性质,3. 模糊关系的合成,模糊关系合成的定义,例1：设生物群落论域,模糊关系的合成举
7、例,表示X与U两生物群落种群之间的密切关系,表示U与Y两生物群落种群之间的密切关系,模糊关系的合成举例,则,表示生物群落X与Y之间的密切关系。,合成运算Example2,设R1为XY上的模糊关系,其隶属函数满足设R2为YZ上的模糊关系,其隶属函数满足试求R1、 R2的合成。,合成运算Example2,先求两曲线的交点，由,解得,（另一解舍去）,当 时,故,模糊关系合成运算的性质,性质1：结合律 (A B) C = A (B C)； 性质2：分配律 A ( BC ) = ( A B )( A C )；( BC ) A = ( B A )( C A )； 性质3：( A B )T = BT AT；
8、 性质4：A B，C D A C B D. 性质5：A B A C B C ， C A C B，A n B n,注：(1) 合成( )运算关于()的分配律不成立,即 ( AB ) C ( A C )( B C )(2) 这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定义模糊矩阵A 与B 的合成为： A B = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,模糊矩阵合成运算的
9、性质,性质1（结合律）： 性质2： 性质3（分配律）可以推广到多个：性质4（01律）：,性质5：性质6：,模糊矩阵合成运算的性质,模糊矩阵合成运算的性质,合成运算的交运算的分配律不成立,注意,不满足交换律。,求：,的定义。,模糊矩阵合成举例,令,采用max-min合成,采用max-乘积合成,模糊矩阵合成举例,模糊矩阵的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT，( AB )T = ATBT； 性质3：( A B )T = BT AT；(
10、 An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A B AT BT .,证明性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .,证明：设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,记( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns ,由转置的定义知,cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji .BT AT= (bikTakjT )nm=(bkiajk)nm=(ajkbki)nm = (cji)nm =
11、 (cijT )nm= ( A B )T .,模糊矩阵的转置,模糊矩阵的截矩阵,模糊集合- 截集 模糊矩阵- 截矩阵 定义：设给定模糊矩阵R=(rij)，对任意 0,1，称R=(rij ()为R的截矩阵，其中,模糊矩阵的截矩阵,设,则：,模糊矩阵A的 截矩阵 对应于有限论域上的模糊关系的 截关系，显然， 的元素仅能是0或1，因此， 是布尔矩阵。,-截矩阵的性质,模糊矩阵A, B， 0,1，,性质2.,性质1.,性质3： 证明 设A=(aik)ms,B=(bkj)sn, A。B=(cij)mn,-截矩阵的性质,-截矩阵的性质,性质4：,-截矩阵的性质,4. 模糊等价矩阵,（1）普通等价关系,模糊
12、等价关系,（2）模糊自反关系(fuzzy reflexive relations),定义,则称R为模糊自反关系.,命题1,根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反,证明：,（3） 模糊对称关系(fuzzy symmetric relations),定义：,则称R为模糊对称关系.,根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系。,显然，,R为模糊对称关系.,命题2,证明：,（4）模糊传递关系(fuzzy transitive relations),定义,例如,命题3,（4）模糊传递关系(fuzzy transitive relations),命题4,设R是模糊传递的，,证明：,根据命题3知：R模糊传递
13、.,由命题3知,（5）模糊等价关系(fuzzy equivalency relations),定义 若R是模糊自反、对称、传递关系，则称R是一个模糊等价关系。,例如,R是对称阵且主对角线元素全为1，故为模糊对称及自反关系。,命题5: R为模糊等价关系当且仅当 是普通等价关系。,对模糊等价关系，,随着划分水平的提高，划分加细,模糊等价矩阵,定义1. 若模糊矩阵 A Mnn满足A I，则称A为自反模糊矩阵。 例如：,在有限论域中自反模糊矩阵表示一个自反模糊关系。,几个概念与定理,自反矩阵的定理,定理1. 设模糊矩阵 A Mnn是自反矩阵，则有证明:,几个概念与定理,定义2： 包含R而又被任何包含R
14、的自反矩阵包含的自反矩阵叫R的自反闭包。记为r (R) .,定理2：,证：需证 （1） 为自反矩阵 ；（2）任意包含R的自反矩阵必包含 。,为自反矩阵。,(2)设Q为任意包含R的自反矩阵，则,几个概念与定理,定义3：若模糊矩阵 A Mnn满足AT=A，则称A为模糊对称矩阵。 例如：,几个概念与定理,在有限论域中，模糊对称矩阵表示一个模糊对称关系。,几个概念与定理,定义4：R为模糊对称矩阵，包含R而又被任何包含R的对称矩阵所包含的对称矩阵，叫做R的对称闭包。记为S(R)。,为对称矩阵。,定义5： 若模糊矩阵 A Mnn满足 A2 A，则称A为模糊传递矩阵。例如：,在有限论域中，模糊传递矩阵表示一
15、个模糊传递关系。,几个概念与定理,几个概念与定理,定义6：R为模糊传递矩阵，包含R而又被任何包含R的传递矩阵所包含的传递矩阵，叫做R的传递闭包。记为t(R)。,R 的传递闭包t(R)具有下列性质：,（传递性）,（包含性）,（最小性）,性质表明：R的传递闭包是包含R的最小模糊传递矩阵。,定理4: 设模糊矩阵 A Mnn，则其中，t(A)是传递闭包。,几个概念与定理,几个概念与定理,定理4证明：,需证（1）,是传递函数。,（2）对任意传递矩阵,（1） 因,所以，,是传递函数。,合成运算推广性质,几个概念与定理,（2） 设,为任意传递矩阵，且,因Q是传递矩阵，所以,从而有,即,由k的任意性得：,于是
16、,上述定理给出了任意模糊矩阵的传递闭包的表达式，但无法操作。下面定理给出改进。,定理5： 设模糊矩阵 A Mnn，则其中，t(A)是传递闭包。,几个概念与定理,上式表明:当A是n阶方阵时，至多用n次并运算便可求出A的传递闭包。,例如:,几个概念与定理,定义7：设论域U=x1, x2, , xn ，RMnn , I为单 位矩阵，若R满足（1）自反性：R I;（2）对称性：RT=R;（3）传递性：R2 R则称R为模糊等价矩阵.,几个概念与定理,在有限论域中，模糊等价矩阵表示一个模糊等价关系。,例：设论域U=x1, x2，R是否为模糊等价矩阵？,几个概念与定理,几个概念与定理,定理6：设 则,若 为
17、模糊自反矩阵，则,为模糊自反矩阵；,若 为模糊对称矩阵，则,为模糊对称矩阵；,为模糊传递矩阵；,若 为模糊传递矩阵，则,此定理表明模糊矩阵的自反性、对称性与传递性对于交运算是封闭的。,定理7： R是模糊等价矩阵 对于任何0,1，R是等价布尔矩阵。 证明：,（1）R的自反性：,（2）R的对称性：,对称性,（3）R的传递性：,传递性,几个概念与定理,模糊等价矩阵判别条件,定理7的意义：将模糊等价矩阵转化为普通等价矩阵。普通等价矩阵等价于有限论域上的普通等价关系，普通等价关系可以分类。因此，当在0,1上变动时，得到不同的R, 从而得到不同的分类。,几个概念与定理,定义1. 设R是UU上的模糊关系 ，
18、若R满足 （1）自反性：R(x,x)=1; （2）对称性：R(x,y)=R(y,x); 则称R为U上的模糊相似关系，其中隶 属度R(x,y)表示x,y的相似程度。 例如：模糊关系“熟悉”，“朋友”, “同学”等。,模糊相似关系,定理1：R是U上的模糊相似关系的充分必要条件是，对任意 是U上的普通相似关系。,定义2. 设有限论域U=x1, x2, , xn ，RMnn ，I为单位矩阵，若R满足 （1）自反性：R I （即rii=1）; （2）对称性：RT=R （即rji=rij）;则称R为模糊相似矩阵。,模糊相似矩阵,模糊相似矩阵,例1,则R为模糊相似矩阵。Q不是，Q具有对称性，但不具有自反性。
19、,模糊相似矩阵的性质,定理1. 设RMnn 是模糊相似矩阵，则对于任何自然数k，Rk也是模糊相似矩阵。用数学归纳法证明,模糊相似矩阵的性质,当k1时， RK是模糊相似矩阵。假设k=n时， RK是模糊相似矩阵，,又 故有,具有自反性。,具有对称性。,模糊相似矩阵vs. 模糊等价矩阵,定理2. 设RMnn 是模糊相似矩阵，则存在一个 最小自然数k（k n），使得传递闭包t(R)=Rk，对于任何自然数bk，都有Rb=Rk，此时，t(R)是模糊等价矩阵。,以上定理表明：通过求传递闭包t(R)，可以将模糊相似矩阵改造成为模糊等价矩阵。模糊等价矩阵具有传递性，同时又保留了自反性与对称性。,平方法求相似矩阵
20、的传递闭包,从模糊相似矩阵R出发，依次求平方：当第一次出现Rk Rk =Rk时， Rk就是 所求的传递闭包t(R),例如：,平方法例,平方法例,设求传递闭包t(R) 经过i次求得nn阶模糊相似矩阵R的传递 闭包t(R)=R2i，必有2in，ilogn/log2， 因此，最多计算log2n1次便可求t(R).,例题： 综合评判,综合评判是综合决策的内容。下面以电脑评判为例来说明如何评价。 某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；价格”。于是请同宿舍同学一
21、起去买电脑。为了数学处理简单，先令,=“运算功能（数值、图形等）”；,=“存储容量（内、外存）”；,=“运行速度（CPU、主板等）”；,=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；,=“价格”。,称,因素集。,例题： 综合评判,评语集,其中,=“很受欢迎”；,=“较受欢迎”；,=“不太受欢迎”；,=“不受欢迎”；,任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。,若对于运算功能 有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎” ，没有人认为“不受欢迎”，则 的单因素评价向量为,同理，对存储容量 ，运行速度 ，外设配置,分别作出单因素评价，得,组合成评
22、判矩阵,和价格,据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于是得各因素的权重分配向量：,作模糊变换：,存储容量,运行速度,外设配置,价格,运算功能,若进一步将结果归一化得：,结果表明，用户对这种微机表现为“最受欢迎”的程度为 0.32，“较受欢迎”和“不太受欢迎”的程度为0.27，“不受欢迎”的程度为0.14。按最大隶属原则，结论是：“很受欢迎”。,本章小结,一、模糊关系1.模糊关系的定义2.模糊关系的运算及性质模糊子集的运算及性质完全适用于模糊关系。对称关系，恒等关系，零关系，权关系。模糊关系的合成。模糊等价关系（自反模糊关系、对称模糊
23、关系、传递模糊关系），模糊相似关系（自反、对称）,二、模糊矩阵1. 模糊矩阵的概念：模糊矩阵的运算及性质。需注意的是合成运算关于交的分配律不成立。模糊矩阵的截矩阵。2. 模糊矩阵的运算及性质,本章小结,本章小结,三、模糊等价矩阵1.模糊等价矩阵及性质 自反矩阵，则有自反闭包、对称闭包、传递闭包的概念及求法 2.模糊相似矩阵及性质通过模糊相似矩阵求模糊等价矩阵。平方法求传递闭包。,本章练习题,1.设R1、R2都是实数域上的F关系，,求：,2.设,求,本章练习题,3.证明：,4.设,求传递闭包,本章练习题,5.设U=u1,u2,u3,V=v1,v2,v3,.而,是从U到V的F关系。,（1）求,（2）试问u3、v1对上面的截关系来说是否有关。,（3）试问u2、v4对 来说是否有关。,本章练习题,6. 设,求,
